1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 20
Текст из файла (страница 20)
17. Обосновать следующее рассуждение. Пусть ьч х в-матрица Х разбита горизонтальными и вертикальнымн прлмыми на блоки (или клетка), твк что Хы Хш ... Хы Х„Х„... Хьь х„х„... х„ где Х»,..., Хы — матрицы с одинаковым числом т; строк (ш~ +... + т; ы гл), а ХП,...,Х~ — матрицы с одинаковым чкслом л. столбцов (вз +... зь = з). Если теперь Уы Узз ... Уы Уы 1Ъ ... Уз, ~й! 1ьз 1ьг — л х и-матрица с блоками уб размеров л; х пу (из + ... + п, = и), то имеет смысл говорить о произведении 2 = ХУ, причйм матрицу 2 = (лб) тоже можно считать блочной с блокамв 26, вычисллемыми формально по формуле (7): 26 ж Х,М;+ХЬ,У„+...+ХЬЬУМ. По условню размеры матрац Хоп К,Ь таковы, что произведемие ХыУ„Ь имеет смысл. Првйм разбиение матриц на блоки удобен даже в таком простейшем слу- ~~ О Е (((! -Е В))=)! -Е В )~ где А, В, Е, О б Мч(В) (Š— единичнвл, а Π— нулеввл матрица) 16.
Показать, что умножение матрицы Х = (зб ) б Мч(К) у' 8. Линейные отображения. Действия с матрицами 101 на Т=(СВ) Е М„(К) слева раввосвльво лннейяому комбнннрованюо строк Х<э)..., Х<„>, а справа — лввейному комбинированию столбцов Х<э),,Х<"), В частностя, обратять внимание на то„что еслв <~э О 1 Сэз Еэ» О О О ... 1 — еерэнае унитреугольнал матраца, то Х<В+ С>эХ<э>+ " + 1>еХ<в) Х„>+ ... + СэеХ<„> ТХ = Х<ч) — матрица, полученная нэ Х посредством цепочки элементарных преобразова- ний типа (11) над строками. Глава 3 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Формулы (3) и (9) из 3 4 гл. 1 для решений квадратных линейных систем порядков п = 2,3 наводят на мысль о существовании подобных формул при любом п.
В конечном счете речь идет о правильной интерпретации в каждой из упомянутых формул числителя и знаменателя. Мы будем смотреть на ннх как на значения некоторой "универсальной" функции бег: М„(й) -+ и из множества квадратных матриц порядка п в й. Эффективное построение функции бес (определителя) даст ответ также на многие другие вопросы о матрицах, поднятые в гл. 2. На самом деле роль теории определителен в математике гораздо шире затронутой нами темы, и каждое из применений этой теории подсказывает собственнъй путь ее построения. Один из наиболее естественных подходов — геометрический, основанный на аналогии "определители матриц — объемы многомерных фигур" и на внешних и-формах.
Так как для этого нужно чуточку больше техники, то мы остановимся на аналитическом путя, апеллируя к геометрической интуиции лишь в самом начале. 3 1. Определители: построение и основные свойства 1. Геометрическая мотивировка. Ничто сейчас не мешает ввести общее понятие определителя, но попытаемся на время забыть о нашей задаче, обратившись к вычислению объемов простейших геометрических фигур — параллелепипедов. Квадратной матрице А = (ао) порядка и поставим в соответствие параллелепипед П(А) = П(А~Ц,А~э~,...,А("~), ребра которого задаются столбцами матрицы АО>, А<э>,..., А("), т.е. векторами (или точками) АОО = [аи,азч...,а„~] с й".
Под П(А) нужно понимать подмножество в и", состапцее из всех точек вида х~ А~О +... + х„А("~, О < х; < 1 (мы незаметно перешли к отождествлению векторов-столбцов с их концевыми точками в пространстве с прямоугольной системой координат). При п = 1 параллелепипед называется отлрезком, а при п = 2 — параллелограммом. Объем о(П(А)) п-мерного параллелепипеда определяется по индукции как произведение объема о(П(А(ц,..., А(" '1)) (п — 1)-мерного основания в й" ' и длины Ь перпендикуляра А(")Р, опущенного на гиперплоскость этого основания из точки А<"~. Под объемом у д. Ояредвлиедвлед вввдорвекве и ввддввнме сввддсдлва Р33 ом одз ом озз и = 2: е(П(Аддд,Адз1)) = одд одз одз озд озз озз озд озз озз е[П(А(дд А(зд Адзд) (определители матриц порядков 2 и 3 вводятся соответственно формулами (2) и (8) вз 3 4 гл.
1). Соблазнительно было бы сдпдранить формулы типа (1) без оговорок, т.е. при любом расположении точек Аддд, Адзд,..., но это возможно только в том случае, если пользоваться понятием врвввпдировонкогв объема параллелепипеда с допустимыми отрицательными значениями. В частности, для отрезка в о ориентированной длиной будет о ( О. Для параллелограмма П(Аддд, Адзд) площадь берегся со знаком плюс, если упорядоченная пара векторов (Аддд, Адзд) задает ту же ориентацию плоскости Кз, что и базисная пара векторов (ед, ез); в противном случае — со знаком минус.
При таком понимании естественно обратить формулу (1) и считать при любом п определнтелем беС А матрицы А ориентированный объем параллелепипеда, обозначаемый тем же символом: без А = е(П(А)). Базисный вектор е., отвечает стандартному столбцу Ед'д = [О,... ...,1,...,0), так что Адрд = рл(ЕОО) — образ единичного вектора при линейном отображении дрл: Х н ~+ АХ (см. 3 3 гл. 2).
Образом единичного куба П(Е) при отображении ул будет как раз параллелепипед П(А), а поскольку дд(П(Е)) = 1, определитель д(ез ул = без А равен коэффициенту изменения ориентированного объема. На самом деле при применении рл ориентированный объем любой фигуры, а не только единичного куба, меняется в бед А раз (см. [ВА П)).
Обратим внимание на легко проверяемые свойства ориентированной площади параллелограммы 1) е(П(Аддд, Адзд)) = -е(П(Адзд, Аддд); 2) е(П(Адд1 + лАдзд, Адзд)) = и(П(Аддд, Адзд)); отрезка (п = 1) понимается, конечно, его длеко, а под объемом параллелограмма (и = 2) — его плввдодь. В общую теорию нзмерений объемов мы сейчас не входим. Прямые вычислеюы показывают, что с точностью до знака Гл. Я. Ояределители 104 а(1 О)г ..
О1„ О21 Огг ... Огл ап агг ... О(„ О21 О22 ... О2 ((есА = (2) О„1 алг .. Овв О„) О„г ... О„„ которые для нас не новы и которыми мы будем постоянно пользоваться в дальнейшем, существенно различны. Если А — квадративл таблица, заполненная своими коэффициентами (обычно числами), то определитель порядка и как та же таблица, но ограниченная вертикальными черточками, — это число (или выражение), приписываемое матрице А и определенное формуле(( полного развертывания ((еФА = ~~~ з О1,,1аг,лг ..а„, „. (3) аея Другими словами, определив)влез( ((ег А матрицы А = (а,") называется алгебраическая сумма всевозможных пронзведений коэффициентов О(, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца.
В каждом произведении сомножители записываются в порядке следования строк, а номера столбцов определяются образами о1,((2,..., Оп номеров строк при перестановке и б Я„. Всего под знаком суммы в (3) стоит О! слагаемых; слагаемые, отвечающие четным перестановкам, входят со знаком плюс, а отвечающие нечетным перестановкам, — со знаком минус. Тех и других, согласно соотношению (11) из 3 8 гл.
1, — одинаковое число О(/2. Как показывает несложная проверка, формула (3) при п = 2 и и = 3 приводкт к известным нам выражениям. Пусть и = 4, и пусть и = (1 2)(3 4). Тогда з = 1, а а1,,1аг газ,аза4, 4 = Ошамаз4О4з. 3) е(П(Е)) = 1. О свойствах 1) и 3) говорилось выше, а свойство 2)проиллюстрировано (при п = 2) на рис. 14 и основано на идее равносостав- А(г) ленности. При п > 3 свойства 1)-3) объемов параллелепипедов А(1) уже менее наглядны, но совер- шенно очевидно, что при любом А(1) + ЛА(г) подходе к теории определителей ЛА(г) отмеченные три свойства долж- Ряс.
14 ны выполняться. Кроме того, должны быть получены и другие свойства определителей так, чтобы вычисление ((ез А для любой фиксированной квадратной матрицы А, а следовательно, и вычисление объема е(П(А)), было алгоритмически реализуемым и легко осуществимым актом. 2. Комбинаторно-аналитический подход. Близкие обозна- чения у >.
Определители: построение и осноенме сеоастео 105 Это значит, что в определитель четвертого порядка слагаемое атзазтаз4а4з входит со знаком плюс. В качестве полезного упражнения, рассчитанного на прочное владение материаюм з 8 гл. 1, стоит выписать все 24 члена этого определителя и внимательно проследить за расстановкой знаков. Кстати, уже при и = 5 подобное задание с выписыванием 120 членов выглядею бы бессмысленным. Между тем, следуя наводящим соображениям из п. 1, мы хотели бы извлечь из исходной формулы (3) все нужные нам свойства определителей любого порядка.
3. Основные свойства определителей. Этих свойств немного, но для формулировки и, главное, для их понимания нужно условиться о терминологии и обозначениях. В дальнейшем, как и в гл. 2, символами А(;) = (ап,ам,...,ат„), т = 1,2,...,п, А — — [атт>оат»... опт[> у = 1,2,...,п, О)— будут обозначаться соответственно т-я строка и у-й столбец матрицы А = (ат ). Сама матрица А представляется либо как объединение своих строк: А = [А(т) > А(з)» А(п)] (столбец строк), либо как объединение своих столбцов: А = (А('), (з), А(")) (строка столбцов). Условимся впредь строки и столбцы их п-матрицы А называть также стпроками и столбцами определитпелл [аб[ пор*дна п.
Согласно определению [ [ = без (от англ. дезеттптпапз) — функция, сопоставляющая квадратной матрице А некоторое число [А[ = = без А. Наша задача — изучить поведение этой функции при изменении строк или столбцов матрицы А, рассматриваемых как элементы (векторы) линейного пространства Ип. Если угодно, для нас бес А — сокращенное обозначение (в духе п. 2 з 5 гл. 1) функции де([А(0,..., А(п)[ или т)ес(А('),..., А(")) и пеРеменных, коими Явллются векторы из и'". Произвольную функцию Р; [А(,),...,А(„)[ ~-+ Р(А(т),...,А(„)) мы будем называть полилине((иот), если она линейна по каждому аргументу А(т), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
