1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1. Иепзеки алзеерм 32 жение аи аы а«З О21 «122 «123 ОЗ1 Оэг ОЗЗ агэ — ам азз а12 а«З аЫ а«З + аэ« азг озз агг огз агг = ои О32 = оиаггазз+аыогзоз1+оззомозг — оиогзазг — аыом«ззз о«зоггоз«, <8) 61 аы о«з Ьг агг огз Ьз озг азз аи а«г а«з О21 «122 «123 «131 «132 «132 Х1 —— Предположим, что коэффициент при х1 отличен от нуля. Тогда, проведя аналогичные вычисления для хг и хз, мы выразим соответственно х«,хг,хз в виде Ь1 а«г а«з 62 «122 «123 Ьз азг озз аи Ь1 а«з аг« Ьг агз аз1 Ьз азз аи а«2 61 ам агг 62 аз1 азг Ьз (9) аи а12 а«з «121 «122 «123 аЗ1 аэг ОЗЗ аи а«г а«з ам агг ОЗ3 «ЗЗ1 Оэг аЗЗ аИ аЫ а«З «121 «122 «123 аЗ1 аэг аЗЗ Очевидно, что те же самые рассуждения применимы к системе иэ четырех, пяти и т.д. уравнений с тем же числом неизвестных. Для этого нам надо сначала вывести формулы, аналогичные (6), для решений однородной системы трех уравнений с четырьмя неизвестными; потом в системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными исключить хг,хз,х4, умножая уравнения нас«,сг,сз,сл и складывая их.
Мы найдем значения с«(1 = 1, 2, 3, 4) из системы трех однородных уравнений. коэффициент, получающийся при х1 и строящийся из определителей третьего порядка по образцу (8), мы назовем определип«елел« чепзверп«ого порядка. Проводя те же рассуждения с хг, хз, х4, мы найдем для х«формулы, аналогичные (9). Так можно продолжать неограниченно. Уверенность в том, что мы когда-нибудь достигнем цели, нам дает общий принцип, широко используемый в математике, а именно принцип математической индукции (см. 3 7). задаваемое при помощи определителей второго порядка. Легко заме- тить, что правая часть в равенстве (7) получается из коэффициента при х1 заменой а11 на 61, аи на 62 и а31 на 63. Поэтому равенство (7) можно записать в виде у 5.
Миожесгпее и огпоброжеиил 33 УПРАЖНЕНИЯ 1. Формулу (8) легче запомнить, если воспользоваться следующкм иагллдяым правилом знаков длл выписывапия произведеикй, входящая в рзаложепие определителя третьего порядка: + Найти аизлогичиое правило для определителя четвертого порядка. 3. Показать, что все шесть членов в разлшкепии определителя третьего порядка ие могут быть одяовремеиио поломительиыми. 3. Проверить, что Оц Ош О12 ОЫ Ощ Ом О21 О22 О22 О12 О22 ОЗ2 ОЗ1 Овз ОЗЗ О1З Озе ОЗЗ О О Ь -О О с ыс.
-Ь -с О 3 5. Множества и отображения В предыдущих двух параграфах мы встретились с множествами элементов разной природы, равно как и с отображениями множеств. Множество решений данной системы линейных уравнений или правило, ставящее в соответствие каждой матрице второго порядка ее определитель, — это лишь частные проявления того круга формальных понятий, знакомство с которым (хотя бы на интуитивном уровне) полезно для дальнейшего. 1. Множества.
Под мможеспзвом, понимают любую совокупность объектов, называемых эламемпзалзи множества. Множества с конечным числом различных элементов могут быть описаны путем явного перечисления всех их элементов; обычно эти элементы заключаются в фигурные скобки. Например, (1, 2, 4, 8)— множество степеней двойки, заключенньпс между 1 и 10. Как правило, множество обозначается прописной буквой какого-либо алфавита, а его элементы — строчными буквами того же или другого алфавита. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться. 'Гак, буквами )Ч, л, Щ )й обозначают соответственно множество положительных целых чисел (натуральные числа), множество всех целых чисел, множество рациональных чисел и множество вещественных чисел. При заданном множестве о' еилючемие а е о' указывает на то, что а — элемент множества о'; в противном случае пашут а гр о'. 34 Гл.
1. Иовоке алгебры Говорят, что Я вЂ” подлгножесгиео множества Т н записывают зто Я С Т (Я содержится в Т), когда имеет место нмплнкацня гх хЕЯ=гхЕТ. (По поводу обозначений см. раздел "Советы читателю".) Два множества Я н Т совпадают (нлн равны), если у ннх одни и те же элементы. Символически это записывается так: Я=Т~ЯСТ, ТСЯ (с=~ — "тогда н только тогда, когда" илн "влечет в обе стороны"). Пустое мкехсестлео И, совсем не содержащее элементов, по определению входит в число подмножеств любого множества.
Если Я С Т, но Я ф о н Я ф Т, то Я вЂ” собственное подмножество в Т. Для выделения подмножества Я С Т часто используют какое-либо свойство, присущее только элементам вз Я. Например, (и Е Е ~ и = 2гп для некоторого щ Е Е) — множество всех четных целых чисел, а 1Ч = (п Е Е ) п ) 0~ — множество натуральных чисел. Под пгресечеквелг двух множеств Я и Т понимают множество ЯйТ=(х) х ЕЯ, хЕТ~, а под нх объедиигявем — множество Я 0 Т = (х ) х Е Я нлн х Е Т~). Пересечение Яй Т может быть пустым множеством. Тогда говорят, что Я и Т вЂ” непересекающиеся множества.
Операции пересечения и обьедннення удовлетворяют тождествам типа В й (Я 0 Т) = (В й Я) 0 (В й Т), В0(ЯйТ) = (В0Я) й(В0Т), проверку которых мы оставляем читателю в качестве упражнения. Рнс. 5 поможет провести несложное рассуждение. Ряс. 5 Раэностпью Я ~ Т множеств Я н Т называется совокупность тех элементов нз Я, которые не содержвтся в Т.
При этом, вообще говоря, не предполагается, что Т С 5. Вместо Я ~ Т пишут также Я вЂ” Т. у б. Мнозсесп~ва и ошображенил Если Т вЂ” подмножество в Я, то запись Я ~ Т обозначает еще дополнение к Т в Я. Положив В = Я ~ Т, будем иметь В О Т = О, В О Т = Я. Обратим внимание на соответствие между операциями пересечения, объединения, дополнения и логическими связками "и", "или", "нет".
Пусть далее Х и У вЂ” произвольные множества. Пару (х, у) элементов х й Х, у й У, взятых в данном порядке, будем называть упорядоченной парой, считая при этом, что (хму1) = (хюуз) тогда и только тогда, когда х1 = хз, у» = уз. Декаршовмм произведением двух множеств Х и У называется множество всех упорядоченных пар (х, у): Х х У = ((х, у) ~ х й Х, у й У). Пусть, например, и — множество всех вещественных чисел.
Тогда декартлов квадраш йз = К х В есть просто множество всех декартовых координат точек на плоскости относительно заданных координатных осей. Аналогичным образом можно было бы ввести декартово произведение Х» х Хз х Хз трех множеств (= (Х» х Хз) х х Хв = Х, х (Хз х Хз)), четырех и т.д. При Х1 — — Хз =...
= Х» пишут сокращенно Х» = Х х Х х ... х Х и говорят о й-й декартовой ствепени множества Х. Элементами Х» являются последовательности (или строки) (хм хэ,..., х») длины й. Чтобы почувствовать различие между множествами Х х У и Х 0 О У, возьмем за Х и У множества конечной мощности (сапйпаЫу (англ.)): ~Х~ = Сап$Х = п, ~Ц = СвхйУ = ш. Тогда ~Х х У~ = пп», ~Х О У~ = и+ гп — ~Х О У~. Если это не ясно, то нужно перечитать заново все определения.
2. Отображения. Понятие отвобрахсенив или функции играет центральную роль в математике. При заданных множествах Х и У отображение у с областью определения Х и обласшью значений У сопоставляет каждому элементу х й Х элемент у(х) й У, обозначаемый также Ух или У,. В случае У = Х говорят еще о преобразовании У множества Х в себя.
Символически отображенне записывается в видеу: Х вЂ” »УилиХ вЂ” +У. у Образом при отображении ~ называется множество всех элементов вида /(х): вшу = (у(х) ~ х й Х) = у(Х) С У (»ш — от иваре (англ.)). 36 Гл. 1. Истоки алгебры Множество 1 1(у) = (Х ч Х~ 1(Х) = у) называется прообразом элемента у ч У. Более общо: для Уо С У положим ~-'(Уо) =(хйХ! У(х) сУО) = Ц ~-'(у). вехе Если у й У ~ )ш 1, то, очевидно, 1 '(у) = о.
Отображение 1: Х -+ У называется сюръектпивиым (яизуесбзое (фр).) или отобрахсеиием иа, когда зш1 = У; оно называется ииъекчпивмым (зпусс3зое (фр).), когда из х ~ х' следует 1(х) ~ 1(х'). Наконец, 1: Х -+ У вЂ” диективиое (озуесбзое (фр.)) или взаимио одиозиачное отображение, когда оно одновременно сюръективно и инъективно. Равенство 1 = д двух отображений означает по определению, что их соответствующие области совпадают: Х -~~ У, Х вЂ” +У, прнчем чх Е Х 1(х) = д(х). Сопоставление "аргументу" х, т.е.
элементу х й Х, значения 1(х) ч У принято обозначать при помощи ограниченной спзрслки: х ье 1(х). Пусть, яапрвмер, 1„— число Фибопаччи (см. 3 3) с номером и. СоответСтВИЕ П ~-Ь уь ОПрадЕЛЛЕт ОтабражЕИВЕ Н -З Н, ВЕ яаяящщЕЕСя яп СЮрЬЕКтпзяЫМ, что очевидно, ии ияъектявиым, поскольку 11 = уз ж 1. Если Кт — множество положительных веществеввых чисел, то отобра1кеввл У: К-ФК, у: К "+К+О(0), Л: К+->К+, определенные одиям в тем же правилом в -+ хз, все различвы: 1 яи сюрьективво, ви ивъективво, О сюрьективяо, во ве ииъективио, а отображение Л биективво. Таким образом, задание областя определения и области звачеиия — существевиая часть определения отображеввл (фувкцик).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
