1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 9
Текст из файла (страница 9)
б). Показать, что Б'1Т и (БОТ) 1(Бг1 Т). у б. Оотношснил эквивалснотносоти. Фантаориваиил отлобрахссниа 41 2 6. Отношения эквивалентности. Факторизация отображений Эквивалентность систем линейных уравнений, введенная нами в З 3, наводит на мысль посмотреть на это понятие в общем плане, тем более что эквивалентностями разных типов мы пользуемся неосознанно как в логических рассуждениях, так и в обыденной жизни. 1. Бинарные отношения. Для любых двух множеств Х и У всякое подмножество ы с Х х У называется бинарным отаношвнием между Х и У (или просто на Х, если У = Х).
Для упорядоченной пары (х, у) Е !о используют обозначение хыу и говорят, что х находится в отношении ы к у. Это удобно, посколь- ! ку,например, упорядочение < намножестве вещественных чисел И является бинарным отношением на И, состоящим иэ всех точек плоскости йг, которые лежат вьппе прямой х — у = 0 (рис.
7); громоздкое включение (х,у) Е ы(ы <) заменяется обычным неравенством х < у Рнс. 7 Каждой функции У: Х -т У сопоставляется ее график — подмножество Г(У) = ((х, у)( х Е Х, у = У(х)) с Х х У, являющееся отношением между Х и У. Изучение на Иг графиков функций И -т И входит в курс математического анализа. Понятно, что не каждое отношение ы может служить графиком какого-либо отображения Х ~ У. Необходимое и достаточное условие заключается в том,чтобы каждому х Е Х отвечал ровно один элемент у с хыу. Фактически задание Х, У и графика Г(у) восстанавливает у. 2. Отношение эквивалентности. Бинарное отношение на Х называется отношением эквивалентности, если для всех х, х', хо е Х выполнены условия: () х х (рефлвксивноспть); ц) х х' ~ х' х (симмептринноспть); й)) х х', х' хо =Ь х хо (тпранзиптивностль).
Запись а Ь выражает отрицание эквивалентности элементов а,ЬЕХ. Подмножество и = (х' Е Х( х' - х) С Х всех элементов, эквивалентных данному х, называется классом эквивалвнтлностаи, содержащим х. Так как х х (см. т)), то действительно х Е и. Любой элемент х' Е х называется ирвдсптавинтглсм класса и. Гл. П зтсптоки алгебры 42 Справедливо следующее утверждение. Множестпво классов эквиваленпзноспзи по отпношению лвллетпся разбиением множества Х в шом смысле, чтпо Х лвллетпсв объединением непересекаюитихся подмножестве (это разбиение можно обозначить к (Х)) Всамомделе,таккакх е х,тоХ =(),е,х. Еслитеперьх'Пхп Ф ~ Вг и х Е х' О х", то х х' и х х", откуда в силу транзитивностн й() имеем х' - хп и х' = х".
Значит, различные классы не пересекаются. П Пусть П = Жз — вещественнзл плоскость с прямоугольной системой координат. Взяв эа свойство принадлежность точек Р,Р' Е П одной горизонтальной прямой,мы получим, очевидно, отношение эквивалентности с классами — горызонтальными прямымк (рис. 8). т г(р) Рис.
9 Рис. 8 Гяперболы Гя (рис. 9) вкда яу = р > О определяют отношение эквивалентности в области П+ Е П точек Р(з,у) с коордкнатамн я > О, у > О. Эти геометрические пркмеры наглядно показывают, что верно следующее обратное утверждение. Если имеетпсл какое-тпо разбиение я(Х) множестпва Х на непересекающиеса подмножестпва С„тпо С, будупз классами эквивалентпности по некотпорому отпношению эквивалентпностпи В самом деле, по условию каждый элемент х Е Х содержится точно в одном подмножестве С,. Достаточно считать х х' в том и только том случае, когда х и х' лежат в одном и том же подмножестве С„. Очевидно, это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е.
является отношением эквивалентности. Далее, х е Се =ь х = С, по определению . Стало быть, тг(Х) = тг (Х). С) 3. Эакторизация отображений. Ввиду установленного выше взаимно однозначного соответствия между отношениями эквивалентности и разбиениями множества Х принято разбиение, отвечающее отношению эквивалентности, обозначать Х/ и называть фактпормножеспзвом Х относительно (или по отношению ). Сюръективное отображение р: х ь+ р(х) = х называется естпестпвеннмм отпображением (или канонической проек- у б. Огакоюеццл зкецвалекткоствц.
Факзцоризацил оюображенця 43 ццеб) Х на фактормножество Х/ Пусть Х,У вЂ” два множества и /: Х -+ У вЂ” отображение. Бинарное отношение му: Чх, х' Е Х хюух' е=; /(х) = /(х'), очевидно, рефлексивно (/(х) = /(х)), симметрично (/(х') = /(х) =~ =~ /(х) = /(х')) и транзитивно (/(х) = /(х') Й /(х') = /(хе) =ь =ь /(х) = /(хе)).
Таким образом, юу — отношение эквивалентности на Х. Соответствующие классы эквивалентности х являются слоями (прообразами) в смысле упр. 5 3 5. Другими словами, х = (х'~ /(х') = /(х)). Отображение /: Х ~ У индуцирует отображение /: Х/ыу -+ У, определенное правилом 7(х) = /(х), или, что то же самое, /р(х) = /(х), (2) где р — естественное отображение (1). Так как х = х' с=ь /(х) = /(х'), то соотношение (2), задающее /, не зависит от выбора представителя х класса х. В таких случаях говорят, что определение / является праецлькын или корреккзнььк.
Коммутативная диаграмма Х/ыу наглядно описывает факторизацию (разложение) /=/ р (3) отображения / в произведение сюръективного отображения р и инъективного отображения /. Инъектнвность / вытекает нз того, что /(х1) = /(хэ) 4=~ /(х1) = /(хэ) Е--ц' х1 = хз. Очевидно, сюръективность / равносильна сюръективности /. Заметим, что если /'. Х/юу -+ У вЂ” еще одно отображение, для которого выполнено соотношение (3): /' р = /, то из /'(х) = /'(рх) = (/'р)х = /(х) = 1(х) (см. (2)1 следует на самом деле равенство /' = /. Стало быть, отображение /, делающее указанную вьппе треугольную диаграмму коммутативной, единственно.
Гл. 1. Истоки алесбры 4. Упорядоченные множества. Упорядочением множества Х (или порядком на Х) называется бвнарное отношение ( на Х, обладающее свойствами рефлексивности (х ( х), антисимметричности (если х < у и у < х, то х = у) и транзитивности (если х < у и у < я, то х < х). При х < у и х ~ у пишут х < у. Вместо х < у используется также запись у ) х. Параэлементовх,х' б Х может и не находиться в отношении <. Если, однако, х < х' или х' < х для каждой пары элементов из Х, то Х называется линейно упорядоченным множеством или пенью.
В общем же случае говорят о частичном порядке на Х. Множество Х = б1(Я) подмножеств множества Я (см. упр. 4 0 5) с обычным отношением включения Й С Т между подмножествами, а также множество г) натуральных чисел с отношением д ) н (н делится на а) являются примерами частично упорядоченных множеств. Пусть Х вЂ” произвольное частично упорядоченное множество, х и у — его элементы. Говорят, что у накрывает х, если х < у и не существует я с условием х < я < у. В случае СзхдХ < оо х < у (т.е. х и у сравнимы) тогда и только тогда, когда найдется цепочКа ЭЛЕМЕНТОВ Х = Х1,ХЭ,...,Х„ 1,Х„ = у, В КОтОрОй Ха+1 НахрЫВаЕт х;. Понятие накрытия удобно при изображении конечного частично упорядоченного множества Х плоской диаграммой.
Элементы множества Х изображаются точками. Если у накрывает х,то у помещается вьппе х и х соединяется с у прямолинейным отрезком. Сравнимость у и х изображается понижающейся ломаной, соединяющей у с х, причем таких ломаных может быть несколько. Несравнимые х и у не соединяются. На двух из приводимых диаграмм (рис. 10) изображены "отрезок" натурального ряда чисел и множество Ща, Ь, с) ) (г) — естественное линейно упорядоченное множество, а упорядочение на 'У(Я) было введено вьппе). (а,Ь,с) (Ь, с) (а, Ь) (с) (а) 1 Ркс. 10 Наиболыаим элементом частично упорядоченного множества Х называется элемент п б Х такой, что х < п для всех х б Х, а максимальным — элемент тп б Х, для которого из п1 < х б Х следует х = пь. Наибольший элемент всегда максимален, но не обратно.
у б. Опзношеннл экенеаленщносщн. Фангаоризання онэображеннб 45 Максимальных элементов может быть много, но наибольший элемент, если он существует, определен однозначно. Те же замечания относятся к наименьшему и минимальному элементам. На рнс. 10 две диаграммы слева имеют наибольшие и наимевыпие элементы, диаграмма справа — три максимальных элемента (один наименьший) но нет наибольшего элемента.
Теория частично упорядоченных алгебраических систем (булевы алгебры, решетки) насьпцена содержательными результатами и занимает важное место в алгебре, но мы не имеем возможности ее касаться. Этот параграф преследует скромную цель — познакомить читателя с еще одним естественным бинарным отношением и дать представление о диаграммах, которые помогут в будущем понять взаимное расположение подгрупп в группах или, скажем, расположение подполей в полях. УПРАЖНЕНИЯ 1. Показать, что фактормножество Из/, получающееся из рис. 8, и любая прямая 1, пересекающая ось Оя, находятся в биективном соответствии. 2.
Положить Р(я,у) Р(х',у') для точек вещественной координатной плоскости Из в точности тогда, когда я'-я Е Е к у' -у Е Е. Доказать, что является отношением эквивалентности и что фактормяожество Иэ/ геометрически изображается точками на торе (поверхности бублика; рис. 11). (О, (0,0) (0,1) Рис. 11 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
