1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Теорема 4. Каждое ассоциатпивмое колтмутиативмое кольцо К с единицей 1 без делишелей мулл, являющееся двумермым вектлормым мросшрамстлвом мад К, изоморфмо молю С. Д о к а з а т е л ь с т в о. Вез ограничения общности отождествим 1 К с К и считаем К вложенным в К. Так как йши К = 2, то существует е Е К 1К такой, что 1 и е составляют базис пространства К над К. Очевидно, ез = а 1+ 2Д ° е с а„9 Е К. Для элемента 1 = е — Д ф К имеем 1г = у, где т = а + Д~ Е К. Очевидно, у < О, поскольку иначе /ч Е К, и мы имели бы 1 = ~~/ф.
Таким образом, существует б Е К, для которого бз = -т '. Теперь 1'з = -1 для т = б1, и легко проверяется (как при построении С), что каждый ненулевой элемент из К обратим, т.е. К вЂ” поле. Отображение ~р: С -в К, определенное соответствием х+ ту ~+ х + уу, является искомым изоморфизмом полей. П Где в этом доказательстве мы использовали условие, что К— кольцо без делителей нуля? Во-первых, могло бы случиться так, что е = О, и тогда а =,О = О =о у = О. Далее, фактически утверждается, что у > О =ь 1 = х (7. Это действительно так, поскольку Гл.
5. Комплексные числа и многоч вены О = У 7 = (у ь/7НУ+ 1(7) асзЬ У 2/7 = О или у+ 1Г7 = О. В поле С, кроме дд и В, содержится много других подполей. Особенно интересны расширения поля Щ получающиеся присоединением какого-либо злемента из С, не содержащегося в (д. При и е р 1 (квадратичное поле). Пусты1 — отличыое от ыуля целое число, возможно, отрицательыое, такое, что и'д е1 6в Поле щчгд) С О ыазываетсл еешеспзееннмм квадратичным при д > О н мникььк кеодрашкчнмм при д < О.
О поле О(1Г2) упоминалось в $ 3 гл. 4. Рассуждение, дословно повторяющее ход доказательства теоремы 4, если заменать там у на Л, а соотношение 22 = -1— на (ч'а)2 = д, показывает, что Щ~Гд) = (а+вы) а,ЬЕ Щ. В частности, (о~ + 61 ъlд) + (аз + 62~(д) = (а1 + аз) + (Ь1 + 62) ъlд, Вв) (о1 + 611/Я(оз + Ьзъй) = (а1аа + Ь|Ь2Я + (а1 62 + азЬ1)~й. Дазее, при а+ 61Уд ~ О (т.е.
при а и Ь, одиовремеыно не равных нулю). Пользуясь (18), легко проверить, что отображеыие У:а+Ь|д 1а — ЬГа явллетсл автоморфизмом поля 12(ч'Я (аналог комплексного сопрюкення). Норман чисеа о = а+ Ьчд называетсл часло М(о) = а — 462 = оУ(о). Очевидно, что Ф(а) = О оке а = О. Далее, так как у — автоморфизм, то Я(аЯ = аду(од) = оРУ(о)У(д) = аУ(о) д)(Я = П(о) Н(Р).
В частности, Ф(о) М(о 1) = У(оо" 1) = Ф(1) = 1. Поэтому норма обладает существенными свойствами (кзадрата) модула в поле О. 6. Элементарная геометрия комплексных чисел. Вещественное векторное пространство С = (1, 2)н является евклндовым: оно снабжено положительно определенным скалярным произведением (21~22) = Вех122 = х1х2 + р1рз, где хь = хь+зуь, й = 1,2. Справедлино неравенство Коши — Буняковского — Шварца ((21!22)) < Ы Ы поскольку ((х1)хх)( = )Вехгхз) < )21хг) = (х1Щ = )21()хз!.
Двв вектора (комплексных числа) 21, хз называются ортогональнымн или пернендикрларнымп друг др(нп, если (х1)хг) = О. Из соотношения (12) непосредственно вытекает, что деа векпзора х,сх Е С' ортпогональны е точности тогда, когда с — чисто мнимое число. 3 1. Повс комплсксмых ччссл 177 Прямая, проходящая через точки м,о б С, задается параметрически со = и+ (о — и)г, г Е И. Поэтому ортогональность двух прямых ю = и+(о-н)3, ю' = и'+(о'- — и')г выражается соотношением (о — м[о' — и') = О. Ясно также, что три точки «1, хз, хз б С, «1 ~ «2, лежат на одной прямой в точности тогда, когда бй, (19) т.е. «з«2 — хз«1 — «1«2 к Й Вот маленькое рассуждение на тему ортогоназьности. Если расположить произвольный треугольник так, чтобы его две вершины а,)3 оказались на бб вещественной оси, а третья вершина Зт— на мнимой, то легко проверяется, что шрн высок1ы свргугольника нсргсскаюшсз в обмзеб тпочкг 16, гдг 6 = -а13/7.
Например, о о (-а+ 36! — )3+ гу) = 0 (рис. 22). Ркс. 22 Важную роль во многих геометрических вопросах играет понятие двобмого отношения [«1, «2, хз, «4] четырех пзочгк«1, «2, хз, «4 б С с «1 ~ «4, «2 Ф хз (детали см. в [ВА Щ). По определению «1 «2 «3 «2 [«1 ~ «2 ~ хз ~ «4] «1 — «4 ХЗ вЂ” «4 («1 «2)(«З «4) («1 «2)(ХЗ «4)(«1 «4)(«3 «2) (20) («1 — «4)(хз — «4) ]«1 — «4]2 ]хз — «4]2 — комплексное число, зависящее от порядка в последовательности «1 «2, хз «4 При циклической перестановке имеем [2Ъ~ «3~ «4 ~ «1] [«1 ~ «2~ «31 «4] Заметим, что в соответствии с (20) двойное отношение не меняется при сдвигах 2о: х ~+ х + а.
Представим себе, что три точки хм «2, хз не лежат на одной прямой. Это свойство тоже инвариантно относительно сдвигов. Поэтому центр окружности, в которую вписан треугольник с заданными вершинами «1, «2,«з, можно считать (при вычислеюси [«1, «2, хз, х4]) расположенным в начале координат. Но тогда [«1! = [«2! = [«з], и легко убедиться в том, что («1 — «ЗК«з — «4)(«1 — «4)(хз — «2)— — 1(]хз! — ]«4! ) 1ш(хз«2 — хз«1 — «1«2) б Й (рекомендуем читателю проделать это в качестве упражнения).
Согласно (19) должно выполняться условие Ьп(хз«2 — хз«1 — «1«2) 'Ф О, 178 Г*. о. Комплексные число и миогочлскы а в таком случае произведение (лт — яг)(зз — зл)(Ут — 74)(Уз — Уг) будет вещественно, или, что эквивалентно (см. (20)), (зт, зг, хз, ле) б )й тогда и только тогда, когда )зз(г — (ял(г = О, т.е. ~хз! = (лл!. Значит, зь, 1 < й < 4, — числа, равные по модулю и, стало быть, лежащие на одной окружности. То же рассуждение действует и тогда, когда на одной прямой не лежат какие-то другие три точки из четырех.
Достаточно заметить, что вещественность [лт, лг, лз, зе) сохраняется при циклической перестановке. Мы доказали следующее утверждение. Теорема б. Чептыре тпочки хт,хг,зз,ге б й: с гт тй ле, лг те хз не лсжотаие на одной прямой, лежатп на одной окружностпи в шочностпи тпогда, когда их двойное отпнотисние веитестпвенно. Это лишь одна из многих конфигураций, свойства которых выражаются на языке двойных отношений. В заключение мы построим геометрическими средствами новые числовые поля, занимающие видное место в истории математики. Пример (коистлруктпиеиые чвслоеме полл).
Па декартовой плоскости Ег считаем заданными точки (0,0) и (1,0). Все последующие конструкции осуществляются только при помощи циркуля и линейки. построив точки Р и т2, мы, естественно, можем считать построенным к соединяющий их отрезок Ртд. если построены точка Р и отрезок т, то строится также окружность радиуса т с центром в точке Р.
Попарные пересечения уже построенных прямых (отрезков) и окружностей конструктивны в том же смысле. Комплексное число а+ 4Ь называется констпруктпивным, если при помощи конечной последовательности указанных вьппе (допустимых) конструкций мы можем построить, отправляясь от (О, 0) и (1, 0), точку Р = (а, Ь). Нетрудно видеть, что конструктивность а+ зЬ эквивалентна конструктивности )а( и (Ь|. Множество точек плоскости, которые строятся при помощи циркуля и линейки, а следовательно, и множество всех конструктивных комплексных чисел обозначим СЯ. Теорема б.
Множестпво СЯ явялетпся подполгм вола С. Доказательство. Непосредственно из определения конструктивности чисел следует замкнутость СЯ относительно операции сложения (точка л+ з' строится как пересечение двух окружностей (радиуса )л! с центром в л' и радиуса )л'1 с центром в з) и перехода от л = х+ ту б СЯ к — л = — х — ту. е в е Рис. 23 Откладывая на осях координат отрезки конструктивных длин у 1.
Поде комялсксмыи кисея 179 1,а,)э и рассматривая подобные треугольники, изображенные на рис. 23, а, б (штрихами показаны новые конструктивные отрезки), мы убеждаемся в конструктивности произведения у = а)3 и частного б = сэ/В. Так как построение Ы = (я+ эр)(х'+эу ) = (хх' — ру) +э(ху'+ х р), 1 х . р хэ+ 92 х2+ 92 сводится в конечном счете к построению величин типа у и б, то конструктивность произведения Ы и частного 1/2 также установлена.
Вместе с тем доказана замкнутость множества Со' относительно всех операций в поле и,'. (З Замечание. 1) Со инвариантно относительно автоморфизма сопряжения 2 ьт Е. 2) На рис. 23,е показано, что извлечение квадратного корня э/а из конструктивного вещественного числа а > 0 конструктивно. На самом деле зто высказывание относится к любому конструктивному ЧИСЛУ 2. Всякое подполе Р С Со принято называть комспэрркгппенььм числовььм полем. Понятно, что (4) С Со' и что любое конструктивное поле является полем нулевой характеристики. Согласно замечанию 2) всякое квадратичное поле (см. пример в п. 5) конструктивно. УПРАЖНЕНИЯ 1.
Наяти все компяексвые числа э, по модулю равные 1, при которых ээ + + (1+ 2)э принимает часто мвямые звачеюи. Изобразить соответствующее геометрическое место точек ва плоскости С. 2. Что можно сказать о поле И(6), которое получено иэ И прясоедивевием комплексного чясла б, удовлетворяющего равенству б4 = -1? 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
