1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 16
Текст из файла (страница 16)
+ Л,.А<,> = О, Л; Е Ж, как и в случае со столбцами, дает последовательно Лдаы=О, Лгагг=О ..., Л,а„,=О, откуда Л1 = Лг =... = Л„= О. Стало быть, т„(А) = т = те(А). П 3. Критерий совместности, Ступенчатый вид матрицы А, дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем (см. г 3 гл. 1), содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов, или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2).
В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается Следствие. Число главных неиэвесгпныхликебкоб сисгпемы (2) не заеиситп отл способа приведение ее к сгпупенчагпому виду и равно гап1сА, еде А — матприиа систпемы. у 3. Рана матрицы Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы А (см.
(5)), совпадающему, с рангом матрицы А. Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. (Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств.) П В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы А, устраняющее необходимость приведения А к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга.
В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы, речь о котором шла еще в гл. 1. Теорема 2 (Кронекер — Капелли). Система линебныл уравнений (2) совместна тпогда и в<олька тпогда, когда ранг ее матприцы, совпадает с ранаом расширенной матприцы (см. (3)). Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать (с этого начинался настоящий параграф) как вопрос о представлении вектора-столбца В свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов А<1) матрицы А. Если такое представление возможно (т.е.
система (2) совместна), то В б (А<'),..., А<") ) и гапЦА<1),..., А<") ) = гап)<(А<1),..., А<о), В), откуда тап1<А = тв(А) = тв((А[В)) = гапЦА[В) (см. формулировку теоремы 1). Обратно: если ранги матриц А и (А]В) совпадают и (А<т'),... ...,А<а")) — какал-то максимальная линейно независимая система столбцов матрицы А, то расширенная система (А<1'),...,А<1"),В) будет линейно зависимой, а это по теореме 1, ч) з 1 означает, что  — линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов А<1) .
Стало быть, система (2) совместна. П УПРАЖНЕНИЯ 1. Доказать теорему 1, не приводя пз х и-матрицу А = (ац) к ступенчатому виду. Указание. Пусть бппрг(А) = г, пню рв(А) = з. Выбрать г базисных строк; без ограничения обшиости можно считать, что ими являются первые т строк А<,р А<ар ..,, А<„1. Рассмотреть укороченную т х и-матрицу А = [А<тр А<зт,... ..., А<,1], составленную из первых г строк матрицы А. Выбрать в А < базисных столбцов, т = гИш Ув(А). Пусть ими будут А<т<,..., А<'>. Так как Ув(А) С И', то т ( т.
Для каждого столбца А<ь>, й > <, нужно найти скавтры Лы..., Лт Е И такие, что А<"> = ЛтА<п+... + ЛтА<>, те. а<ь = Л ' т Лротр, 1 ( < ( пь При < ( т зто, наверное, так, ибо имеется соотношение А<ь1 = ЛгА<') +... + ЛтА<'1 для укоры чениых столбцов. При з ) т использовать выражение А<Π— ртА<,>+...+ртА<»1 для <-й строки через первые т строк.
Из него следует, что о;ь = Л,'[ г ща1ь = Ш ~,~ Лра~р — — ~,~ Лр ~,~ що1р — — Ц Лро;р. Установленная ли- 78 Гл. а Маизрвцы иейиае зависимость столбцов показывает, что е ( С, а так как С ( г, то я ( г. Рассмотреть, далее, так ивзываемую гараисиоиироеаиизю матрипу Оп аз1 ° ° а ОИ Озз . ° ° О|из аги аз„... а„,„ размера и х из. Имеют место равеиства гг(~А) = гв(А), гв(сА) = гг(А), поэтому по доказаииому г ( з.
Стапо быть, г = з. В. Как и в случае строк, перестаиовку столбцов с вомерамк з и С натрицы А иазывают злемеитарвым преобрвзоваиием (э.п.) ткпа (1), а прибавление к з-му столбцу ьго столбца, умиыкеииого иа скадар л, — э.п, типа (и). Указать ступенчатый вид матрицы А по столбцам. Элементарными преобра. зоваииями столбцов привести матрипу А (см. (0)) к виду А ы б1аб (ап, азз,, агг, О,..., 0), где ап = бп, азз = бзы азз = би, °, е, = б„; П» ь ак И О 3. Показать, что при ао ЕЗ 0 квадратная матрица 0 0 ... 0 0 ао 1 0 ...
0 0 Оз 0 1 ... 0 0 аз 0 0 ... 1 0 а„ з 0 0 ... 0 1 а„ имеет ранг и. 4. Условие равенства раигов двух матриц аю у Ъ . у выразить геометрическим свойством миомесгва и прямых иа плоскости. 8 3. Линейные отображения. Действия с матрицами 1. Матрицы и отображения. Пусть К" и К вЂ” векторные пространства столбцов высоты п и гп соответственно. Пусть, далее, А = (ае ) — матрица размера пз х и. Определим отображение уА: Ки -+ К™, полагая для любого Х = (х1, хз,..., хи] Е К" ~РА(Х) х1А + хз 4 + + хи'1 (1) где А('),..., А(") — столбцы матрицы А (сравнить с (1) 0 2).
Так как они имеют высоту пз, то в правой части (1) стоит вектор-столбец )' = [у1,уз,...,у„,] 6 К . Более подробно (1) переписывается в виде и у1 = ~~~ анху, я =1,2,...,гп. (1') 1=1 3 8. Линеанме опзоороженил. Деяспьеил е мавврииами 79 Если Х = Х' + Х" = [х' + х", хз + хз, ..., х'„+ х'„'], то ул(Х'+ Х") = "~ (х'; + х' )А~б = ~ х';Абб + ~ х' А(б = оы ьы ° =1 = и л(Х') + ~рл(Хн). Аналогично, ~рл(ЛХ) = ~~~ Лх;Абб = Л~ х<А<б = Лул(Х), Л б й.
Обратно, предположим, что у: й" -+ й — отображение множеств в смысле З 5 гл. 1, обладающее следующими двумя свойствами: 1) у(Х'+ Х") = у(Х')+ у(Хе) для всех Х',Хн е й"; й) р(ЛХ) = Лу(Х) для всех Х Е Рн, Л Е й. Как мы знаем (см. п. 3 5 1), й" = (Е(1>,...,Е<")) — линейная оболочка стандартных базисных столбцов, так что Х = [хе,хз,...,х„] = ~ хуЕ(~). уяц Согласно свойствам 1), й) имеем п н у(Х) = р(Я хуЕО)) = ~~~ х ~р(Е®. еец 1еп (2) мы обнаруживаем, что задание у равносильно заданию прямоугольной матрицы А = (а,") размера т х и со столбцами АВ>,...,А(">, а соотношения (1) и (2) фактически совпадают.
Стало быть, можно положить у = Фл ° Определение. Отображение у = ул: й" -+ й™, обладающее свойствами 1), И), называется линейным отображением из й" в й Часто, в особенности при и = п1, говорят о линейном преобразовании. Матрица А называется матприиеб линейного отображения ~рл. Пусть ул, ул — два линейных отображения й" -+ й~ с матрицамк А = (аб) и А' = (а,'"). Тогда равенство ул = ~рл равносильно совпадению значений ул(Х) = рл (Х) для всех Х е й".
В частности, А'(у) = рл (Ебб = рл(ЕРЛ = АВ), 1 (,~ < и, откуда а';, = а; и А' = А. Соотношение (2) показывает, что отображение у полностью оцределяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив р(ЕВЛ] = ~а~)., азз,..., а,] = Абб Е йй, (3) во Гл. Й. Матрицы Резюмируем наши результаты. Теорема 1. Между линейными отпображенилми К" в К и матрицами размера т х и сутцестпвуетп взаимно однозначное соответствие. Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях Я -+ Т произвольных множеств Я и Т. Условия 1), й) предполагают, что Я и Т вЂ” линейные оболочки в К" и К соответственно.
Обратим внимание на специальный случай т = 1, когда линейное отображение у: К" -+ К, обычно называемое линейной функцией от п переменных, задается и скаиярами аы аю..., аьс у(Х) = у(хт, хз,..., х„) = отхт + азхз +... + а„х„. (4) Замечание. Наша терминология отличается от той, которая принята в средней школе, где (в случае одной переменной х) линейной называют функцию х т-+ ах + Ь. Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения К" -+ К™ при фиксированных и и тп можно складывать и умножать на скзляры. В самом деле, пусть итл, ~рв: К" ~ К вЂ” два линейных отображения.
Отображение р = атрл + (зрв: К -+ К, а,)з б К, определяется своими значениями: р(Х) = арл(Х)+)вув(Х). В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов. Так как цт(Х'+ Хо) = арл(Х +Хо) +ттрн(Х +Хо) = = а(трл (Х') + ул (ХоН + катря (Х') + трв(Хо) ) = = (ацтл (Х') + Дрв (Х') ) + (аул(Хо) + Втрв (Хо) ) = у(Х') + р(Хо), ~р(ЛХ) = атрл(ЛХ) + Ярв(ЛХ) = аул(Х) + ~ЗЛтрв(Х) = = Л(аитл(Х) + Втрв(Х)) = Лет(Х) (здесь мы неявно пользовались правилами ВПт-ВПв из 1 1), то тр— линейное отображение.
По теореме 1 можно говорить о его матрице С: тр = утст. Чтобы найти С, выпишем, следуя (3), столбец с номером т': !сттч сгу,..., с,~т) = С = трс(Š— П) — тт)— = а~ол(ЕО)) + )1рв(ЕП)) = аАО) +)1ВО) = = (ааМ+)3(тттч аазд+)Вбзд, ..., аа,„у+,ашетт). Ь Ю. Линей»не ое»обреженнл. Дейсп1вае с мапцвицвмн 81 Матрицу С = (с, с элементами сй = аа|у + ВЬе естественно назвать линейной комбинацией маеарвц А и В с коэффициентами а и ~3: Ь ... Ь„ Ь»н ° ° ° Ьпъ» а11 ...
а1„ а 1 ... а1» ааы + )3Ьы .. ааг» + ВЬ1» оа 1+ РЬ и оат» + ВЬ~ц» (5) Итак, Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что ~р = ~рл в ув — линейное отображение, но это довольно ясно: !)~р(Х'+ Хе) = ~рл(рв(Х'+ Хп)) = рл(рв(Х') + рв(Х»)) = = Рлрв(Х')) + 'Рл (рв(Х»)) = ~р(Х') + ~р(Х ); оУА + ВРВ ~рал+Вв ° (6) Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями. В заключение этого пункта отметим, что если правила ВП1- ВПе из з 1 для векторных пространств переписать, заменив всюду векторы-строки Х, У, о на матрицы размера ти х и, то в соответствии с определяющим соотношением (5) получатся правила ВМ1-ВМе, которые дают основание говорить о векторном пространстве матриц размера т х н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
