1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Едииичиым (или тпохсдеспзвемиым) отображением ех: Х -> Х называется отображение, переводящее каждый элемент х е Х в себя. Если Х вЂ” подмножество в У; Х С У, то иногда бывает полезным специальное отображение — вяохсемие 1: Х -+ У, которое каждому элементу х ч Х сопоставляет тот же самый элемент, ио уже во множестве У. Отображение 1 . "Х -+ У называется сужеиием (или ограиичемисм) отображения д: Х' -+ У', когда Х С Х', У С У' и чх й Х 1(х) = д(х). В свою очередь д называется продолжением отображения 1. Например, вложение 1: Х -+ У есть ограничение единичного отображения еу . У -+ У.
Нам представится также случай говорить о функциях многих переменных. Полезно уяснить себе, что введенное вьппе понятие декартовой степени Х" множества Х дает возможность говорить о 37 у б. Множества и оптобрвжснил функции у(хм...,х„) многих переменных хт Е Х, т' = 1,..., и, как об обычном отображении у: Х" -т У.
Произведением (суперпозицией или композицией) двух отображений д: П -т У и 7': У -т И' называется отображение У о д: П -+ И/, определенное условием (7 о д)(и) = у (д(и)) Чи Е Г То же самое наглядно изображается тпреуеольной диаераммой т" о в У Про эту диаграмму говорят, что она коммутпируетп (или коммутпатпивна), т.е. результат перехода от П к тУ не зависит от того, сделаем ли мы это прямо при помощи у о д или воспользуемся промежуточным этапом У. Заметим, что композиция определена не для любых отображений у и д. Надо, чтобы в предшествующих обозначениях у них было общим множество У.
Но композиция двух преобразований множества Х в себя всегда имеет смысл. В дальнейшем вместо у од мы будем писать просто уд. Ясно, что Уел =Л, евУ=~ для любого отображения 7": Х вЂ” т У. Проверка этого свойства очевидна. Важное свойство композиции (произведения) отображений выражает следующая Теорема 1. Композиция оюпображений подчинлетпсл закону ассоциатпивностпи. Этно значитп, чтпо если й: У~У, д: У-+Ит, 7: И' — тТ вЂ” тари отображения, тпо Пдй) = (й)ь. Доказательство. Наглядновсенеобходимыерассуждениясодержатся в следующей диаграмме: 38 Гл.
1. Истоки алгебры где а = дЬ, б = 1д. В соответствии с формальным определением равенства отображений нужно просто сравнить значения отображений 1(дЬ): У -> Т и (1д)Ь: У -+ Т в произвольной "точке" и б П. Но согласно определению композиции отображений имеем (1(дЬ))и = 1((дЬи)) = 1(д(ЬиИ = (1д)(Ьи) =- Ц1д)Ь)и. П Композиция отображений Х -+ Х, вообще говоря, некоммутативна, т.е.
1д ~ д1. В этом легко убедиться на примере, когда Х = = (а, Ь) — множество из двух элементов, 1(а) = б, 1(е) = а, д(а) = а, д(6) = а. Другой пример: 1 и д — настоянные отображения из Х в Х, т.е. значения 1(х) и д(х) не зависят от х. Тогда 1 г д =г 1д Ф д1. Некоторые функции имеют обратные. Предположим, что 1: Х -+ -+ У и д: У -~ Х вЂ” какие-то отображения, так что композиции 1д и д1 определены. Если 1д = ек, то 1 называется левым обратным к д, а д — правым обратным к 1. Когда произведения в любом порядке являются единичными отображениями: 1д = еу, д1 = ех, д называется двусторонним обратным (или просто обратным) отображением для 1 нли к 1 (а 1 — обратным отображением к д) и обозначается 1 '. Итак, 1(и) = о ~ 1 '(о) = и.
Предположив существование еще одного отображения д': У -+ -+ Х, для которого 1д'=ег, д1=ех, мы, опираясь на равенства (1), (1') и на теорему 1, получим д' = ехд = (д1)д' =д(1д') = дег = д. Таким образом, двустороннее обратное отображение к 1, коль скоро оно существует, определено однозначно. Зто и служит оправданием для обозначения 1 '.
Теорема 2. Отображение 1: Х -+ У тогда и только тогда имеет обратное, когда оно взаимно однозначно (биективно). Доказательство теоремы опирается на следующую лемму, представляющую самостоятельный интерес. Лемма. Если 1: Х вЂ” ~У, д: У-+Х вЂ” любые отображения, длл которых д1 = ех, то 1 иньектиено, а д сюрьективно. Доказательство.
В самом деле, пусть х,х' к Х и 1(х) = = 1(х'). Тогда х = ех(х) = (д1)х = д(1х) = (д1)х = ех(х') = х . з' б. Множества и отображения Стаю быть, у инъективно. Если, далее, х — любой элемент из Х, то х = ех(х) = (ду)х =д(Ух), а это доказывает сюръективность д. П Возвращаясь к теореме 2, предположим вначале, что у обладает обратным д = у '. Тогда из равенств (1) и из леммы вытекает как сюръективность, так и инъективность |.
Другими словами, у биективно. Обратно: предположив у биективным, мы для любого у й У найдем единственный элемент х й Х, для которого /(х) = у. Положив д(у) = х, мы определим отображение д: У -+ Х, обладающее свойствами (1). Значит, у 1 = д. П Следствие. Из биективности отображения у: Х -+ У вьипекает биективноспьь ~ 1, причем У 'Г' =У.
(2) Пусть, далее, у: Х -+ У, Ь: У -+ Я вЂ” биективные отображения. Тогда биективна и их композииил Ьу, причем (ЬУ)-' = У-'Ь-'. Доказательство. По теореме 2 биективность у влечет существование у ', что в силу той же теоремы эквивалентно биективности у '. Симметричность условий (1), переписанных в виде О ' = еу, у 1у = ел, дает равенство (2). Далее, по условию и по теореме 2 существуют отображения У-'. У-+Х, Ь-'. Е-+У и их композиция У-'Ь-'. г- Х Из равенств Я)(Г'Ь ") = ((М)У ')" "= (Ь(11 '))" ' = ЬЬ ' = ех (У " )Ж)Г (Ь (М)) = Г ((Ь ЬЬ)И = Г У = ех вытекает, что у 1Ь ' — обратное отображение к ~. П Отображение "следования" о: )ь) -+ (Ч, определенное правилом п(п) = н+ 1, инъективно, но не сюръективно, поскольку первый элемент (единица) не принадлежит 1ш о.
Интересно, что для конечных множеств подобнав ситуация невозможна. Теорема 3. Если Х вЂ” конечное множество и преобразование у: Х -+ Х инъективно, то оно биективно. Доказательство. Нужно лишь показать, что у сюръективно, т.е. для любого элемента х й Х найдется х' с у(х') = х. Положим У~(х) = 1(1 (1х)...) = 1(1 'х), Ь = 0,1,2,... В силу конечности Х в этой последовательности элементов должны быть повторения.
Пусть, скажем, у™(х) = у" (х), т > п. Если н > О, Гл. 1. Истоки аязебры 40 то из Щ 'х) = /(/" х)и из инъективности / следует равенство '(х) = /» '(х). Повторив достаточное число раз сокращение /, мы придем к равенству "(х) = /~(х) = е(х) = х. А в таком случае /(х') = х, где х' = /"' " '(х). С) Как легко понять, сюрьектпвное преобразование конечного лзножества в себя также биекпэнвно. Несколько слов о мощности. Считается, что два множества Х и у имеют одинаковую жоп4носнзв тогда и только тогда, когда существует биективное отображение /: Х ь )'. Множества той же мощности, что и г) (или ю), называются счетнымн. УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть й = (+, —, ++, +-, -+, --, +++,...
) — множество всех конечных последовательностей плюсов и минусов, а /: П -+ П вЂ” преобразование, переводящее элемент и = иэиэ...и» Е Й в и' ы и1и~иэиэ... и»и», где иь = —, если иь = +, н иь = +, если иь = —. Показать, что в /(/и) любой отрезок длины > 4 содержат ++ иан --.
2. Имеет лк отобрюкение /: И -э И, заданное правилом и «» иэ, правое обратное? Указать длл / два левых обратных отображения. 3. Пусть /': Х е У вЂ” отображение и Б, Т вЂ” подмножества в Х. Показать, что /(Б О Т) = /(Б) и /(Т), /(Б и?') С /(Б) Г1 /(Т). Привести пример, показывающий, что последяее включение нельзя, вообще говоря, заменить равенством.
4. Множество всех подмножеств множества Б обозивчаетсл Т(Б) = (Т)Т С Я). Если, например, Я = (зы зэ,...,з„) — конечное множество из и элементов, то Т(Б) состоит яз пустого множества х, и одноэлементных множеств (зэ), (зэ],... ... (з„), п(п -1)/2 двухэлемевтных множеств (зо зб ), 1 ( 1 (? ( и, и тд. вплоть до Т ж Б. Какова мощность множества Т(Б)? б. Пусть /: Х ь У вЂ” отображение я Ь = /(а) для некоторого а б Х. Прообраз / '(Ь) =/ '(/(а)) = (х( /(я) =/(а)) иногда называют еще слоем яад элементом Ь б 1т/.
Показать, что все множество Х является объеднненяем непересекающихся слоев (т.е. разбкением множества Х). Предупреждение. Обозначение / э(6) не следует ассоциировать с обратным отображением, которого может и не быть. Е. Показать, что конечназ декартова степень сийского множества явллетсл счетным множеством. ?. Симметрическая разность двух мяожеств Б и Т обозначается Б/ьТ; Б/эТ= (Я 1Т) О(Т1 Я) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
