1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Не удивительно поэтому, что облик алгебры и точка зрения на алгебру менялись в разные эпохи. Мы не имеем возможности проследить подробно за этими изменениями не только из-за недостатка места, но главным образом потому, что описание истории предмета должно быть конкретным, — требование, которому можно удовлетворить лишь при основательном знакомстве с самим предметом. Ограничимся схематическим перечислением имен и периодов. Гл. П Истпоки алвебры Г.
Леибниц (1646-1716) Л. Эйлер (1707-1783) Ж. Даламбер (1717-1783) Ж.-Л. Лагранж (1736-1813) Г. Крамер (1704-1752) П. Лаплас (1749-1827) Вандермонд (1735-1796) Х1Х в. — начало ХХ в. К. Ф. Гаусс (1777-1855) П. Дирихле (1805-1859) Э. Куммер (1810-1893) Л.Кронекер (1823-1891) Р. Дедекинд (1631-1916) Е. И. Золотарев (1847-1878) Г. Ф. Вороной (1868-1908) А. А. Марков 1856-1922) П. Л.
Чебышев (1821-1894) Ш, Эрмит (1822 — 1901) Н. И. Лобачевский (1792-1856) А. Гурвиц (1859-1919) А. Руффини (1765-1822 Н. Х. Абель (1802 †18) К. Якоби (1804-1851) Э. Галуа (1811-1832) Б. Римам (1826-1866) О. Коши (1789-1857) К. Жордан (1838-1922) Л. Сйлов 1832-1918 Г. Грассман 1809-1877 Д. Сильвестр (1814-1897) А. Кэлн (1821-1895) У. Гамильтон (1805-1865) Дж. Буль (1815 †18) С. Ли(1842-1899) Г. Фробениус (1849-1918) Ж. Серре (1819-1885) М.
Негер (1844-1922) Д. А. 7)заве (1863-1939) А. Пуанкаре (1854-1912) Ф. Клейн (1849-1925) У. Вернсайд (1852-1927) Ф. Э. Молин (1861-1941) И. Шур (1875-1941) Г. Вейль (1885 †19) Ф. Энрнквес (1871-1946) Дж. фон Нейман 1903-1957 Д. Гильберт (1862-1943) Э. Картан (1869-1951) К. Гензель (1861 †19) Э. Штейнки (1871-1928) Э.
Нетер (1882 †19) Развитие алгебры многочленов. Интенсивные поиски общих формул для Ре. шений алгебраических уравнений. Первые подходы к доказательству существования корня уравнения с числовыми коэффициентами. Начала теории определителей. Доказательство основнои теоремы о существовании корней уравнений с числовыми коэффициентами. Интенсивное развитие теорик алгебраяческих чисел. Поиски методов приближенного решения алгебраических уравнений.
Условия на коэффициенты, обеспечивающие заданное расположение корней. Решение проблемы о неразрешимости общих уравнений степени п ) 5 в радикалах. Развитие теории алгебраических функций. Созданиетеории Галуа. Начала теории конечных групп, преимущественно на базе групп перестановок. Интенсивное развитие методов лянейной алгебры.
Возникновение, после открытия кватернионов, теории гиперкомплексных систем (такие системы теперь называются алгебрами). В частности, в связи с развитием теории непрерывных групп (групп Ли) были заложены основы теории алгебр Ли. Важными главами математики стали алгебраическая геометрия и теория инвариантов. В Х1Х в. математика еще не достигла тонкой дифференциации, и многие крупные ученые творчески работали в различных ее областях. Первая половина ХХ в. была отмечена коренной перестройкой всего здания математики. Алгебра, отказавшаяся от привилегии быть наукой об аэгебраическкх уравнениях, решительно встала на аксяоматический н гораздо более у М.
Некоторые модельные задачи 15 Э. Архип (1998-1992) абстрактныи путь развития. Н. Бурбаки "Элементы математики" . Вошел в обиход язык теории колец, модулей, категорий, гомологий. Многие разрозненные теории оказались уложены в обшую схему универсальной алгебры. На стыке аегебры и математической логики родилась теория моделей.
Старые теории обновились, расширив область своих применений, Примером здесь могут служить современнзл алгебраическая геометрия, алгебраическая топология, алгебраическая К-теория, теория алгебраических групп. Несколь.- ко ярких взлетов испытала теория конечных групп. 3 2. Некоторые модельные задачи Формулируемые ниже четыре задачи стоят на разных уровнях. Первые три, сами по себе тоже неравноценные, предназначены исключительно для мотивировки исследования полей разных типов, линейных пространств, групп и их представлений, т. е. тех алгебраических теорий, о которых речь будет ниже.
"Решениям" этих задач посвящено много специальных монографий. Четвертую задачу, предваряющую изучение линейных систем, полезно попробовать тут же решить, не заглядывая в следующий параграф, где приводится нужное рассуждение. 1. Задача о разрешимости уравнений в радикалах. Из элементарной алгебры известна формула Ь ж ч/Ьг 4Ьс хьг = 2а (1) для решений хм хз квадратного уравнения ах + Ьх + с = О. г Уравнение третьей степени хе+ах + Ьх+с = 0 подстановкой х ~-> х — а/3 приводится к виду х + рх + д = О. Корни х1, хз, хз этого УРавнениЯ слеДУюЩим обРазом выРажаютсЯ чеРеэ его коэффициенты.
Если положить — 1+ ~3 е = 2 27 3 о= '- — 4 — -/ — 3Р 2 2 Р = — 4рз — 27дз, (2) 27 3 о = ' — — 4+ -ч/:3Р, 2 2 Вся аегебра находится сейчас в состоянии динамического развития. Крупные заслуги в этом принадлежат математикам России. Высокий уровень алгебраических исследований в нашей стране многим обязан таким ученым, как Н.Г. Чеботарев (1894 — 1947), О.Ю. Шмидт (1891-1956), А.И. Мальцев (1909-1967), А.Г.
Курош (1908-1971), П.С. Новиков (1901-1975), Д.К. Фаддеев (1907-1989). 16 Гл. 1. Яееаока алгеарм (кубические корни выбираются так, что ио = — Зр), то можно показать, что 1 хе = -(и+о), хг — — -(г и+го), хз = — (си+ г о). (3) 3 ' 3 3 Формулы (2) и (3), называемые формулами Кардена (1545 г.) и ассоциирующиеся также с именами других итальянских математиков эпохи Возрождения (С.
Ферро, Н. Тартаяья), равно как и формула (1), справедливы при любых буквенных коэффициентах а, 6, с, р, д, которым можно придать, например, произвольные рациональные значения. Аналогичные формулы были найдены для корней уравнения четвертой степени, и на протяжении почти трехсот лет предпринимались безуспешные попытки "решить в радикалах" общее уравнение пятой степени.
Лишь в 1813 г. А. Руффини (в первом приближении) и в 1827 г. Н. Абель (независимо и совершенно строго) доказали теорему о том, что общее уравнение .и+ л — + + при и > 4 не разрешимо в радикалах. Фундаментальное открытие в этой области было сделано двадцатилетним Эваристом Галуа в 1831 г, (оно стало известным лишь в 1846 г.), когда он дал универсальный критерий для разрешимости в радикалах любого (например, с рациональными коэффициентами), а не только общего уравнения степени и.
Каждому многочлену (уравнению) степени и он сопоставил поле разложения и конечное семейство (мощности не более п!) автоморфизмов этого поля, называемое теперь группой Галуа поля (или исходного многочлена). Хотя мы и лишены воэможности останавливаться более подробно на теории Галуа, в (ВА ПЦ будет выделен чисто внутренними свойствами специальный класс так называемых разрешимых групп. Оказывается, уравнение степени и с рациональными коэффициентами разрешимо в радикалах в точности тогда, когда разрешима соответствующая ему группа Галуа. Пусть, например, дано уравнение пятой степени х — ах — 1 = О, е где а — некоторое целое число. Ему отвечает группа Галуа С„зависящая каким-то сложным образом от а; Со — циклическая группа порядка 4 (а все циклические группы разрешимы по определению) н уравнение х †1 разрешимо в радикалах.
Напротив, С~ имеет то же строение, что и симметрическая группа Яг порядка 120, а последняя, как показано в [ВА 1П], неразрешима. Следовательно, неразрешимо в радикалах и уравнение хе †х †. у е. Некоторые модельные задачи Отметим в заключение, что для практических нужд возможность выразить корень алгебраического уравнения в явном виде через радикалы существенного значения не имеет; более актуальны разные приближенные методы вычисления корней. Но это обстоятельство не умаляет красоты достижения Галуа, оказавшего сильнейшее идейное воздействие на последующее развитие математики.
Начать с того, что именно Галуа заложил основы теории групп. Установленное Э. Галуа взаимно однозначное соответствие между подполами поля разложения и подгруппами его группы Галуа в ХХ веке обогатилось новыми абстрактными конструкциями и стало незаменимым средством исследования математических объектов. 2. Задача о состояниях миогоатомиой молекулы. Каждую молекулу можно рассматривать как систему частиц — атомных ядер (окруженных электронами). Если в начальный момент времени конфигурация системы близка к равновесной, то при определенных условиях частицы, входящие в систему, всегда будут оставаться вблизи положений равновесия и не будут приобретать больших скоростей.
Движения такого типа называются нолебаниллеи относительно равновесной нонфигура44ии, а система — устойчивой. Известно, что любое малое колебание молекулы вблизи положения устойчивого равновесия является суперпозицией так называемых нормальных колебаний. Во многих случаях удается определить потенциальную энергию молекулы и ее нормальные частоты, принимая во внимание внутреннюю симметрию молекулы. Симметрия молекулярной структуры описывается точечной группой молекулы. Различные реализации этой конечной группы (ее неприводимые представления) и связанные с этими реализациями функции на группе (характеры представлений) определяют параметры колебаний молекулы. Например, молекуле воды НгО (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
