1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если угодно, его можно считать компактной записью векторного пространства Й~" строк длины тн (строки разбиты на отрезки длины п, расположенные друг под другом). 2. Произведение матриц. Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера тп х и и отображений И" -> К . В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (компоэиции) отображений (см.
п. 2 з 5 гл. 1). Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим, как это делается. Пусть рв: Ж" ~ К', ~рл: И' -в ее~ — линейные отображения, фо = фл в фв — их композиция: Гл. ».
Маптрицм й) ~р(ЛХ) = рл(рв(ЛХ)) = утл(Лути(Х)) = Литл(ттв(Х)) = Лу(Х); поэтому по теореме 1 с у ассоциируется вполне определенная матрица С. Действие отображений на столбцы в цепочке [хм" хо] "+[ут" >ут] '4[» " ] запишем в явном виде по формуле (1'): 3 Ю п п / а »; = ~атгуь = ~ать ) уьдхт — — ц~~ ~~~ атьуьт хт. »=1 ь=т тэы »=1 С другой стороны, п сух»э »=1,2,...,тп. тьм Сравнивая полученные выражекия и памятуя о том, что х,, (у = = 1,2,..., и) — произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям Э от= ~ )ать(тьтэ 1<т'<т, 1<у<о. (7) ьют Будем говорить, что матраца С = (стт) получается в результате умножения матрицы А на матрицу В.
Принято писать С = АВ. Таким образом, произведением прямоугольной матрицы (аы) размера тп х в и прямоугольной матрицы (оы) размера в х и называется прямоугольная матрица (стт) размера тп х и с элементами с;, задающимися соотношением (7). Нами доказана Теорема 2. Произведение улети двух линейных отображений с маптрицами А и В являвшая линейным отпображснием с матприцсй С = АВ.
Другими словами, Юла = Флв. (8) Соотношение (8) — естественное дополнение к соотношению (6). Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение АВ двух прокзвольных матриц А, В, имея в виду, однако, что символ АВ имеет смысл тполько в тном случае, когда число стполбцов в матпрнцс А совпадастп с числом стпрок в матприце В. Именно при этом условии работает правило (7) умножения т-й строки АВ) на у-й столбец В<тт, согласно которому су = (атт,...,ат,)[Ьттэ...,6, ] = АубВ О) (9) р Я. Линеаные отаобрансвнил.
Деасятвил е маятрицоми 88 Число строк матлрицы АВ равно числу строк мащрицы А, а число еяюлбцов — числу стполбцов машрицьт В. В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, АВ 16 ВА, как показывает хотя бы следующий пример: 00 10 00 ~ 00 10 00 Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным вьппе. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиция) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике. Следствие.
Умножение маягриц аесоциаптивно: А(ВС) = (АВ)С. Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а по теореме 1 э 5 гл. 1 произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7). П Обратим еще внимание на так называемые законы дисшрибртаивносши: (А+ В)С = АС+ ВС, Р(А+В) = РА+РВ, (10) где А, В, С, Р— произвольные матрицы размеров соответственно т х з, тп х з, з х и, и х пт. Действительно, полагая А = (а,т), В = (Ьтт), С = (су), мы получим для любых т,у равенство (используя дистрибутивность в И) н н П 'т (ать+ бть)сь = ~'„т агьсьв+ ~ бтьсгтэ в=1 в=1 я=1 левая часть которого дает элемент дц матрицы (А+ В) С, а правая— элементы Ь; и И; 'матриц АС и соответственно ВС.
Второй закон дистрибутивности (10) проверяется совершенно аналогично. 3. Хранспонирование матриц. Будем говорить, что матрицы аы аш ... ат„ ам агг ... агн аы ам .. атт агг агг ... аыг 'А= а,„т а„тг ... атз„ атн агн ° ° ° азтн размеров та х и и н х пг соответственно получаются друг из друга таранснонированисм — заменой строк на столбцы, а столбцов на Гл.
й. Мвтриим 84 строки (внимательный читатель заметит, что понятие транспонирования уже встречалось в упр. 1 г 2). Непосредственно видно,что с(сА) = А с(А+В) = сА+ сВ с(ЛА) = ЛсА Транспонирование произведения матриц подчиняется более интересной закономерности. Если Ьы Ьсг Ьсн Ь Ь ... Ь„ аы асг 1121 1122 а1 аг.
Ьм Ьэг ... Ь, аслс атг ... а,„, и А (а~в ) В (Ььь) то / авс — — аин Ь' =Ь Вычисление коэффициентов матриц С1п С2в сы сгг см сгг С =АВ= Ст1 Стиг ° ° ° Стлп ды 412 " 41 дг1 аг2 . 112 т В= 'В 'А= д»1 дн2 до тв по формуле (7): ! су = ~~~ асвбьсч сЦс = ~~ Ьваы — — лс асвбс, 1=1 1=1 2=1 показывает, что дгс = с;1 при всех 1 ( с < тп, 1 ( у < и. Значит, 'С = В, или, в исходных обозначениях, сВ сА Более общо: если определено произведение матриц А1, Аг,..., А„, то '(А1 Аг...
А„) = 'А,...'Аг 'Ас. В силу теоремы 1 г 2 выполнено также свойство гапк сА = гапк А. 4. Ранг произведении матриц. Пусть А и  — произвольные матрицы размеров гп х в и в х и. Что можно сказать о величине гапк АВ? Теорема 3. Справедливо неравенство гап11АВ < ппп (гапкА, гапкВ). у' Ю. Линеяные оигобраисенив. деясигвиа с маигрииами 85 Д о к а з а т е л ь с т в о. Для строк СО) и столбцов С с)) матрицы С = АВ мы в соответствии с (7) имеем выражения СО) = АО)В, СВ) = АВсг). (11) Интерпретируя теперь ранг матрицы А как т, = гап1с А = с(пп(АО), Асз),..., Ас~)), считаем без ограничения общности базисными строки АО),..., Аби), поскольку необходимая перестановка строк в А будет сопровождать- ся точно такой же перестановкой строк матрицы С, а зто преобра- зование (з.п. типа (1)) не меняет ни гап1сА, ни гап1с С. Итак, гг АОО гг ~ ЛыАО), тг < )с ( пг, с=с откуда (используя дистрибутнвность (10)) получаем и гг г\ СОО = Ась)В = (~ь ЛесАс ))В = ~~г Лес(Ас)В) = ~ЛесСс ), гсы и, стало быть, (СО),...,С<ы)) = (С(г),...,СОи)).
Таким образом, гап1с С = с(1т(СО),..., Сс,.н)) < тг = гап)с А. Аналогично, интерпретируя ранг матрицы В как тг = гыйВ = б)т(ВО),Все),...,Вса)) и считая без ограничения общности базисными столбцы ВО),... ..., Вс"г), будем иметь гг ВОО =~ ~'р„В®, 1=1 гг тг гг Сс") = АВсе) = А(~)ге)Всб)) = ~)геуАВО) = ~~~ )гвгСсб), .гты тг<й<п, откуда гап)сС = с))сп(СО),...,С(")) < тг. = гап1сВ.
П Заметим, что в случае каких-то специальных матриц А, В доказанное неравенство может становиться строгим. Так будет, скажем, при А ф О, В ф О, АВ = О (см. пример в п. 2). В общем случае теорема 3 просто утверждает, что при умножении матриц ранг не может увеличиться. 86 Г». 3. Матрицы ЕА=А=АЕ, А6М„(К). Более общо: ойа6„(Л)А = ЛА = А 61ая„(Л), (12) где Л О ... О О Л ... О О О ... Л 61ак„(Л) = ЛЕ = — известная нам скалярная матрица (см.
8 3 гл. 1). Таким образом, умножение матрицы А на скэяяр Л равносильно умножению А на скалярную матрицу. В равенстве (12) отражен легко проверяемый факт перестановочности 61ая„(Л) с любой матрицей А. Весьма важным для приложений является следующее его обращение. Теорема 4. Матрица иэ М„, перестановочнал со всеми матрицами в М„, должна быть скалярной.
Доказательство. Введем матрицу Е;,, в которой на пересечении 1-й строки и у-го столбца стоит 1, а все остальные элементы нулевые. Если Я = (ьц ) — матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна, в частности, со всеми Е;;: ЕЕО = ЕОЯ, ь', у = 1, 2,..., п. 5. Квадратные матрицы. Множество всех квадратных матриц (аб) порядка и с вещественными коэффициентами а;, обычно обозначается М„(К) (или М„). Как уже отмечалось в конце п.
1, можно говорить о векторном пространстве М„(К). Согласно и. 2 произведение любых двух матриц из М„(К) снова принадлежит М„(К). При этом выполнены свойства ассоциативности и дистрибутивности. О п р е д ел е н не. Говорят, что квадратные матрицы фиксированного порядка и образуют матричное (ассоциативное) кольцо; а с учетом легко проверяемых правил ЛАВ = (ЛА)В = А(ЛВ) умножения на скаляры Л 6 К множество М„(К) называют также алгеброб матриц над К. К этим наименованиям предстоит еще привыкнуть (см. гл. 4 по поводу систематизации терминологических новшеств), а сейчас мы обратим внимание на единичную матрицу Е = (бьд), где б ( О, еслий~у, — символ Кронекера.
Очевидно, что гап'кЕ = п. Правило умножения матриц (7), в котором следует заменить Ьь на бь„показывает, что справедливы соотношения у 3. Линсаныв отображения. Дсаствил с маи1рииами 87 Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы 0 0 ... 0 0 ... хм ... 0 0 ... хы ... 0 1 х11 х12 ° ° хуи О ... х; ...
О 0 0 ... 0 с единственным ненулевым у-м столбцом и соответственно с единственной ненулевой счй строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям хы = 0 при сс ~ 1 и ха = хум Меняя 1 и у, получаем требуемое. П Для данной матрицы А Е М„(К) можно попробовать найти такую матрицу А' й М„(Е), чтобы выполнялись соотношения АА' = = Е = А'А. Сразу же заметим, что Действительно А" = АиЕ = А" (АА') = (АиА)А' = ЕА' = А'.
Таким образом, матрица А', коль скоро она существует, единственна. Ее называют матрицей, обратное к А, и обозначают А г: АА '=Е=А 'А. (14) При выполнении (14) говорят еще, что матрица А обратима. Определение. Матрица А Е М„(Ж) называется нсвырождгнноб, если система ее строк (а тем самым и столбцов) линейно независима, т.е. гап(с А = и. Если гап1с А < и, то А называется вырожденной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
