1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Каждому чкслу е Е И отвечает»ос»юли»ел функция о»; я «-«е, и отображение вложения о «-«о» поэволлет рассматривать И кьк подкольцо в Ж». Словом, почта каждому естественному классу функций соответствует свое подкольцо в их. Пример 4. Па любой адднтивной абелевой группе (А,+) соотношением яр = О для всех к,р Е А устанавливается структура кольцо с нрлееын ум»овсе»нем. Многие свойства колец являются переформулировками соответствующих свойств групп и вообще множеств с одной ассоциативной операцией. Например, а а" = а +", (а )" = а "для всех неотрицательных целых ти,и и всех а й К (ср.
с соотношением (2) О 1). Другие свойства, более специфические для колец и вьггекающие прямо из аксиом кольца, моделируют по существу свойства Е. Отметим некоторые нз них. Во-первых, для всех а Е К у 8. Кояьив и поля 155 справедливую для всех а,й 6 К,но только в коммутативном кольце К. При доказательстве (5) нужно, опираясь на (4), действовать так же, как и в з 7 гл. 1, где рассмотрен частный случай К = Е. 2. Сравнения. Кольцо классов вычетов.
Пусть тп — фиксированное натуральное число, ш > 1. Множество тпЕ, очевидно, замкнуто не только относительно операции сложения, но и относительно операции умножения, и удовлетворяет всем трем аксиомам кольца. Теперь, используя подкольцо шЕ С Е, построим ненулевое кольцо, состоящее из конечного числа элементов. С этой целью введем Определение.
Два целых числа п,п' называются сравиимыми по модулю ш, если при делении на тп они дают одинаковые остатки. При этом пишут п = и'(тп) или и = и'(таад тп), а число ш называют модулем сравиеиия. Получается разбиение Е на классы чисел, сравнимых между собой по модулю ш и называемых классами вычетпов по модулю ш. Каждый класс вычетов имеет вид (т) =г+шЕ=(т+шй~ й6Е), так что Е = (6) тя 0 (1) т 0... О (тп — Цп1 (6) По определению и ьн п'(ш) е=ь п — и' делится на тп.
Удобство записи и = п'(ш) для отношения делимости ш/(л — п') состоит в том, что с такими сравнениями можно оперировать совершенно так же, как с обычными равенствами. А именно, если й = й'(тп) и! = Г(ш), то й х 1 ив в й' х Р(ш) и й( = й'Р(ш). В частности, й = й'(тп) =ь йз = = й'з(тп) для любого з с Е. Таким образом, каждым двум классам (й) и (Ц независимо от выбора в них представителей й, т можно сопоставить классы, являющиеся их суммой или произведением, т.е. на множестве Е = Е/шЕ классов вычетов по модулю тп однозначным образом индуцнруются операции Ю и О: (7) Так как определения этих операштй сводятся к соответствующим операциям над числами иэ классов вычетов, т.е. над элементами из Е, то (Е,„,йт, О) будет также коммутативным кольцом с единицей (Ц = 1+ шЕ.
Оно называется кольцом классов вычетов ло модулю ш. При небольшом навыке (и фиксированном модуле) индекс ш опускают и пишут й вместо (й), так что ййт( = й+1, й 01 = й(. 156 Гл. 4. Группы. Кольца. Поля Высший этап освоения с Е, кажущийся на первый взгляд кощунственным, но представляющий явные технические преимущества, заключается в том, что отказываются от черточек и кружочков и оперируют с каким-нибудь фиксированным множеством представителей по модулю гп, чаще всего — с множеством (О, 1, 2,..., пь- Ц (оно называется прцоедеппоб сцсшемоб вычепьов по модулю щ). Скажем, в соответствии с этим соглашением — Ь = гп-й, 2(ти-1) = -2 = пь-2.
Итак, конечные кольца существуют. Приведем три простейших примера, указывая отдельно таблицы сложения и умножения: + О 1 Ег. О О 1 1 1 О О О О 1 Кольцо вычетов Е издавна привлекало внимание теоретико-числовиков, а в алгебре служило отправным пунктом для разного рода обобщений. 3. Гомоморфнзмы колец. Отображение у: и ь+ (п1 обладает в силу (7) следующими свойствами: 1(Ь+ 1) = йй) Е ~(1), ~(Ь1) = ~(Ь) О ~(1). Это дает нам основание говорить о гомоморфиэме колец Е и Е в соответствии с общим определением. Определение.
Пусть (К,+, ) и (К',Ю,О) — кольца. Отображение у: К -+ К' называется гомоморфцэмом, если оно сохраняет все операции, т.е. если у(а+ Ь) = Да) Ю,г"(Ь), У(аЬ) = У(а) О У(Ь). При этом, конечно, ДО) = О' и Дпа) = пУ(а), и 6 Е. Ядром гомоморфизма у называется множество Кег у' = (а 6 К ( У(а) = О'). Ясно, что Кег у' — подкольцо в К. д д. Кольна н полл Как и в случае групп (см. словарик в п. 5 б 2), гомоморфизм ~: К-~К' называется: мономорфкзмом, если Кету = О; эпкморфкэмом, если образ совпадает с К', т.е. ЬпУ = 1(К) = (о' е К' ) а' = У(а)) = К', изоморфизмом, если отображение У мономорфно и эпиморфно. Факт изоморфизма колец кратко записывают в виде К о' К', Рассмотренное выше отображение у: п ~ (и) являетсл, оче- видно, эпиморфизмом Е 6 Е с ядром Кег1 = пзЕ.
Если рассматривать только кольца с единицей, то в определение гомоморфизма У: К -+ К' целесообразно внести условие Д1) = 1'. Нри эпиморфвзме это условие, конечно, автоматически выполняется. Изоморфные кольца тождественны по своим алгебраическим свойствам, и подлинно математический интерес представляют толь- ко те свойства колец, которые сохраняются при изоморфных отобра- жениях. Именно это обстоятельство имелось в виду, когда кольцо Е мыслилось то как множество классов вычетов по модулю пз, то как множество произвольным образом выбранных представителей этих классов. 4.
Типы колец. Поле. В хорошо известных нам числовых коль- цах Е, зл и И из аЬ = О следует, что либо а = О, либо Ь = О. Но кольцо квадратных матриц М„над любым из указанных колец этим свойством уже не обладает. Используя матрицы Е;. (см. до- казательство теоремы 4 нз б 3 гл. 2), мы приходим к равенствам ЕОЕм = О при д' 66 й, хотя, конечно, ЕО:р О и Еае ~ О. Заметим, что ЕсьЕзд = Еу ф О. Можно было бы приписать столь необычный для элементарной арифметики феномен некоммутативности кольца М„, но это не так.
Как мы видели в п. 2, в коммутативном кольце Ее выполнено равенство 2 Ф 2 = О, вопреки общеизвестной истине "дважды два — четыре". Вот — еще два примера. Пример б. Числовые пары (а, Ь) (где а,Ь б Е, 62, Ж) со сложением н умно- жением, определенными формулами (аы Ьз) + (аз,Ьз) = (аз + аз,бз + Ьз), (аы Ь!) (аз,Ьз) = (азаз,бзбз), образуют, очевидно, коммутативное кольцо с едкницей (1, 1), в котором мы снова встречаемся с тем же явлением: (1,0) (0,1) = (0,0) = О.
П р и и е р б. В кольце Ии вещественных функцяй (см. пример 3 в п. 1) функ- ции у': к ь+ (к(+ к н д: я ьь (л( — я таковы, что у(я) = 0 для я ( 0 и д(л) = 0 длл к й О, а поэтому их поточечным пронзведенкем уд будет нулевав функция, хотя У И' 0 и д Зз О. 158 Гл. 1. Группы. Кольца. Поля О ар е делен ие. Если аЬ = 0 при а ~ 0 и Ь ~ 0 в кольце К, то а называется левььк, а 6 — правым дглитпелгм куля (в коммутативном кольце К говорят просто о делителях нуля). Сам нуль в кольце К ~ 0 — тривиальный делитель нуля.
Если других делителей нуля нет (кроме 0), то К называется кольцом бгэ делителей куля. Коммутативное кольцо с единицей 1 ~ 0 и без делителей нуля называют цглостпкым кольцом (кольцом целосткостпи или областью целосткостпи). Теорема 1. Нетлривиалькое коммутпатпивкое кольцо К с единицей является целостпкым тогда и тполько тпогда, когда в кгм выполкгк эакок сокраитекия аЬ=ас,афО =~ Ь=с для всех а, Ь, с й К. В самом деле, если в К имеет место закон сокрэщения, то из аЬ = 0 = а 0 следует, что либо а = О, либо а ~ О, но Ь = О.
Обратно: если К вЂ” область целостности, то аЬ = ас, а 1Е 0 =~ а(Ь вЂ” с) = 0 =Ф=э Ь вЂ” с = О =ь Ь = с. 0 В кольце К с единицей естественно рассматривать множество обратимых элементов. Элемент а называется обратимым (или делитпелем едикицы), если существует элемент а т, для которого аа ' = = 1 = а 'а. Точнее, следовало бы говорить об элементах, обратпимыя справа или слева (аЬ = 1 или Ьа = 1), но в коммутативных кольцах, а также в кольцах без делителей нуля эти понятия совпадают. Действительно, из аЬ = 1 следует аЬа = а, откуда а(Ьа — 1) = О. Так как а ~ О, то 6а — 1 = О, т.е. 6а = 1. Нам известно, например, что в кольце М„обратимые элемекты — этпо в тоцкостпи матприцы с отплицкым отп мулл определителем.
Обратимый элемент а не может быть делителем нуля: аЬ = 0 =ь а '(аЬ) = 0 =ь (а 'а)Ь = 0 =~ 1 Ь = 0 =ь Ь = 0 (анэлогично, Ьа = 0 =ь Ь = 0). Неудивительно поэтому, что имеет место Теорема 2. Все обратпимые элакекты кольча К с единицей составляют группу 1т(К) по умножению. В самом деле, так как множество У(К) содержит единицу, а й й У(К) =~ а ' й У(К) и ассоциативность по умножению в К выполнена, то нам нужно только убедиться в замкнутости множества Ьт(К), т.е. проверить, что произведение аЬ любых двух элементов а и 6 из У(К) будет снова принадлежать У(К). Но это очевидно, поскольку (аЬ) ' = Ь 'а ' (аЬ Ь та ' = а(ЬЬ ')а т = а 1 а т = аа т = 1), и, значит, аЬ обратим. С) у 8. Кольна в вола 159 Нетрудно видеть, что У(Е) = (х1) — циклическая группа по- рядка 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
