1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Поэтому числа хо хою..., хо, УДовлетвоРЯвшие им Ранее, бУДУт УДовлетвоРЯть им и после преобразования. В случае элементарного преобразования типа (1?) уравнения, кроме ?-го, не изменились, и поэтому решение (хо, хою..., х'„') им по-прежнему удовлетворяет. Что касается ?-го уравнения, то оно приобрело вид (*). Так как наше решение удовлетворяет т'-му и й-му уравнениям системы (2), то о о апх, +... + а их„= Ь„ а»1 хт +... + а»„х„= Ь».
о о Умножив обе части последнего тождества на с и прибавив его к первому, мы получим, группируя члены, тождество вида (*) с х; = хо. В силу отмеченной вьппе обратимости элементарных преобразований проведенное рассуждение показывает также, что, обратно, любое решение системы (2') будет решением системы (2). у 8. Сие!»емы винеаных уравнение. Первые и!вен 23 ы Ольхе+ +аы»х» = йы! й>1, а11фО. Не обращая теперь внимания на первое уравнение, применим ко всем оставшимся те же рассуждения, что и ранее.
После ряда элементарных преобразований исходная система примет вид » ... +а,»х» » ... +аз»х» аггх1+ ° +Оз х» = Ь!1!, 3!и! а1'1х1+ аэгхг + Оы1Х! + ... + Оны»Х» = ~т 1 > й > 1, а!!, ~ О, агг ~ О. Разумеется, здесь а1' —— а1, 31~' — — 31, ибо первое уравнение не затрагивалось. Будем применять этот процесс до тех пор, пока возможно. Ясно, что мы будем вынуждены остановиться, когда станут равными нулю не только коэффициенты при очередной неизвестной (скажем, Осталось заметить, что несовместность одной системы влечет несовместность другой (рассуждение от противного).
С) 3. Приведение к ступенчатому виду. Путем последовательного применения элементарных преобразований можно перейти от заданной системы уравнений к системе более простого вида. Во-первых, заметим, что среди коэффициентов ап имеется хотя бы один, отличный от нуля. В противном случае не имело бы смысла упоминать о неизвестной х1. Если аы = О, то поменяем местами (преобразование типа (1)) первое уравнение с таким у-м, что О11 ,-Е О.
Теперь коэффициент в первом уравнении при первой неизвестной отличен от нуля. Обозначим его через а11. Вычтем из 1-го уравнения (1 = 2,3,...,та) новой системы первое уравнение, обе части которого умножены на такой коэффициент с;, чтобы после вычитания коэффициент при х1 обратился в О (т — 1 элементарных преобразований типа (П)). Очевидно, что для этого нужно положить с; = аа/а!„. В результате мы получим систему, в которой х! входит только в первое уравнение.
При этом может оказаться, что вторая неизвестная также не входит во все уравнения с номером 1 > 1. Пусть хг— неизвестная с наименьшим номером, которая входит в какое-нибудь уравнение, не считая первого. Мы получим систему ! ! ! а1,х1 + ... +а,»х» ее Ьы ! ! ! аггхг+ ... +аг»х„= бг, 24 Гл. 1. Истпоки алгебры з-й), но и коэффициенты при всех следующих неизвестных вплоть до и-й. При этом система (2) примет вид +аглх„= Ьм + азкх„= Ьз, +аз„= Ьз, аыхз+ аззхз + аз~х~ + (4) а,,х, + ... +а„„х„= Ь„ о= ь„+„ о=ь Здесь аыаззаз~ ..а„~о, 1<я<1«...з.
Может оказаться, что г = т, и поэтому уравнений вида О = Ь; в системе (4) не будет. Про систему уравнений вида (4) говорят, что она имеет ступенчатый вид. Этот термин не является общепринятым; здесь можно было бы говорить о трапецевидном или о кваэитреугольном виде и т.п., что не так уж существенно. Теорема 2. Всякая система линейных уравнений эквивалентна системе, имеющей ступенчатый вид.
Доказательство непосредственно вытекает из предшествующих рассуждений. Элементарные преобразования иногда удобно производить не над системой, а над ее расширенной матрицей (ао ~ Ь;). Точно так же, как и теорема 2, доказывается Теорема 2'. Всякую матрицу можно при помощи элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.
4. Исследование системы линейных уравнений. Ввиду теорем 1 и 2 вопросы совместности и определенности достаточно исследовать для систем ступенчатого вида (4). Начнем с вопроса о совместности. Очевидно, что если система (4) содержит уравнение вида О = Ьг с Ьз ф О, то эта система несовместна, так как равенство О = Ь2 нельзя удовлетворить никакими значениями для неизвестных. Докажем, что если таких уравнений в системе (4) нет, то эта система совместна. Итак, пусть Ь| — — О при З > г. Назовем неизвестные хы хз, хп ...
...,х„ с которых начинаются первое, второе, ..., г-е уравнения, главными, а остальные неизвестные, если таковые имеются, — свободныни. Главных неизвестных по определению всего г. Придадим свободным неизвестным произвольные значения и подставим их в уравнения системы (4). Тогда для х, получится одно (г-е) у Ю. Сиппемьт линейных уравнений.
Первые шаги 25 уравнение вида ах, = Ь с а = а„~ О, которое имеет единственное решение. Подставляя найденное значение х, = хв в первые г — 1 уравнений и поднимаясь так снизу вверх по системе (4), мы убедимся в том, что значения для главных неизвестных определяются однозначно при любых заданных значениях для свободных неизвестных. Нами доказана Теорема 3. Для совместпностпи систпемы линейных уравнений необходимо и достпатпочно, чтпобы после приведения к стпупенчапюму виду в ней не оказалось уравнений вида О = Ьт с Ьт ~ О. Если этно условие выполнено, тпо свободным неизвестпным можно ттридатпь произвольные значение; главные неизвестпные (при заданных значениях дяя свободных) однозначно определяютпсл из сисптемы.
Выясним теперь, когда система будет определенной, в предположении, что введенное нами условие совместности выполнено. Если в системе (4) имеются свободные неизвестные, то система заведомо неопределенна: мы можем придать свободным неизвестным любые значения, выражая через них (по теореме 3) главные неизвестные.
Если же свободных неизвестных нет, и все неизвестные, стало быть, главные, то по теореме 3 они определяются из системы однозначно, так что система является определенной. Остается заметить, что отсутствие свободных неизвестных равносильно условию т = и. Мы доказали следующее утверждение. Теорема 4.
Совместпная линейная систпема (2) явяяетпсе определенной тпогда и тпояько тпогда, когда в полученной из нее' стпупенчатпой системе (4) выполняетпся равенство т = и. При тп = и линейную систему, приведенную к ступенчатому виду, можно записать еще так (тпреугояьный вид): амхт + отгхг + .. + агах„= Ьм аггхг+ ... +аз„= Ьг, (5) а„„х„= Ь„, если не заботиться о том, чтобы выполнялось условие ан ~ О для всех т. Действительно, запись (5) означает, что в системе й-е уравнение не содержит неизвестных х; с т < й, а это условие заведомо выполнено для систем ступенчатого вида. Заметим на будущее, что матрица (аб) с элементами аб — — О при т > у называется верхней тпреугольной. Аналогично определяется нижняя треугольная матрица. Из теорем 3 и 4 вытекает Следствие 1.
Лингйнал систпема (2) в случае тп = и явяяетпс.е совместпной и определенной тпогда и только тпогда, когда после 26 Гл. 1. Нсщоки алгебры приведения к стпупеичатпому виду получитпсл систпема (5) с амагг... ан» 1Е О. Обратим внимание на тот факт, что это условие не зависит от правых частей системы. Поэтому при тп = п система (2) тогда и только тогда совместна и определенна, когда это верно для ассоциированной с ней однородной системы (2о).
Но однородная система всегда совместна: она имеет, например, нулевое решение *о = О ... яо = О. УСЛОВИЕ а11агг...аня ф О ОЗНаЧаЕт, Чта ОДНОРОДНаЯ СИСтЕМа обладает только нулевым решением. Мы приходим к иной форме следствия 1, не связанной с ее ступенчатым видом. Следствие 1'. Лииейиал систпема (2) в случае тп = и лвллетпсл совместной и определенной тогда и тполько тпогда, когда ассоциированная с ней однородная систпема (2О) имеет тполько нулевое ретаеиие.
Специального внимания заслуживает случай и > тп. Следствие 2. Совместпиая систпвма (2) при и > тп лвллетпся неопределенной. В частпностпи, однородная систпсма при и > тп всегда имеет ненулевое решение. Доказательство. Действительно, в любом случае г ( тп, поскольку в системе (4) не больше уравнений, чем в системе (2) (уравнения с тождественно равными нулю левыми и правыми частями отброшены). Поэтому неравенство и > тп влечет и > т, что по теореме 4 означает неопределенность системы (2).
Остается заметить, что неопределенность однородной системы равносильна существованию у нее ненулевого решения. 0 Часть полученных нами результатов отражена в следующей таблице. Тип линеиной системы общая однородная п > щ п>тп неоднородная нсоднородная 0,1,со 1,со О, ос Число решении 5. Отдельные замечания н примеры. Изложенный нами метод решения систем линейных уравнений называется методом Гаусса или мгтподом последоватпельиого исключеииа неизвгстпньат. Весьма удобный при небольших и, он годится и для осуществления на ЭВМ, хотя по разным причинам более практичными зачастую оказываются другие способы решения, например итерационные. Это относится в особенности к тому случаю, когда коэффициенты даны, а решения ищутся с определенной степенью точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
