1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1) отвечает четверная группа Клейна (прямое произведение двух циклических групп второго порядка), а молекуле фосфора Р4 (рис. 2), имеющей вид правильного 0 Н Н Рис. 2 Рис. 1 тетраздра, в вершинах которого расположены атомы фосфора,— симметрическая группа 54 порядка 24. Неприводимые представления этих групп будут изучены в [ВА 1Щ. 18 Га. 1. лспюки алгебры В настоящее время развитие структурной теории молекул трудно себе представить без помощи теории групп.
Гораздо более ранние применения теории групп относятся к кристаллографии. Еще в 1891 г. великий русский кристаллограф Е.С. Федоров, а затем немецкий ученый А. Шенфлис вилли 230 пространственных кристаллографических групп, описывающих все имеющиеся в природе симметрии кристаллов. С тех пор теория групп постоянно используется для исследования влияния симметрии на физические свойства кристалла. 3. Задача о кодировании сообщения.
В конструировании автоматических систем связи, наземных или космических, обычно в качестве элементарного сообщения берется упорядоченная последовательность — строка (или слово) а = (аы аг,..., а„) длины и, где а; = 0 или а; = 1. 'Хак как обычные операции сложения и умножения по модулю 2 хорошо приспособлены для выполнения на электронной машине, а сами символы О, 1 удобны для передачи в виде электрических сигналов (1 и 0 отличаются фазой разделенных по времени сигналов или их наличием и отсутствием),то неудивительно, что поле ОР(2) (см.
3 3 гл. 4) — необходимый атрибут специалиста по переработке информации. Иногда удобно использовать в качестве а, элементы других конечных полей. С целью исключения влияния помех (атмосферных разрядов, космических шумов и т. д.), способных превратить 0 в 1 и обратно, приходится брать а достаточно длинным и использовать специальную систему кодирования — выбор такого подмножества (кода) Яо передаваемых строк (кодовых слов) из всего их множества Я, чтобы было возможно восстановить а по полученному искаженному слову а' при условии, что произошло не слишком много ошибок. Так возникают коды, исправляющие ошибки. Алгебраическая теория кодирования, сильно развившаяся за последние годы и предложившая много остроумных методов кодирования, имеет дело в основном со специальными линейными кодами, когда выбор 5в связан с построением специальных прямоугольных матриц и решением систем линейных уравнений, коэффициенты которых принадлежат заданному конечному полю.
Простой пример такого кода будет приведен в гл. 4. 4. Задача о нагретой пластинке. Плоская прямоугольная пластинка с тремя отверстиями (рис. 3) используется в качестве клапана одного фантастического устройства для получения низких температур.
На клапан нанесена квадратная сетка (решетка). Ее вершины, лежащие на четырех контурах, называются граничными, а все остальные вершины — внутренними. Непосредственное измерение 3 8. Систнемы линейные уравнений. Первые шаги 19 показывает, что при любом нагревании или охлаждении температура в каждой внутренней вершине является средней арифметической величиной от температур ближайших четырех вершин — неважно, граничных или внутренних.
Ожидается, что детали устройства, 100 300 -273 300 -50 50 Рис. 3 соприкасаясь с различными участками контуров, сообщат соответствующим граничным точкам указанную на рис. 3 температуру. Возможно ли это, а если возможно, то однозначно ли при этом распределение температуры во внутренних точках? 9 3. Системы линейных уравнений. Первые шаги Линейные уравнения ах = 6 и системы вида ах + 6у = е, ох+ау = 1 с вещественными (действительными) коэффициентами а, 6, с, й, е, 1 "решаются" в средней школе. Наша цель — научиться оперировать с сисгаемой линейных алгебраических уравнений (нли, коротко, с линейной сисгаеМОй) Самсгс Общего вида амх, + а12хг + .. + а,„х„= 6ы а21хв + аг2хг +... + аг„х„= 62, (2) аы1х1+ а 2 +... + а,„„х„= 6,„.
Здесь 7п и и — произвольные целые положительные числа. Будучи, казалось бы, чисто количественным, усложнение, получающееся при переходе от (1) к (2), имеет на самом деле принципиальное значение. Системы вида (2) встречаются буквально во всех разделах математики, н так называемые линейные методы, конечным продуктом которых часто являются решения линейных систем, составляют ее наиболее развитую часть. Достаточно упомянуть, что теория систем вида (2) послужила в конце Х1Х века прототипом для создания теории интегральных уравнений, играющей исключительно 20 Гл. 1.
Ясптони алгебры важную роль в механике и физике. Решение большого числа практических задач на ЭВМ также сводится к системам (2). 1. Терминология. Следует обратить внимание на весьма экономное и удобное обозначение коэффициентов системы (2): коэтрй>ициенш а;т (читается а-и-жи; например, атг есть а-один-два, но никак не а-ДвенаДцать) стоит в т-м УРавнении пРи 1-й неизвестной хт.
Число 6; называется свободным членом т-го уравнения. Система (2) называется однородной, если 6; = О для г = 1, 2,..., тп. При любых 61 линейную систему аыхт + атгхг +... + ат х„= О, агтхт + аггхг +... + агпх„= О, (20) а>лтхт + а>лг +...
+ а>лпхп = О называют однородной систпемой, ассоциированной с системой (2) или еще — приведенной систпемой для системы (2). Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу отп аг„ ам атг атп азг (3) аыт аз .. а„ называемую мвтприцей размера т х п (тп х п-матрицей или нвадратп- ной машрицей порядка и при тп = и) и сокращенно обозначаемую символом (а; ) или просто буквой А. Естественно говорить об г-й старане (ап, а*'г >..., аьэ) матрицы (3) и о 1-м столбце ат1 агт ат1 Йай(аы, агг, а„„) и называется диагональной матрицей, а приам = агг =... = а„„= а обозначается Йая„(а) (скалярная матрица).
Для матрицы тйай„((), называемой единичной матрицей, обычно используется обозначение Е„или Я, когда размер матрицы фиксирован. который в дальнейшем, ради зкономии места, будет изображаться строкой, заключенной в квадратные скобки: [ат1, аг1 »... а„,т). В случае квадратной матрицы говорят еще о главной диагонали, состоящей из элементов ам, агг,..., а„„. Матрица (ац), у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, обозначается иногда 2 8. Системы линейных уравнения.
Первые шози 21 Наряду с матрицей (3) рассматривают и расширенную матрицу (ао [ о;) системы (2), получаемую из (3) добавлением столбца [31, йз,..., й ! свободных членов; для ясности он отделен от остальных столбцов вертикальной чертой. Если каждое из уравнений системы (2) обращается в тождество после замены неизвестных х; числами хо, то упорядоченный набор из н чисел хоь,хоз,...,хо называется решением системы (2), а хо— его з-й компонентой.
Говорят также, что набор хо хзо,...,хо удовлетворяет всем уравнениям системы (2). Система, не имеющзл ни одного решения, называется несоемесшноб. Если же у системы есть решения, то она называется совместной и притом определенной, коль скоро решение единственно. Решений может быть и более одного, тогда система называется неопределенной. Совместна ли данная система линейных уравнений, а если совместна, то каковы все ее решения — вот ближайшие вопросы, на которые нужно получить ответ.
Посмотрим еше рзз на задачу п. 4 1 2. Проиумеруем все внутр пластинки произвольным образом от 1 до 416 (именно столько их на рис. 3), добавим к ним 204 номера граничных точек и в соответствии с заданным правилом вычисления температуры 1» во внутренней точке с номером с составим 416 соотношений типа енине точки Са + сь + 1» + 1 ~ 4» —— 4 Рис. 4 Пусть, скюкем, о, Ь, с < 416, И > 416. Тогда это соотношение мсвкно переписать в виде линейного уравнения -Са — ФЬ вЂ” 1»+41» =се аМХ1+арзХг+ .. +а,пХп = Ь„ » аз?Х1+ аззяз+ .. + Птпхп хс (»2, (2') ат1х1 + асшз+ ...
+ асшпхп = (гю. Будем говорить, что система (2') получена из (2) при помощи злсментларного преобразования шина (1), если в системе (2) все уравнения, кроме з-го и й-го, остались прежними, а з-е и )с-е уравнения поменялись местами. Если же в (2') все уравнения, кроме з-го, те же, с правой частью Фл = -273,-100,-60,0,60,100,300 (возможны и другие варианты). Взятые вместе зти уравнения составвт квадратную линейную систему вида (2) с п = т = 416. Коэффвпиеиты при неизвестных Ц равны 0 (их большинство), -1 или 4.
Является ли эта система совместной и определенной? Мы получили иную, математически точную формулировку задачи качеств е н н о г о характера. Вопрос о существовании и единственности весьма типичен для многих разделов математики, связанных с изучением фвзических явленяй, 2. Эквивалентность линейных систем.
Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера 22 Гл. 1. ??стоки алгебры что и в (2), а 1-е уравнение имеет вид (ап + саы)хт +... + (атп + са»о)х„= Ь; + сЬ», (*) где с — какое-то число (т.е. а'; = атУ+са»т, Ь'; = Ь;+сЬ»), то полагаем, что к системе (2) применено элементарное преобразование типа (П).
Линейные системы (2) и (2') называются эквивалентными, если обе они либо несовместны, либо совместны и обладают одними и теми же решениями. Условившись обозначать эквивалентность систем (а) и (Ь) так: (а) (Ь), мы замечаем, что (а) (а), вз (а) (Ь) следует (Ь) (а), а из (а) (Ь) и (Ь) (с) следует (а) (с). Достаточный признак эквивалентности систем содержится в следующем утверждении. Теорема 1. Две линейные системы эквивалентпны, если одна получается из другой путаем применения конечной последоватпельности элементпарных преобразований.
Доказательство. Достаточно установить эквивалентность системы (2) и системы (2'), полученной из (2) путем применения одного элементарного преобразования. Заметим, что система (2) получается из (2') также в результате применения одного элементарного преобразования, поскольку эти преобразования обратимы. Другими словами, в случае (1), переставив еще раз местами уравнения с номерами 1 и к, мы вернемся к первоначальной системе; аналогично в случае типа (П),прибавив к т-му уравнению в (2') й-е, умноженное на ( — с), мы получим 1-е уравнение системы (2). Докажем теперь, что любое решение (хоы..., хоп) системы (2) является также решением системы (2'). Если было произведено элементарное преобразование типа (1), то сами уравнения вообще не изменились (изменился только порядок их записи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
