1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 19
Текст из файла (страница 19)
На них следует смотреть как на предписания и выполнять соответствующие им э.п. над строками. Напомним еще раз о значении символов: Р; = Р,я — переставить местами строки с номерами в и 1; Р; = Р,А(Л) — прибавить к я-й строке 1-ю строку, умноженную на Л; Р; = Р,(Л) — умножить я-ю строку на Л. у 8. Линейные отпобралсениз. Дебспзеил с масариками 95 обр А зьч 1/2 0 0 Для экономии места целесообразно выполнять сразу серию одыотнпных преобразований. Пример б. Пусть — 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 Имеем 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (А)Е) = 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 2 2 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 з!(!/1) 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 — 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1/2 1/2 1/2 1/2 -1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/4 -1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 -1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 -1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 -1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 — 1/4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Таким образом, А 1 = (1/4)А.
Впрочем, в данном случае вычислеыый можно было бы ызбежать. Замечая, что произведение вырожденной матрицы и произвольной матрицы всегда вырожденно (теорема 3), в то время как 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 = 4Е, -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 0 -2 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 -2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 О 1 зьзР) з'1,1(1) и!я(1) Рл(-1/З) Рз (-1/З) + з 3(-1/З) Рз,з(-1) Рз,з(-1) — Ф з)л(-1) 96 Гл. Я. з)еапзрииы ны делаем заключение о невырожденности А и, следовательно, о существовании А з.
Но коль скоро зто так, то А АзА — з 4Е А-з 4А-з о А-з А 1 4 Замечание. При выполнении серии преобразований над строками следует избегать типичной ошибки — прибавления в неизменном виде строки, изменившейся в ходе предыдущих преобразований. Например, предписание Рзд)1) А — + А' лнз11) двусмысленно: не ясно, в каком порядке действовать — сначала Р1 а(1), потом Ра 1(1); сначала Ра 1(1), потом Р1 а(1) или одновременно7 Каждый раз будут получаться различные выражения для строк А',), А~1 ). В примере 5 мы объединяли лишь однотипные преобразования, а если ставить своей целью вычисление на ЭВМ по указанному методу, то естественно всю последовательность элементарных преобразований линейно упорядочить.
Рассмотренный нами метод вычисления ранга, а также обратной матрицы называется Р-приведением или, более общо, (Р, Я)-приведением матприи к нормальному виду (17). 8. Пространство решений. Из вводных замечаний в начале З 2 и З 3 следует, что система линейных уравнений с матрицей А размера пз х и и столбцом свободных членов В Е )й может быть записана коротко в виде АХ = В (20) (Х = (х1,...,х„) — столбец высоты и). Представив, что т = и и квадратная матрица А невырожденна (см.
п. 5), мы получим, и притом единственное, решение системы (20), умножая обе части матричного соотношения слева на А 1; Х = ЕХ = (А 1А)Х = А '(АХ) = = А 'В. Эта удобная символическая запись решений определенной системы не избавляет нас от вычислений, поскольку матрица А ' заранее не дана. Но не откажем себе в удовольствии заметить, что матричный аппарат доставляет по меньшей мере эстетическое наслаждение. Воспользуемся им теперь для обозрения всех решений линейной однородной системы (ЛОС): АХ = О.
(21) По существу мы уже знаем, что если ХО), Х<~) — решения нашей ЛОС, то и любая их линейная комбинация тоже будет решением: А(о)ХО) + оаХ1а)) = о1АХО) + ааАХОО = О. Поэтому можно говорить о нроснзранснзве решений ЛОС вЂ” линейной оболочке РА = (Х Е)йо ( АХ = 0) С Ин. 9 Я. Линейные отооранеения. Деяетеия е ееетрииани 97 Пусть е = бппУл, г = гапхА. По определению в < п, г < < ш1п(т, п). Какая связь существует между е и г? Теорем а 7. Имеет место равенство г + в = и. Доказательство.
Выберем базис Х(Ц,...,ХОО линейной оболочки Уя и дополним его до базиса Х~'~,...,Х~е~,Х~'+Ц,...,ХОО всего пространства К". Это всегда можно сделать, как показывает доказательство теоремы 2 3 1 (и упр. 6 из 3 1). Для любого вектора Х = ~,, а;ХРО 6 К" имеем АХ = ~ аеАХ~О = а,+1АХ~*+О + + анАХ<"~, иы так что в соответствии с 3 2 линейная оболочка Ув(А) = (А~ ~ ..., АОО) = (я1АО~ + + янАОО ~ х; Е К") = = (АХ ~ Х 6 К") С К"', называемая пространством столбное матрены А, совпадает с линейной оболочкой (АХ~е+ц,..., АХ~и~). В частности, г = аппп У,(А) < п — е.
Но векторы АХ~'+Ц,... ..., АХОО линейно независимы, поскольку из О = ~ ДьАХОО = А( "~ ~3ьХ<"~) Юе+1 ноя+1 следует 2 >,+, Д,ХОО 6 Уя, а это в силу выбора Х1'+Ц,...,ХРО возможно только при,В,+1 = ... = рд = О. Значит, г = и — е. П 3 ам е ч а ни е. Если использовать язык линейных отображений (см. п. 1 ~ 3), то, очевидно, Уя = Кегля, 1е(А) = Ьп~од — ядро и образ отображения еоя: К" -~ К, отвечающего А. Для нас, однако, этот подход служит лишь мотивировкой для введения матричных понятий.
Чтобы найти базис пространства Ул, выберем в А г базисных столбцов одним из способов — приведением А к ступенчатому виду нли так, как это указано в гл. 3. Перестановкой столбцов нли, что равносильно, перенумерацией неизвестных можно добиться, чтобы базисными были т первых столбцов А1Ц,..., А<">. При этом в новой системе неизвестных ям хо,...,я'„главными неизвестными станут х'„..., х'„. Любая система из г+ 1 столбцов А®,..., А1"~, А1"+е>, й ) ) О, будет линейно зависимой, и на основании теоремы 1, ч) из 3 1 можно выписать систему соотношений х1~ 1АОО + хз~ ~АОО +... + х~"~А<"~ + А~"+"~ = О, й = 1, 2,..., и — г. Гл.
3. йепгиркцы Векторы-столбцы Х = (х1 ! хз ! ° ° ! хг, 1, О, ..., 0], (П (ь) (1) (1) Х = [х1 ! хз ! ° ! хг ! О! 1! ° ° . ! 0], (22) (з) (з) (х) (з) Х("-") = (х(,", х,"', ..., х('), О, 1, ..., 0] в количестве и — г штук, очевидно, линейно независимы (из-за спецыального вида своих последних и — г компонент) и, будучи решениями ЛОС (21), составляют по теореме 7 базис пространства 1А всех ее решений.
Понятно, что решение Х(е) получается, если новым (штрнхованным) свободным неизвестным придать значения ! х!.~.1 — О! ! хг+е 1! .! хп — О. Любой базис пространства решений однородной системы АХ = 0 ранга г называется р!ридамемшплоиой сне!немой решений. Систему (22) называют еще нормо вкой фундаментальной системой. Согласно следствию теоремы 1 3 2 ее ранг л = бпп1А = и — г равен числу свободных неизвестных линейнои системы. УПРАЖНЕНИЯ 1. Даны отобрикенвл: в) [х«,хь...,х„] «ч [хв,...,хх,х!); б) [х!,хв,...,х„) «-! [х!,хвв,...,хй); в) [х«,хв,...,х„] «ч [х!,х! +хе,...,х«+ хе+... +х„).
Какие нв нвк лвллюгсл линейнымиу 3. Докеэвть, что 1 о с Найти Ллл О ) Ь обратную матрицу. О О 1 3. Проверить«что ]] 1 1 ]] = Е. 4. В првлоиеннлх большую роль играют марковские (вли спмшесшоческке) метрвцы Р «х (Р;>), рп ) О, ) р«З = 1, («х1,2,...«П. 1 ! Линейные отобрикенил ор, ессоцвврованные с мвриовскимв матрицами, обычно применлвт к специальным тек иввыввемым ееролшиоствимм векторам-столбцам Х=[хь.,.,х], х;)О, 2 х;=1. у 8. Линейные опьобрпзсения. Дейсшекл с мвгпринамв 99 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 б.
Ассоцнкроваа с цшсиом длвны в з Я» (см. 6 8 гл. 1) матрацу перестановки (строк единнчной матрацы В») 0 0 ... 0 1 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 1 0 проверить, что Р» = Е. 7. Показать, что гзй(А+ В) < гапкА+гапхВ для любых двух щ х н-матрац А и В. б. Показать, что для любой пь х з-матрицы А в любек л х и-матрнцы В имеет место неравенство гвп)с А+ гавк  — з < гав)с АВ. 9.
Показать, что если АВС ы 0 длл квадратных матрвц А, В, С порядка н, то гац)>А+ гайВ+ гапйС < 2п. 10. Нанти ранг матрицы в~У~ Згря ... ХГУ» злу~ *зуз ззу» з»Уг з»рз . з»У» Указание. Показать, чтоА =[зг»...з»](ры",У»). 11. Показать, что еслн А = (е 3) — невырожденная снмметрвческая матрица (еб = еВ), то н А ~ — симметрическая матраца.
12. Йайтн А" г в Р г, если 6 4 3 2 1 4 6 6 4 2 3 6 9 6 3 2 4 6 6 4 1 2 3 4 6 2 3 2 1 3 6 4 2 4 6 6 3 2 4 3 2 Согласованность зтвх определенкй, диктуемых естестзеннонаучнммн задачамв, видна нз следующих утверждений, которые нужно доказать хотя бы прн нм2, а) Матрица Р 6 М»(Е) является марковской з точности тогда, когда вместе с любым вероятностным вектором Х вектор РХ также явлвеггл вероятностным (здесь РХ м е>р(Х)).
б) Если Р— поло>нншелькел марковская матрвца (Уй у уу ) О), то любому вероятностному вектору Х отвечает нолозсншелькмб вероятностмый вектор РХ (зсе компоненты строго больше нулл). з) Если Р в Сг — марковские матрицы, то марковской будет также матрица РЯ. Это означает, з частности, что любая степень РЬ марковской матрицы является марковской. 6.
Найтн 'Н Н, если Гл. й. Матрицы 13. Проверить, что А=)! Л )), еб-ос~О ~ А-'= — ~) с В частноств, об — Ьс=1==оА ~=!) Существует ли А з при об — Ьс = 07 14. Доказать, что дле любой матрицы А=~! выполнено соотношение Аз = (о+ Н)А — (еб — Ьс)Е (23) (другими словамв, А явлветсл "корнем" квадратного уравнение нз — (о+ д)з+ + (аб — Ьс) = О). 15. Прв об- Ьс зе О использовать соотношение (23) длл нахождения обратной матрицы А 16. Доказать, что есле ~~ !) ж О, то ~~ ~~ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
