1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Обобщенная ассоциативность; степени. Пусть (Х, )— произвольная алгебраическая структура с бинарной операцией, которую мы ради простоты будем опускать, записывая ху вместо х у. Пусть, далее, хз,...,х„— упорядоченная последовательность элементов из Х. Не меняя порядка, мы можем многими разными способамн составлять произведения длины п. Пусть!„— число таких способов: (2 = 1: Х!Х2> (з = 3: (хзхг)хз, х1(хгхз); 14 = 5: ((х1хг)хз)хе> (х1(хгхг))хе, х1((хгхз)хе)> х1(х2(хзхе))> (Х1Х2) (ХЗХ4) > Очевидно, что, перебирая всевозможные произведения х1... Хз, ха+1...х„ длин Й к п — Й, 1 < Й < к — 1, а затем соединяя их нашей бкнарной операцией в данном порядке, мы исчерпаем все 1„возмож- у 1.
Множества с алгебраическими операциями 137 настей. Замечательно,что в моноидах (и полугруппах) расстановка скобок оказывается излишней. Теорема 1. Если бинарная операция на Х ассоциативна, то результат ее последовательного применения к и элемен!пам множества Х не зависит от расстановки скобок. Доказательство. При и = 1,2 доказывать нечего. При и = 3 утверждение теоремы совпадает с законом ассоциативности. Далее рассуждаем индукцией по и. Предположим, что и ) 3 и что для числа злементов < и справедливость утверждения установлена.
Нам нужно лишь показать, что (х!... хь ) (хе+1... х ) = (х1... х1) (х1+1... х ) (1) при любых я,1, 1 ( й, 1 ( и — 1. Мы выписали только внешние пары скобок, поскольку по предположению индукции расстановка внутренних скобок несущественна. В частности, х1хг...хь = = (...((х1хг)хз) ..хь-1)хь — произведение, называемое левонормированным. Различаем два случая: а) й = и — 1; тогда (х1 ...х„ 1)х„ = (...(х1хг) ... х„ 1)х„ — левонормированное произведение; б) й < и — 1; ввиду ассоциативности имеем (Х1... ХЬНХЬ+1...Хь) = (Х1... ХЬ)((Хе+1...Х вЂ” 1)Хп) = = ((Х! "ХЬ)(Хе+1" Хп-1))Хп = = (... ((... (Х1Х2)...
ХЬ)ХЬ.1.1) . ° ° Хь-1)хь, т.е. снова левонормированное пронзведение. К тому же виду приводится и правая часть доказываемого равенства (1). П Ранее был введен знак суммирования 2 хь. Очевидно, его можно использовать и в любом аддитивном коммутативном моноиде. В мультипликативном моноиде аналогом служит знак кратного произведения: 2 2 ь и-1 П— — П* =!*"ь П=(П*)" 1=1 1=1 1=1 1=1 В силу теоремы 1 при записи (или при вычислении) произведения элементов х1 хг... х„моноида скобки взлишни. Единственная забота должна проявляться о порядке множителей, да и то лишь в случае, когда они не все перестановочны между собой.
В частности, при х! = хг = ... = х„= х произведение хх...х обозначают, как и при действиях с числами, символом х", называя его п-6 степенью элемен!па х. Следствием теоремы 1 являются соотношения х х =х~~~, (х ) =х~~, т,пЕ Р!. (2) В моноиде (М,,е) для любого х Е М полагают еще х = е. 138 Гл. 4. Группы. Кольца. Поля Степеням х" Е (Мс ч е) в моноиде (М, +,О) соответствуют кратные пх = х+х+... +х элемента х.
Правила (2) становятся правилами для кратных: тх+ пх = (т+ п)х, п(тх) = (пт)х. (2') Отметим еще один полезный факт. Если ху = ух в моноиде М, то (ху)" = х"у", п = 0,1,2, (3) В частности, это всегда так в коммутативном моноиде. Соотношение (3) доказывается индукцией по н: (ху)" = (ху)" '(ху) = (х" 1у" 1)(ху) = (х" 'у" 'х)у = в-1 в-1) (,в-1 )( в-1 ) в в Более общо: при х;х = х хо ь,у = 1,...,т, опираясь на соотноше- ние (3) и используя индукцию по т, получаем (4) (х1 ... х )" = х,"...
х" . Аналогично, если х + у = у + х и х1 + х, = х, + х1 при ь,у = 1,..., 1п, то н(х+ у) = их+ пу, п = О, 1,2,..., (3') п(х1+...+х ) =11х1+...+пх, и=0,1,2,... (4) Обычно моноид (Мь ч е) называют мультипликативным, а (М, +,О) — аддитивным. Адднтивная запись используется преимущественно в коммутативных моноидах. 4. Обратимые элементы. Элемент а моноида (Мв ч е) называется обратимым, если найдется элемент 6 е М, для которого аЬ = = е = Ьа (понятно, что элемент 6 тоже будет обратимым). Если еще и аЬ' = е = Ь'а то Ь' = еЬ' = (Ьа)Ь' = Ь(аЬ') = Ье = Ь. Это дайт нам основание говорить просто об обратном элементе а ' к (обратимому) злементуаб М: а 'а=е=аа '. Разумеется, (а ') ' =- а.
Понятие обратимого элемента моноида служит, очевидно, естественным обобщением понятия обратимой матрицы в мультипликативном моноиде (Мв(Ж)в ч Е). так как (ху)(у 1х 1) = хабур 1)х ' = хех ' = е и, аналогично, (у 'х 1)(ху) = е, то (ху) = у 1х '. Стало быть, множество всех обратимых элементов моноида (Мв ч е) замкнуто относитпельно операции и составляет подмоноид в М. у Й. Группы 139 УПРАЖНЕНИЯ 1. В и. 2 в качестве примера на Е вводилась операция «; и «тп = -и — пт, коммутативыая, ыо неассоциативная. В алгебраической структуре (Е, «) выполняютсл соотношеыив (и «ш) * то = и, тп «(ты *и) = и, Пусть теперь кам дана произвольная алгебраическая структура (Х, *), в которой (я«у) «у = я, у«(у*я) = я для любых я, у Е Х.
Доказать, что х«у = у«я, т е. операция «коммутатывыа. Никаких указаний к решению ые дается, поскольку это одно из самых бесполезных упрюкнений в книге. Но все-такит 2. Показать, что множество « М„(Ж) = 1А = (етт) Е М«(Ж) ~ 'т аи = О, т = Ц2,...,п) с обычыой операцией умножения матриц является полутруппой. Является лк (Мо(Ж), ) моноидом? а. В мультипликативыом моиоиде М выбираетсл произвольный элемент т и вводится новая операция *: я « у = кту. Показать, что (М,*) — полугруппа и что обратимость элемента т в М вЂ” необходимое и достаточное условие,при выполнении которого (М, *) — моноид с нейтральным (единичным) элементом С 4.
Показать, что множество Е с операцией о: и о тп ж п+ т+ птп = (1+ и) х х (1+ от) — 1, является коммутативным моноидом. Что служит в (Е, о) ыейтральыым элемеытом? Найти в (Е, о) все обратимые элементы. 3 2. ГРУппы 1. Определение и примеры. Рассмотрим множество СЬп(И) всех и х и-матриц с вещественными коэффициентами н с отличным от нуля определителем. Согласно теореме 3 из 2 2 гл. 3 дев А уй О, с(ес В ~ О =ь т(еь АВ у( О.
Мы видим, что А, В Н 01 „(И) =б АВ й е СЬ„(И). Далее, (АВ)С = А(ВС) и существует выделенная матрица Е такая, что АЕ = ЕА = А для всех А е СЬ„(И). Кроме того, у каждой матрицы А Е 0( „(И) имеется "антипод" — обратная матрица А ', для которой АА т = А 'А = Е. Множество С1 „(И), рассматриваемое вместе с законом композиции (бинарной операцией) (А, В) ь+ АВ и называемое по~ной линг?(- ной группой стпепени и над И, можно было бы коротко определить, следуя терминологии 2 1, как подмоноид всех обратимых элементов моноида (М„(И),, Е). Но этот подмоноид настолько важен, что он заслуживает специального названия и дает веский повод ввести общее Определение.
Моноид О, все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагаются выполненными следующие аксиомы. СО) На мнозсестпве 0 определена бинарнал операция (х, у) т-т ху. 01) Операция ассоциатпивна: (ху)л = х(ул) длл всех х, у, г Н О. 02) 0 обладаетп нейтпральнььм (единичным) элементном е: хе = = ех = х для всех х б О. 140 Гя..(. Груетм. Кольца. Поля 08) Дяя каждого элемента х й 0 суецестеует обратный х 1: хх 1=х 1х=е. Мы видели в я 8 гл.
1, что указанным аксиомам удовлетворяет алгебраическая система Но, названная нами симметрической группой перестановок степени и. Фактически этим важнейшим примером мы предварили общее определение группы. Удивительно, что одна из старейппех и богатейших по результатам область алгебры, играющан фундаментальную роль в геометрии и в приложениях математики к вопросам естествознания, основывается на столь простых аксиомах. Небольшой анализ показывает, что их можно еще упростить, но эта задача для нас не принципиальна. Группа с коммутативнои операцией называется, естественно, коммутативной, а еще чаще — пбеяееой (в честь норвежского математика Абеля).
Сам термин "группа" принадлежит французскому математику Галуа — подлинному создателю теории групп. Идеи теории групп "носились в воздухе" (как это часто бывает с основополагающими математическими идеями) задолго до Галуа,и некоторые иэ ее теорем в наивной форме были доказаны еще Лагранжем.
Гениальные работы Галуа оказались непонятыми, и возрождение интереса к ним началось только после книги К. Жордана "Курс теории перестановок и алгебраических уравнений" (1870 г.). Лишь к концу Х1Х века в теории групп "совершенно отказываются от фантазии. Взамен этого тщательно препарируется логический скелет" (Ф. Клейн, "Лекции о развитии математики в Х1Х столетии"). Для обозначения числа элементов в группе С (точнее, мощности группы) используются равноправные символы Сагс) 6,)(') и (С: е). Почти все сказанное в я 1 о моноидах переносится на группы. Следует люль производить надлежащую замену слов. В частности, подмножество Н С С называется подеруппой в С, если е б Н; Ь1, Ьэ й Е Н =э 61)ьэ й Н и 6 ц Н =~ Ь ' и Н.
Подгруппа Н С С собственная, если Н у6 (е) и Н у6 С. Приведем еще несколько примеров групп. Пример 1. В уже известной нам полной линейной группе СЬе(Ж) рассмотрим подмножество ЯЬ„(Ж) матриц с определителем 1: ЯЬ~(Ж) = (А Е СЬ~(Ж) ) бес А = Ц. Очевидно, что Е Е ЯЬь(Ж). Согласно общим результатам гл. 3 об определвтелвх бес А = 1, бес В = 1 =~ бе1 АВ = 1 беСА г = (с1еЬА) ' = 1.
Позтому ЯЬе(Ж) — подгруппа в СЬ(Ж); она носит название специальное явяееиое группы с1пепеми п яао Ж. Ей называют еще и уиимодуяяряоя группой, хотя к последней часто причисляют матрицы с определителем х1. у Ж Группы 141 Надо сказать, что группа С1 „(Ж), будучи вместнлвщем многвх интересных групп, является для математиков резных поколенвй кзк бы нескончаемым источником новых адей в нерешенных задач. Пример 2.
Используя рацвонаэьные чксла вместо выцественных, мы придем к полной 51з(Ж) линейной группе СЬз(С) степени п вад С в к ей подгруппе 3Ьв((1). В свою очередь ЯЬл((3) со. 31 (С) держит интересную подгруппу Я „(Х) целочксленных матриц с определителем 1. Теорема 1 1 3 гл. 3, предлагающая явную формулу для ко- Я „(Х) эффицнентов обратной матрицы, показывает, что Я „(Х) действительно являкгсл группой. 1Руппы ЯЬз(Щ к Яв(Е) эаввмают почдтвое место в теории чвсея. Частично упорздочешюе множество (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
