1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если линейная оболочка (Хт,..., Х») не совпадает с У, то выберем в У вектор Х»+т ф (Хт,..., Х»). Другими словами, Х»+т не является линейной комбинацией векторов Хт,..., Хю По теореме 1, чт) система Хт,..., Х», Х»ьт линейно независима. Мы могли бы продолжать неограниченно процесс расширения линейно независимой системы, но все ее векторы Х, лежат в Ж" = (Еттр Е1зр..., Е(„)), а по только что доказанной лемме всякая линейно независимая система в Ж" содержит не более и векторов. Стало быть, при некотором натуральном т < п линейно независимая система Хт,..., Х»,..., Х„е У станет максимольноб, т.е. мы получим линейно зависимую систему Хт,..., Х„, Х, каков бы ни был вектор Х ~ О из У.
По теореме 1, ч) будем иметь включение Х 6 (Хт,..., Х,). Значит, У = (Хт,..., Х,), и векторы Хт,..., Х„составляют базис для У. Предположим теперь, что Ут,...,1; — еще один базис для У. По лемме мы имеем неравенство в < г. Поменяв местами системы Хт,...,Х„и Ут,...,У„мы получим по той же лемме неравенство г < в. Стало быть, в = т, и теорема доказана. П Заметим, хотя в этом и нет большой необходимости, что все наши рассуждения в равной мере относились как к пространству строк, так и к пространству столбцов. Итак, с каждой линейной оболочкой У в Ж" ассоциируется целое положительное число г ( п, которое мы назвали ее размерностью: т = дпп У.
В частности, дппЖ" = п. Этот важный числовой параметр пространства можно характеризовать разными другими способами. Один из вариантов определения размерности основан на понятии ранга системы векторов. Именно, если (Хт, Хз,... ) — какзя-то, возможно, бесконечная, система векторов в пространстве Ж", то, как мы знаем, размерность линейной оболочки (Хт,... ) не превосходит и.
Ее называют рангом систпемы (Хт, Хз,... ): тапи(Х»,Хэ,...) = дпп(Х»,Хз,...). В случае У = (О) принято считать дпп У = О. 72 Гл. а Матприиы УПРАЖНЕНИЯ 1. Линейная оболочка (1? О 1') называется суммой подпростраиств 1? и У: о + И = (У О И) = (и+ и ) и Е У, е 5 И). Если 1? О И = О, то говорят, что сумма П+ 1' прямая, и пишут 1? Ю У. Пусть У = 'г1 9 Уэ и Х = Х1 + Хэ = Х( + Х' — два выражения вектора Х Е И в виде линейной комбинации вектоРов ХыХ', 5 Ъ1 и Хэ,Хэ 5 Ъ~. Тогда имеем Х1 — Х( = Хэ — Хэ Е У1 О Уэ, а так как Ъ1 О Уэ = О, то Х1 = Х(, Хэ = Хэ. Доказать обратное: если запись Х ж Х| + Хэ, Хс Е К, з = 1,2, единственна для каждого вектора Х 5 И, то сумма И = 11 + Уэ прямая.
Более общо: сумма У подпространств Уы ...,1ь С Ж" называется прлиоб суммоб У = 1'1 Ю ... Ю Ъ~, если каждый вектор Х Е И имеет однозначное выражение вида Х = Х1+...+Ха с Х; Е Ъь 2. Пусть К К1 и Ър — линейные оболочки в Ж", причем У С Ъ~ + Уэ, Всегда Лн ВЕРНО, ЧтО У ж У О 11 + У О Уэ? Чтс МОЖНО СКаэатЬ ПРО ЭтО СООТНОШЕНИЕ В частном случае г1 С 1'? 3. Пусть И вЂ” линейная оболочка в Ж". Если У = 1? Щ И' — разложение в прямую сумму, то оболочка И' называется дополнением к?У, а 1? — дополнением к И' в И. Однозначно ля определено дополнение к 1? в И? Сравнить И' с теоретико-множественным понятием дополнения 171? (см, 1 5 гл, 1). 4.
Показать, что векторы Хз = (1,2,3), Хэ = (3,2, 1) линейно независимы; рассмотреть линейную оболочку И(Хы Хэ); показать, что вектор Х = (-5,2,9) содержится в И, и найти его координаты в базисе Хы Хз; найти в Жз хотя бы одно дополнение к У. 5. Показать, что система векторов Хы .,.,Х„ иэ Ж" тогда и только тогда порождает Ж", когда она линейно независима. О. Показать, что всякую линейно независимую систему векторов Хы ..,, Хь из линейной оболочки У С Ж" можно вложить в некоторую базисную систему для И. ?. Пусть?? и $~ — линейные оболочки в Ж".
Доказать, что если 1? О Ъ' = О, то йш(П + У) = йш П+ йш1'. 8. Найти ранг системы векторов (О, 1, 1), (1, 0,1), (1, 1,0). 2 2. Ранг матрицы 1. Возвращение к уравнениям. В векторном пространстве К столбцов высоты т рассмотрим п векторов А = [ац, ац,..., а,„з), у' = 1, 2,..., и, (д)— и их линейную оболочку Ъ' = (А('),А(э),...,А(")). Пусть дан еше один вектор В = [61,62,...,6 ]. Спрашивается, принадлежит ли В линейной оболочке 1г С )йш, а если принадлежит, то каким образом его координаты 61,..., 6 (относительно стандартного базиса (3') вз 3 1) выражаются через координаты векторов А(д)? В случае бпп У' = = и вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора В в базисе А(1),..., А("). Мы берем линейную комбинацию векторов эа й.
Рана мап1риуы А111 с произвольными коэффициентами х и составляем уравнение х1А1Ц +... + Х„А1п1 = В. Наглядный вид этого уравнения 6, 62 О12 ам а1„ аг1 аг„ +Ха Х1 а а г есть лишь иная запись системы из ог линейных уравнений с и неизвестными амх1+ а12хг+ .. +О1„х„= 61, О21Х1 + Оггх2 +... + О2 Х = 62 (2) От1Х1 + Оп12Х2 + ° ° + Оыпхп Ьт ° Именно такую систему мы и встретили впервые в г 3 гл. 1. Там же были введены простая и расширенная матрицы О1„ аг» аы агг О21 О22 Оп11 аыг . Оп1п (3) Ь1 6г аы а12 аг1 агг О1 агп (А(В) = Оыг Отпг Отан Ьп| а13 = ~ ~(~~1 аб) = ~~ (~а11) = ~ ~ац, 1 1 1 1=1 1=1 линейной системы (2). Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий.
Осталось приобрести навыки в обращении с ними. В этом месте удобно еще раз остановиться на обозначениях. Для сокращения записи мы часто будем сумму 81 + 82 +... + 8„обозначать 2',,ъ1 81. При этом 81,..., 8„— величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т.д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила и и и и ЕМ81 = ФЕ81 Е(81+2) = Е81+Егг 1=1 1=1 1=1 1=1 1=1 достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы 74 Гл. я. Матрицьс в которых порядок суммирования (по первому и второму индексу) можно выбирать по своему желанию.
Это легко понять, если расположить величины а;. в прямоугольную матрицу размера т х и: в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам. Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте. 2. Ранг матрицы. Назовем пространством сгполбцов прямоугольной матрицы А размера т х и (см. (3)) введенную выше линейную оболочку )г = (А('),А(э),...,А(")). Будем теперь У обозначать гь(А) или просто К,(в — вертикальный). Размерность гв(А) = = йпп1в назовем рангом по столбцам матрицьс А. Аналогично вводится ранг по строкам матрицы А: гг(А) = с)пп гг~ где 1г = (А(ц, А(э),...,А( )) — пространство огарок матрицы А, т.е.
линейная оболочка в )а", натянутая на векторы-строки А(;) = (ап, аи,..., а;„), 1 = 1, 2,..., т (г — горизонтальный). Другими словами, тв(А) = гап)с (Асц, А~~~,..., А("~) гг(А) = гап)с(А(г),А(э),...,А( )) — ранги систем векторов-столбцов и векторов-строк соответственно. По теореме 2 3 1 величины гь(А) и гг(А) определены правильно. Следуя терминологии, введенной в ~ 3 гл. 1, будем говорить, что матрица А' получена из А элементарным преобразованием типа (1), если А~(,) — — А(с),А~(,) — — А(,) для какой-то пары индексов в ф г и А(() — — А(,) для 1 ф в,с. Если же А~(г) = А(;) для всех 1 ф в и А~(,) — — А(,) + ЛА(с), в ф с, Л й )а, то говорим, что к А применено элементарное преобразование типа (П).
Здесь имеются в виду элементарные преобразования над строками матрицы А. Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т.е. матрица А', получающаяся из А при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в А путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа. Лемма. Если матрица А' получено иэ прямоугольной магприцы А путем применения конечной последоватеяьносгпи эланенгпарных преобразований над строками, то имеют место равенства: 1) гг(А') = гг(А); й) гв(А') = гь(А). Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда А' получена из А путем применения одного элементарного преобразования (э.п.).
1) Так как (А(г)~ ..~А(ь)~" ~А(с)~ "~А(ю)) = (А(г)~" зА(с),...,А(,),...1А(„,)), у" й. Ранг матрицы 75 то э.п. типа (1) не меняет г„(А). Далее, А~,1 = Або + ЛАО> =з АОО = А~Π— ЛА(О и, следовательно, аы ... азь .. ам О ... ага .. ам О ... О ... азз аы агл аз агл агн аз (5) О ... О ... О О ... О ... О а и О ... О (А(П,..., АОО + ЛАП),..., АОП..., А(т)) = = (А1О,...,А<,>,...,А(О,...,А(„,>), так что т,(А) не меняется и при э.п.
типа (П). й) Пусть А' з~, 1 < у < и, — столбцы матрицы А'. Докажем, что гбб и ~Л1АП~ = Ос=» ~ь Л1А'(у) =О, (4) дэп дэм С этой целью рассмотрим две линейные однородные системы ЛОС и ЛОС' с матрицами А и А' соответственно, записанные в виде (1) (столбцы свободных членов нулевые): ЛОС: ~~хйАП~ =О, ЛОС': ~~~ х А'(у) =О. гва д=з Матрицы А и А' у нас таковы, что ЛОС' получается из ЛОС прн помощи э.п. типа (1) или (П). По теореме 1 з 3 гл. 1 системы ЛОС и ЛОС' эквивалентны, т.е. всякое решение (лыЛг,...,Л„) одной системы будет решением другой, а это и есть импликация (4). Таким образом, всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство г,(А') =- гв(А).
П Основным результатом этого параграфа является сведующее утверждение. Теорема 1. Для любой прямоугольной т х п-матрицы А справедливо равенство г,(А) = г,(А) (зто число называется рангом матрицы А и обозначается гап1сА). Доказательство. По теореме 2 з 3 гл. 1 конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками Ао матрицу А можно привести к ступенчатому виду Гл. л. Материны с аыагьаи... а„, ~ О.
Согласно лемме тв(А) = В,(А), тг(А) = тг(А), так что нам достаточно доказать равенство ге(А) = т„(А). Столбцы матриц А и А с номерами 1,Й,1,...,е, отвечающими главным неизвестным хм хмхп, .., х, линейной системы (2), будем называть базисными спголбиами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения ЛгА~г1+ ЛьА~"г+ ЛгАО) +... + Л,АОО = О, связывающего векторы-столбцы А~"~ = [аы,агыО,О] АОО = [аы,аг„...,а„,О,...,О] АО~ = [аы,0,,0] матрицы (5), получим Л,а„= О, ..., Лгазг = О, Льагь = О, Лгаы = О, а так как агдаггазг ., а„~ О, то Лг = Ль = Л~ = ...
= Л, = О. Значит, гап(с(АО~,А(~~,А(~1,...,АОО) = т и гв(А) ) г. Но пространство )гв, порожденное столбцами матрицы А, отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из А удалением последних тп — т нулевых строк. Поэтому тв(А) = д1ш 1г~ < дпп Ж' = г. Сопоставление двух неравенств показывает, что г (А) = т (неравенство тв(А) < г вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы А являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения). С другой стороны, все ненулевые строки матрицы А линейно независимы: любое гипотетическое соотношение ЛгАО) + ЛгА<г1+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
