1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Р(А(т),..., аА(4) + )ЗА~,) А(п)) = = стР(А(>) »... А>(т),, А(п) ) + )тс)(А(1)» А>(>) ' ' > А(п)) (ср. с п. 1 3 3 гл. 2). Та же функция Р называется кососимметри- Гл. в. (Ървдвлипмли ческой (см. п. 4 3 8 гл. 1), если Э(АО) А(>) А(>ег)»" А(п)) = = — 2)(А(ц " АО+ц АО)» "А(в)) 1(~ 4 (и — 1 (4) Замечание 1. Из определения линейных функций (см. (4) 5 3 гл. 2) можно заключить, что функция 2У полилинейна ровно тогда, когда при фиксированных АОО,...,АО ц,АО+ц,...,А)„) и при АОО = Х = (хы..., х„) мы имеем Р(А<ц »... А<„) ) = а)хг + азха +...
+ а„х„, где аы..., а„— скзляры, не зависящие от хг,..., х„. Замечание 2. Кососимметричность полилннейной функции Э эквивалентна выполнению соотношений Р(А>ц ° ° АО-ц Х Х А(>+г) ° А),.)) = О, 1 (4 ( и — 1 (4') В самом деле, положив АО) = А(;.ьц = Х в (4), мы придем к (4'). Обратно, при Х = АО) + АО ьг) из (4') вытекает в силу полилинейности Р соотношение Р(... > АО)>АО) >...) + 2)(... >Або))>АОец,... ) + +2)( АО) А<на) )+Р(" А< ~ц Арй ") = = Р(..., АО) + Абча), АО) + Абег),... ) = О.
Первые два члена равны нулю (положить в (4') соответственно Х = Арб и Х = Абв ц), поэтому равна нулю сумма двух последних членов, что является лишь иной записью соотношения (4). Те же определения и замечания относятсл к функции Р(АО),... ..., А(")) векторов-столбцов. Более того, условие (2) кососимметричности применимо к любой функции Р: М" -) Ж, где М" — декартова степень некоторого множества М. Напомним еще, что согласно лемме 2 гл. 1 при перестпановке местпами любых двух аргументов кососимметприческал функиил менлетп знак на протпивополохснтлй.
Обратим внимание на то обстоятельство, что в формулу (3) строки и столбцы матрицы А входят, на первый взгляд, "неравноправным" образом. Но если в А поменять местами строки и столбцы, то получится транспонированная матрица гА (см. п. 3 3 3 гл. 2).
Стало быть, речь идет о сравнении двух величин: г)ес А и бес 'А. Ответ дает Теорема 1. Определитпели любой квадратпной матрицы А и тпранспонированной с ней моторины тА совпадаютп: г)ес'А = г)есА. Доказательство. Положив А = (а,,), 'А = (а',,), где а',, = а >ь и заметив, что й = з(к гй) для любой перестановки тг Е Я„и для у 1. Определители! построение и основные свойство 107 любого номера й е (1,2,...,и), мы видим, что упорядочение множителей произведения а«м,...
а'„,„в соответствии с перестановкой к лейт ! ! а««...а =а -!«! -!«!. ° .а -! ! -! )= ! = а...,... а,,„„= а« „-,... а„ Еслиучестьеще,чтое„=е.,- (е„е„- =е,- = е, = 1)!а(к '~л й Е Я ) = (к~к Е Я ) = Я„(посколысу я > к ' — биективное отображение из Я„в Я„), то по формуле (3) имеем « ° ч !!Ез вез е а«, « ...а„, „= ««есА. С« вез Замечание 3. Утверждение теоремы 1 интерпретируется так: если для определителей выполнено какое-то свойство относительно строк (столбцов), то оно имеет место и относительно столбцов (строк). Теорема 2. Функиил пес: А ~+ бес А намнохсестве М„(К) облодае«п следующими свойствами. 01. деФА — кососимметрическая функиив строк матрены А («п.е. при перестановке местами любых двух строк определитель меняет знак на противоположный).
Р2. беФ А — полилинейнал функиия строк матрицы А (т.е. определи«пель матрены А лвллетсв линейной функиией злементов любой ее с«проки А«00). РЗ. оеФ Е = 1. Доказательство. Р1. Пусть А' — матрица, получающаяся из А перестановкой строк А«,>, А!«р т.е. А',> = А!«1, А', = А«,р А<0 —— = А!«> при 1 ф в, а Тогда, записав любую перестановку к й Я„в виде к = ог с транспозицией т = (в, «) (см.
в п. 3 3 8 гл. 1 выражение (10'), определяющее перестановку В ), будем иметь бес А' = ~~«, е~ак,« вез ! ! ! е!!та1,<г!'1 ' ' ' аэлт! ' ' ' а«м! « ' ' ' ап,!!тн аМ =Е ! ! ! вота«л« ° ° азы«а«л! ° ат,тн = !!ез 108 Га е. Определиепели ! Еееацае ° ° ° асее ° ° аьее ° . аи,еи «ея = — ~~)' е„ац,~...а„, „= — бесА. ела П2, Пусть А = [аб), и пусть А(ь) = Л'А~(е> + ЛиА~(~,р где штрихи указывают на вспомогательные матрицы А = [А(ц А(е-ц А(й) А(ечц А(и>] А" = [А(ц,...,А('„П...,А(„,). По условию аьд = Л~аед+ Лиа~ед, у = 1,2,...,и. Основываясь на замечании 1, свойство линейности беФ А относительно элементов (е-й строки А(е1 можно установить следующим образом.
По определению ()еФ [А(ц,..., А(ер..., А(„>) = беСА = — ~ ееаце( аь,ее аи,еи = ~~~, Репе,~ю еея еЕЯ где р, а Е Я„, — коэффициенты, не зависящие от элементов строки А(ер Собирал подобные члены, отвечающие тем а б Я„, для которых ая = у, и полагая од = 2,' „р, получим нужное свойство линейности бес[...,А(е1,...) = ~арале, уеа бе( [..., Л А((е) + Л~~А((~е) "] = и и и а;[Л'аед+ Л~~а~е~ ) = Л ~~ адае + ~ Лиадаед —— 1=1 1яа Уим = Л' бее [..., А~(~>,...] + Л" с)еФ [..., А~(ьр... ).
Короче: е)еС А = Л' бее А' + Л" бе( А". ПЗ. Очевидно, бееЕ = ~ ел еейц ~...д„,~„= е,йц1...б„,~ = = 1. П Из теоремы 2 вытекает несколько простых утверждений, которые мы сформулируем в виде свойств определителей, но доказывать нх будем в более общей ситуации — для любой функции 2У: М„[Ж) -+ -+ )и, обладающей свойствами Р1-Р2. у 1. Определипселис посптроение и основные своастпвв 109 Р4. Пустпь А 6 М„()а), Л 6 )а.
Тогда деСЛА = Л" десА. Действительно, в силу свойства Р2,примененного последовательно к строкам с номерами 1,2,...,имеем Р(ЛА) = Р[ЛА(ц, ЛА(з),..., ЛА(„)] = = ЛЭ[А(ц, ЛА(з)1..., ЛА(„)] = Л~с)[А(ц, А(з),...,ЛА(„)] = ... ... = Л"Э[А(д), А(з),..., А(„)] = Л"Р(А). П Рб. Оиределитпель с нулевот1 стпроко(( равен нулю.
Пусть, например, А(ю = (0,0,...,0). Тогда и 2А(ь) = (0,0,...,0). Следовательно, по Р2 Э(А) = Э[А(ц А(Ь) - А(в)] = Э[А(ц . 2А(Ю . А(а)] = = 22У[А(ц,...,А(ь),...,А(„)] = 2Э(А), откуда Тт(А) = О. П 1)6. Если в квадратпноб матрице А две строки совпадают, тпо ее определитель равен нулю.
Берем опять произвольную функцню Э со свойствами Ш-Р2. Поменяв местами две совпадающие строки А(,),А(с) в А, мы получим ту же матрицу А. С другой стороны, согласно свойству Ш для Ю значение Э(А) примет противоположный знак. Таким образом, Р(А) = -Ю(А), откуда 2Э(А) = 0 и Х)(А) = О. П Р7. Определитпель не меняется, если над его стпроками соверисать элементарные преобразования типа (П). Достаточно рассмотреть случай примененкя одного элементарного преобразования.
Пусть после прибавления к е-й строке матрицы А ее с-й строки, умноженной на Л, получилась матрица А'. Тогда в соответствии со свойствами Ш и Рб для Р имеем ас„ агв аы атг 0 а22 0 0 ... авв Р(А) =Э[А(ц . А(т)+ЛА(с) . А(с) ] = = О[А(с) А(т), ° ° >А(с) ° . ]+ЛЯ[А(с)! ° ° °,А(с) . А(с) ] = = Э[А(с) " А(.) " А(с) "] = 2У(А) П Замечание 4. Проведенные доказательства показывают, что любая функция 2): М„()к) -т )я со свойствами Ш-1)2 обладает также свойствами 04-Р7 (заменить символ с(ес на Р).
Предложение 1. Пусть Гл. 8. Определители 110 — веряняя тпреугольная матприиа порядка п, Š— единичная матприиа и Р: М„(11) -+ й — любая у»ункиия, обладаюи»ая сво»1ствами Р1-Р2. Тогда Р(А) = Р(Е)ад» ааз... б'„„. Доказательство. Согласнозамечанню4мыможемопиратьсл на свойства Р2, Р7. На основании 02 вынесем А„„за знак Р: ад» ... ад,„д ад„ Э(а) = а„„Т» О ... ап — д,п-д ап-д,п 0 ... 0 1 Применим теперь к А элементарное преобразование типа (П): вычтем из д-й строки стоящей под знаком Р матрицы последнюю строку, умноженную предварительно на ааг При этом элементы последнего столбца обратятся в нуль (кроме а„„= 1), а все другие элементы матрицы останутся без изменения.
Применим то же самое рассуждение к предпоследней строке вновь полученной матрицы и т.д. Каждый раз очередной элемент аа выносится за знак»д и рассуждение возобновляется. Проделав его п раз, мы убеждаемся в том, что 1 ... 0 Э(А) = а„„...адд Э 0 ... 1 а это и есть искомая формула. П Следствие. Если А — матприиа вида (5), пдо дедя = амагг... а (6) аы адз ... ад„ 0 агя ... аг 0 а г .. апп Д о к аз а т ел ь с т во непосредственно вытекает из предложения 1, если заметить, что бед Е = 1 (свойство ПЗ). П Полезно привести еще один вывод формулы (6), опирающийся на более общее утверждение, которым мы воспользуемся позднее.
Предваритвп но дадим следующее Определение. Определитель матрицы, получающейся из А = = (а» ) вычеркиванием д-й строки и р-го столбца, обозначается М». и называется минором матрицы А, соответствующим элементу а, Величина А," = ( — 1)»+1М»1 называется алгебраическим дополнением элемента а» . Предложение 2. Если 3 1. Онрсдсенвмен: построение н основном сеовствее 111 вео бес А = вы Мы = амАы.
Доказательство. Так как бесА = бес'А (теорема 1) и так как аы.— единственный отличный от нуля элемент первого столбца АП>, то а„ц1 = 0 при т1 1~ 1 и беФА= ~ е„а„,,1а зд...а„в,в= ~ еоаеда зд а вел ваяв,в1=1 Совокупность всех перестановок т Е Я„, оставяпощвх на месте символ 1, отождествляется с множеством 5„1 перестановок, действующих на множестве (2, 3,..., и). Таким образом, с)есА= ам ~~~ с а зд...а „,„= ояя -1 аез ... азв = ам Мы. 0 = аы овз ° овв В применении к верхней треугольной матрице А предложение 2 дает равенство бес А = ам Мы, где 022 М 0 овв — определитель того же вида, но на единицу меньшего порядка. Очевидное рассуждение по индукции приводит к формуле (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
