1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Кроме того, в каждой части имеется раздел, где перечислены, с необходимыми пояснениями, некоторые нерешенные илн трудно решаемые задачи, непосредственно примыкающие (во всяком случае, по своей постановке) к программному материалу и лежащие почти что на поверхности. Вряд ли эти задачи станут предметом повального увлечения, но будет прекрасно, если в ком-то они зажгут огонек поиска математической истины. Несколько слов о [ВА 1].
Эту книгу можно считать алгеброй в миниатюре. Фундаментальные понятия группы, кольца, поля, новые для большинства студентов, вводятся по возможности неформально и в минимальных дозах, хотя общее количество производных понятий получается довольно большим. Их не нужно запоминать: они станут привычными после самостоятельной работы над задачами и упражнениями. Для удобства выделяется несколько наиболее употребительных алгебраических систем таких, как группы (Е, +), Я„, А„, С1„, Я „, кольцо многочленов, поля Я, К, С и Ер, на фоне которых демонстрируется язык алгебры. По традиции и по соображениям преемственности между школой и вузом вначале излагается техника матриц и определителей, используемая для отыскания и исследования решений систем линейных уравнений.
На этом пути естественным образом возникают и основные алгебраические структуры. Их Предисловие А.Я. Коспсрикпи ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Сборник задач по алгебре/ Под редакцией А.И. Кострикипа. — Мл Факториал, 1995. 2. Курою А.Г. Курс высшей алгебры. — 10-е иэд. — Мл Наука, 19 с 1. 3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. — Мл Наука, 1984. 4. Шафаревич И.Р.
Основные понятия алгебры. — Мл ВИНИТИ, 1986. ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ Аа альфа с1б дельта Ее эпсилон бета гамма дэета нп эта 1с йота Кк каппа ЛЛ ламбда тэта кси Оо омпкрон Рр ро Ест сигма То пи силок Фф фи Тт тау 1с эс омега псв более обстоятельному изучению посвящена книга [ВА 1Щ, а пока в нашу задачу входит лишь накопление "живых" примеров. Следует обратить особое внимание на книгу И.Р.
Шафаревича [4[ из дополнительного списка литературы, в которой развивается свежий и в высшей мере нетрадиционный взгляд на алгебру, а также на математику в целом. Я благодарен всем читателям старого учебника "Введение в алгебру", его переводчикам на английский, болгарский, испанский, польский, французский, китайский языки и рецензентам, сообщившим свои замечания, а также членам кафедры высшей алгебры МГУ, где учебник продолжает подвергаться ежегодному испытанию.
Я рад выразить глубокую благодарность А.Я. Кострикиной, а также Н.К. Ильиной и В.В. Острику эа неоценимую помощь при оформлении рукописи. Ы 'ЧИТАТЕЛ'Ю О Согласно общему плану, изложенному в предисловии, схема зависимости глав в книге лннейна.Фактически студенту-первокурснику полезно читать все подряд, обращая особое внимание на многочисленные примеры и на упражнения, значительная часть которых обычно предлагается во время экзамена. Искушенному читателю (скажем, преподавателю нли студенту второго курса) будет нетрудно начинать чтение практически с любого места, естественно — прн наличии готовности обращаться время от времени к определениям в предыдущих параграфах и главах.
Не все новые понятия вводятся в абзацах, начинающихся словом "определение". Подробное оглавление н предметный указатель помогут найти нужное место в книге. Каждая глава разбита на несколько параграфов, а каждый параграф — на несколько пунктов с собственными названиями. Внутри праграфа теоремы, предложения, леммы, следствня имеют свою собственную нумерацию: теорема 1, теорема 2, ...; лемма 1, лемма 2, ...
С этой примитивной, но весьма наглядной и экономной нумерацией прн ссылках на утверждения нз другого параграфа приходится писать "теорема 1 ~ у" нлн даже "теорема 1 3 у гл. й", однако это не вызывает неудобств. Конец доказательства отмечается знаком П. Для сокращения используются простейшие логические символы. Знак имплнкацин =~ в записи А =~ В имеет простую смысловую нагрузку, что "А влечет В" нли "из А следует В", в то время как "А с=> В" означает эквивалентность высказываний А и В, т.е. (... тогда н только тогда, когда ... ). Квавтор всеобщности 'Ф служит заменой выражения "для любого". Остальные обозначения понятны из контекста. Выше приведен целиком греческий алфавит с указанием произношения букв.
Наблюдаемая здесь путаница досадна, поскольку буквы греческого алфавита весьма употребнтельны в математике. Глава 1 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ С чего начинается алгебра? С некоторым приближением можно сказать, что истоки алгебры кроются в искусстве складывать, умножать и возводить в степень целые числа. Формальная, но далеко не очевидная и не однозначная замена чисел буквами позволяет действовать по аналогичным правилам в пределах гораздо более общих алгебраических систем. Стало быть, попытка ответить исчерпывающим образом на поставленнъй вопрос увела бы нас не только в глубь веков, в тайны зарождения математической мысли.
Более трудная часть ответа была бы связана с описанием основных структур алгебры наших дней: групп, колец, полей, модулей и т. п. Но этому как рзз и посвящена значительная часть книги, так что цель главы 1 кажется пока недостижимой. К счастью, под абстрактной оболочкой болыпинства аксиоматических теорий алгебры скрываются вполне конкретные задачи теоретического или практического характера, решение которых служило в свое время счастливым, а иногда и неизбежным поводом к далеко идущим обобщениям. В свою очередь развитая теория давала импульс и средства к решению новых задач. Сложное взаимодействие теоретических и прикладных аспектов теории, присущее всей математике, в алгебре проступает весьма отчетливо и делает в какой-то мере оправданным принятый нами концентрический стиль изложения.
После кратких общих замечаний, связанных с историей предмета, мы сформулируем несколько задач, предваряющих содержание последующих глав. Одна из этих задач послужит отправной точкой для изучения систем линейных уравнений, теории матриц и теории определителей. Мы изложим метод Гаусса и получим первые сведения о решениях линейных систем.
Уже на этом этапе полезно ввести стандартные обозначения и терминологию, для чего мы дадим сжатый обзор теории множеств и отображений. Будут введены важные понятия отношения эквивалентности и факторизации отображений. Далее в связи с разъяснением принципа математической индукции устанавливаются элементарные комбинаторные соотношения. Особое место отводится перестановкам, на которых базируется теория определителей.
Наконец, приводимые в последнем параграфе простейшие арифметические свойства системы целых чисел не только используются в дальнейшем, но и являются прототипом для построения аналогичной арифметики в более сложных алгебраических системах. Гь. 1. Истоки алгебры 12 Материал этой главы не выходит далеко за пределы школьной программы. От читателя требуется лишь готовность встать на несколько более общую точку зрения. Чтение можно начинать с З 3.
З 1. Алгебра вкратце В наши дни не без основания говорят об "алгебраизации" математики, т.е. о проникновении идей и методов алгебры как в теоретические, так и в прикладные разделы математики. Такое положение вещей, ставшее совершенно отчетливым к середине ХХ столетия, наблюдалось отнюдь не всегда. Как всякая область человеческой деятельности математика подвержена влиянию моды. Мода на алгебраические методы вызвана существом дела, хотя увлечение ею иногда переходит разумные границы. А так как алгебраическая оболочка, затмевающая содержание, не меньшая беда, чем элементарное забвение алгебры, то не случайно достоинством той или иной книги уже считается (вполне резонно) умение ее автора юбежать перегруженности алгебраическим формализмом.
Если отвлечьсл от крайностей, то алгебра издревле составляла существенную часть математики. То же самое следовало бы сказать и о геометрии, но мы скроемся за крылатой фразой Софи Жермен (Х1Х век): "Алгебра — не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах". С тех пор положение изменилось, но, кажется, "признано, что априрода" математических объектов есть, в сущности, дело второстепенное и что довольно неважно, например, представили ли мы результат в виде теоремы "чистой" геометрии или при помощи аналитической геометрии в виде алгебраической теоремы" (Н. Бурбаки). В соответствии с принципом "важны не математические объекты, а отношения между ними" алгебра определяется (несколько тавтологически и совершенно непонятно для непосвященного) как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств.
Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики. В свою очередь на основе алгебраических соображений получаются наиболее естественные доказательства многих фактов из "высшей арифметики" — теории чисел. Но значение алгебраических структур, т.е. множеств с алгебраическими операциями, далеко выходит за рамки теоретико-числовых применений. Многие математические объекты (топологические пространства, функции нескольких комплексных переменных и др.) изучаются путем построения надлежащих алгебраических структур, если и не адекватных юучвемым объектам, то во всяком случае отражающих их существенные стороны.
Нечто подобное относится и к объектам реального мира. 3 1. Алгебра екрошпе Арифметические действия ыа множествах целых и рациОнальных положительных чисел. Алгебраические формулы в геометрических и астрономических расчетах. Формулировка задач на построение (об удвоении куба и трисекции угла), занимавших алгебраические умы в гораздо более позднее время. Древние цивилизации Вавилона и Египта. Греческая цивилизация "Арифметика" Диофанта (П1 в. н, з.).
Алгебраические уравнения первои и второй степени. Возникновеыие самого термина "алгебра", Восточная цивилизация средяих веков. Сочинение уроженца Хивы Мухаммеда ибн Муса зл-хорезми (ок. 825г.) "Хисаб ал-джвбр ва-лмукабвла". Решение общих алгебраических уравне- ний третьей и четвертой степени. Эпоха Возрождения. С. Ферро (1465 †15) Н. Тарталья (1500-1557) И. Кардано (1501-1576) Л.
Феррари (1522-1565) Ф. Виет (1540-1603) Р. Вомбелли (1530-1572) Создаыие современной алгебраической символики. Возникновение аналитической геомет- рии — прочного мостика между геомет- рией и алгеброй. Оживление деятельно- сти в теории чисел. Х17П-ХЧ1П Р. Декарт (1596-1650) Н. Ферма (1601-1665) И. Ньютон (1643-1727) Определенное мнение на этот счет было высказано более 45 лет назад одним иэ творцов квантовой механики П. дираком: еСовременная физика требует все более абстрактной математики и развития ее основ. Так, неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, считавшиеся одно время просто плодом воображения или увлечения логическими рассуждениями, теперь признаны весьма необходимыми для описания общей картины физического мира".
Алгебраические средства весьма полезны при исследовании элементарных частиц в квантовой механике, свойств твердого тела и кристаллов (в этой связи особенно важна теория представлений групп), при анализе модельных задач экономики, при конструировании современных ЭВМ и т.д. и т.п. В свою очередь алгебра питается живительными соками других дисциплин, в том числе математических. Так, гомологические методы алгебры выросли из недр топологии и алгебраической теории чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
