1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 12
Текст из файла (страница 12)
чеханостаь иелого числа й для данной перестпановки тт всегда одна и тпа же. Кроме тпого, (8) еьв = гаер для всех о, Д Е Я„. Доказательство. 1) Предположим, что наряду с (6) мы имеем также разложение тт = тт тэ... т»,, (6') причем четности й и й' различны. Это значит, что целое число й+ й' нечетно. Так как (т,')г = е, то, последовательно умножая справа обе части равенства тттэ... т» = т,'тэ'... т»„вытекающего из (6) и (6'), на т»,..., тз, т.„'получим тттг...
т»т» ... тэ'тт = е. Мы свели нашу задачу к следующей. Пусть е= птпг...п„, тп,, тп > О, (9) — запись единичной перестановки в виде произведения тп > О транс- позиций. Нужно показать, что обязательно тп — четное число. С этой целью будет установлено, что от записи (9) мы можем перейти к записи е в виде произведения пт-2 транспозиций. Продолжив этот спуск, мы пришли бы при нечетном тп к одной транспозиции т.
Но, очевидно, е т» т. Итак, нам нужно обосновать спуск в (9) от тп к пт — 2 множителям. 2) Пусть в, 1 < в < п, — любое фиксированное натуральное число, входящее в одну из транспозиций пг,..., и . Для определенности считаем, что е = пт ° .. пр-»пров+1 ° ° . пьт, где ар — — (вт), во ьы...,о,„не содержат ж Для стр т имеются четыре возможности: а) пр т — — (в т); тогда отрезок пр тор = (в т)(в т) из записи е уда- ляется, и мы приходим к тп — 2 транспозициям; б) пр т = (в т), т ф в,с; здесь пр тор — — (в т)(в С) = (в т)(т 1), и мы сдвинули вхождение в на одну позицию влево, не изменив тп; у (). Перестановки 57 в) ггр 1 = (1т), т ф в, ц здесь пр 1пр = ((т)(вс) = (вт)(1т), и снова, как в случае б), произошел сдвиг в влево без изменения т; г) ар 1 = (г) т), (0, т) О (в,() = И; здесь ар 1ар = (от)(31) = (в1)(г)т). В случае а) наша цель достигнута.
В случаях б)-г) повторяем процесс, сдвигая вхождение в на одну позицию влево. В конечном счете мы придем либо к случаю а), либо к экстремальному случаю, когда е = а',пз... а', причем сг', = (8$') и в не имеет вхождений в пз,...,а,'„. Значит,а»(в) = впри й > 1ив = е(в) = п1(в) = 1' ~ ж По- лученное противоречие доказывает утверждение об инвариантнос- ти е„ь 3) Если о = 71...
т», Д = т»+1 ... Ъ~~, то аф = т1... т»т»+1 ...т»41 и ео = ( — 1) р ед = ( — 1), еоф = (-1) = ( — 1) ( — 1) = еоео. С) Определение Перестановка к ч Я„называется четное), если е = 1, и нечетной если ее = — 1. Из определения вытекает, что все гпранспозиции — нечетные пе- рестановки, а е, = 1. Оледствие. Пусгпе перестановка к ч Яе разлозсена в произве- дение независимых циклов длин (1,(2,...,(ы. Тогда Егг = ( — 1) Действительно,по теореме 2 имеем Егг — Еег ...гг — Еггг ° ° ° Ее Кроме того, е, = ( — 1)1" ', поскольку к» записывается в виде произведения (» — 1 транспозиций (см. доказательство следствия теоремы 1). Окончательно Е„= ( — 1)" '... ( — 1)'" ' = ( — 1) 2.4 г('" 1). П Пример.е= ~ /1234бб78910111 ) .
Имеем гг = (1 б 2 4 7)(3 б 9 8)(10 11), ~ б 4 б 7 2 9 1 3 8 11 10 ) откуда14 = б, 1е =4, 14 = 2 и е = (-1)4+етг = 1 Запишем Я„в виде объединения Я„= А„0 А„, где А =(кЕЯ„(е =Ц вЂ” множество всех четных перестановок, А„= Я„'( А„— множество нечетных перестановок. Пусть т = ((2) — любая транспозиция. Отображение Я„в себя, определенное правилом Ь,: к «+ тгг, биективно. (Оно инъективно: та = т)3 =р о = Д далее применить теорему 3 из 3 5. Можно просто заметить, что Ь~ — единичное отображение и Л, ' = Ь,.) Для наглядности изобразим Ь, в виде перестановки Т» 1. Истоки о»зебры 58 степени дГ = Ы на множестве Я„= (яг = е, яг, яз,..., хзг): ЯГ Ггг ЯЗ ...
ггн ) тяг тяг т7ГЗ ... тггм / т (10) Аналогично, ХГ ГГг ГГЗ ... Язг 7Г17 Ягт ЯЗТ ... Хит Г т (10') 2 " 2 (11) 4. Действие Я„на функциях. К важному понятию знака перестановки о Е Я„можно подойти несколько иначе, подсчитывая число так называемых о-инверсий (см. упр. 5 в конце параграфа). Но вместо этого мы дадим сейчас альтернативное доказательство теоремы 2, которое опирается на понятие кососимметрической функции, важное само по себе и полезное для дальнейшего.
Определение. Пусть гг Е Яп и 1" — функция от любых п аргументов. Полагаем (гг о /)(хг,..., хп) = 1(х,г,..., х и). (12) Говорят, что функция д = я о у яолучоеягся дег)ствием я ко 1. Лемма 1. Пусть а,)3 — лвбыс перестановки вз Я„. Тоздо (аД) о1 спас()го1), Д о к аз а телье т во. В соответствии с определяющим соотношением (12) имеем (аоУоУ))(ХГ,...,Х ) =Уо1)(Х Г,...,Х ), или, полагаЯ Уз = хоз и замечаЯ, что Убч = х Ии), (ао(9оУ))(хг,...,хп) = (Ро~НУГ, ° °,У ) = г (уГ31~ >удп) = з (хо(д1)~ ° ~хо(яп)) = ДХ(о)Г)„...,Х(оя)п) = (аД) о~)(ХГ,...,Хп).
П Определение. Функция У от и аргументов называется кососилгмегярвческоб, если У(...,хз,хз+г,...) = — Д...,хз+г,хз,...), — перестановка на Я„. Отображения (10) и (10') будут использоваться нами впоследствии, причем даже в более общем контексте. А сейчас заметим, что ег = в,с = — сю поэтому Тт(Ап) = Ап, Тт(Ач) = 4п Значит, число четных перестановок в Яп совпадает с числом нечетных перестановок, откуда у 8. Пересптаноеки 59 т.е. при перестановке местами любых двух соседних аргументов значение у меняет знак на противоположный. Лемма 2. При нервсптановке местпами любых двух аргументаов кососимметприческая (Рункиия менлетп знак на ироптивоноложныт).
Доказательство. Пусть переставлены з-й и у-й аргументы, причем т < у. Проводим индукцию по числу 1 = у — т — 1 аргументов между переставляемой парой. При 1 = 0 утверждение леммы совпадает с определением кососимметрической функции. Пусть лемма верна при всех у — т — 1 < 1. Тогда У (..., хо хт+й,..., ху т, хт,... ) = = -У(...,хт+т,хт,...,ху ых,...) = = 1(...,хтьт,хт,...,х ых;,...) = = — у(...,хт,хт+ы...,хт. т,хт,...).
(.) Надо еще быть уверенным в том, что не все кососимметрические функции тождественно равны нулю. Простейшим является следующий пример. П р и и е р. Пусть тй» =тй»(хыхз,...,х») = П (хт — хт). !ьт<ть» Символ П при записи произведения играет ту же роль, что и 1 при записи суммы. Выделив любые два рядом стояпсзх аргумента хй, хйтт, будем иметь тй» = (хй+т — хй)((хает — хй т)... (хает — хт)(хй — хй т)... (хй — хт)) А В, где А= П (хт-*,), 1<у<т<й » В = П ((ха ха-1) ° ° (х» хе+1)(хз хй) ° (ха хт)). з=йез При перестановке местамя хан хй»т множители Нхй+т — хй-т) " (хй+т — хт) (хй — хй-т) " .(хй — хтИ А и В, очевидно, ие меняют своих значений, в то время как (хй — хй+т) = -(хй+т — хй) Это и значит, что Ь»(" хыхй+ы ") = -Ь»(",хй+ыхй ".), й (й < и — К По лемме 3 имеем также С»( хз хт ° ° ) — — лй»(...,хт, хт ° ° ).
Кроме того, Ь»(хт,..., х») ~ 0 при попарно различных хы..., х». 60 Гл. 1. Но»поки алеебры Второе доказательство теоремы 2. Возьмем произвольную кососимметрическую функцию 1 от и аргументов х1,..., х„. По лемме 1 действие и = тгта... та на 1 сводится к последовательному применению транспозиций та, тв 1,..., т1, т.е. к М-кратному умножению 1 на — 1: н о 1 = (т1... та 1) о (та о 1) = -(тг ... тв 1) о 1 =... = ( — 1) 1 = е»1. Так как левая часть етого соотношения зависит от я, но не от какого-либо его разложения, то и отображение е: ы ь+ е, заданное равенством (7), должно полностью определяться перестановкой я при условии, конечно, что 1 не тождественно равная нулю функция. В качестве такой функции можно взять, например, только что рассмотренную функцию 1 = Ьп. Применение к такой функции 1 перестановки а)1 по правилу, изложенному в лемме 1, дает еаг?1 = (а)1) о1 = а о(?8 о 1) = ао(еб1) = еб(а о 1) = — ед(еа1) (едеа)1 откуда получается соотношение (8).
П Замечание. К действию оп на функциях мы будем обращаться неоднократно, а в [ВА 1Щ увидим, что зто лишь частное проявление гораздо более общей закономерности. Пока наше маленькое достижение заключается в том, что словесное выражение "поменяем в 1(хы..., х„) местами хе и х " сведено к символьной записи т о 1 с транспозицией т = (41). УПРАЖНЕНИЯ 1. В курсе математического анализа доказывается формула Стирлинга пг т'2»пи"е ", где е»а 2, 718281...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
