1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Мы получим весьма интересный класс колец — так называемые кольца с делением, или шола, заменив в определении кольца аксиому К2) на существенно более сильное условие К2') относительно операции умножения множество К = К '1 (О) является группой. Кольцо с делением, стало быть, всегда без делителей нуля, и каж- дый ненулевой элемент в нем обратим. Операции сложения и умноже- ния становятся почти полностью симметричными в коммутативном кольце с делением, которое называется полем.
Итак, дадим еще раз Определение. Поле Р— это коммутативное кольцо с еди- ницей 1 ~ О, в котором каждый элемент а ~ О обратим. 11эуппа Р' = ЩР) называется мультввлвнатввнов группой полл. Поле представляет собой гибрид двух абелевых групп — адди- тивной и мультипликативной, связанных законом дистрибутивности (теперь уже одним ввиду коммутативности). Произведение аЬ ' записывается обычно в виде дроби (или от- ношения, частного) ~~, которую для экономии места на бумаге запи- сывают еще с помощью косой черты: а/6. Следовательно, дробь а/Ь, имеющая смысл только при 6 11 О, является единственным решением уравнения Ьх = а. Действия с дробями подчиняются нескольким правилам: а с — = — о=э ад = Ьс, Ь, д ф О, Ь д а с ад+ Ьс Ь+д Ы а -а а — — — — Ьфб, Ь Ь вЂ” Ь' (8) а с ас Ь,дало, Н = —, а,Ь 1Е О.
Это — обычные, "школьные" правила, но их надо не запоминать, а выводить нз аксиом поля, что, впрочем, не представляет никаких трудностей. Вот рассуждения, достаточные для получения второго из правил (8). Пусть х = а/Ь и у = с/д — решения уравнений Ьх = а и ду = с. Из этих уравнений следует да+ 6с дьх = да, Ыу = Ьс => Ы(х + у) = да + Ьс =ь С = х + у = Ы вЂ” единственное решение уравнения Ы1 = да + Ьс. 100 Гл.
е'. Группы. Кольца. Поля Подпадем Р поля Р называется подкольцо в Р, само являющееся полем. Например, поле рациональных чисел Я вЂ” подполеполя вещественных чисел Н. В случае Р С Р говорят также, что поле Р являетсл расшпрением своего подпола Р. Из определения подпола следует, что нуль и единица поля Р будут содержаться также в Р и служить для Р нулем и единицей. Если взять в Р пересечение Рз всех подполей, содержащих Р и некоторый элемент а Е Р, не принадлежащий Р, то Р1 будет минимальным полем, содержащим множество (Р,а) (рассуждение такое же, как для групп в упр.
1 из 2 2). Говорят, что расширение Рг поля Р получено прнсоеднненпем к Р элемента а, и отражают этот факт записью Рз = Р(а). Аналогично можно говорить о подполе Р1 = Р(аы..., а„) поля Р, полученном присоединением к Р и элементов аз,..., а„поля Р. Неболыпел проверка показывает, что Я(ч'2) совпадает с ивожествои чисел о+ Ьтз, где о,6 Е Я, поскольку (т2)з = 2 и 1 о 6 и'2 а + Ь~/2 оз — 2Ьз ее — 2Ьз при о+ Ьъ~2 ~ О. То же самое отиосктсл к Щ~/3), Щчз) и т.д. Поля Р и Р' называются изоморфными, если они изоморфны как кольца. По определению у(0) = 0' и у(1) = 1' для любого изоморфного отображения У.
Не имеет смысла говорить о гомоморфизмах полей, так как Кег у" еЬ 0 =«у(а) = О, а зЬ 0 =« =«у(1) = у(аа ') = У(аЩа ') = 0 у(а ') = 0 =« =«УЬ 1(Ь) = У(1 Ь) = у(1) у(Ь) = 0 1(Ь) = 0 =«Кег 1' = Р. Напротив, аегаоморфпзмм, т.е. изоморфные отображения поля Р на себя, связаны с самыми глубокими свойствами полей и являются мощным инструментом для изучения этих свойств в рамках так называемой теории Галуа. Понятие расширения полей вполне созвучно известному стремлению человечества увеличивать запас используемых чисел. Довольно медленный процесс, который условно изображается диаграммой (один)- (один да один есть два) - М- (И,О).« Е Я Я(ьГ2) ч Н и который продолжался вплоть до наппгх дней, привел к чрезвычайно разветвленной сети полей, весьма далеких от привычных числовых.
Не все этапы этого процесса были чисто алгебраическими. Скажем, переход от рациональных чисел к вещественным (или действительным), основывающийся на понятии непрерывности и полноты (су- Я Ю. Кольца и поля 161 ществование пределов у последоватвп настей Коши),и поныне разбирается в курсах математического анализа. В то же время совершенно аналогичная конструкция полей р-адических чисел, которой мы здесь не касаемся, ы выросший на ее основе современный р.адический анализ — достойные детища трех областей — теории чисел, алгебры и анализа.
5. Характеристика ноля. В п. 2 было построено конечное кольцо классов вычетов Ер1 с элементами 0, 1, 2, ..., т — 1 и операциямы й + 1 = к+1, Й 1 = Н сложения и умножения (мы отказываемся от значков Ю и О). Если т = вз, в > 1, $ > 1, то з й = т = О, т.е. в и й — делители нуля в Е Пусть теперь т = р — простое число. Утверждается, что Ер— поле (нз р элементов). Для р = 2,3 это непосредственно видно из таблиц умножения, выписанных в п. 2. В общем случае достаточно установить существование для каждого з 6 Ер обратного элемента ьзв (целые числа в и з' не должны, очевидно, делиться на р). Рассмотрим элементы в, хз, ..., (р — 1)а (9) Они все отличны от нуля, так как в р: '0(шодр) =Ь йв 1е 0(пюдр) при й = 1,2,...,р — 1.
(Здесь ыспользуется простота р.) По той же причине элементы (9) все различны: яз Гв = (з, й < 1, следовало бы (й — 1)з = О, что неверно. Итак, последовательность элементов (Я) совпадает с последовательностью переставленньпс каким-то образом элементов 1,2,...,р — 1. В частности, найдется в', 1 < в' < р — 1, для которого з'з = 1. Но зто значит, что 7в = 1, т.е. з' — обратный к з элемент.
Нами доказана Теорема 3. Кольцо классов вычетов Е1ь является полем тогда и только тогда, когда т = р — простое число. Следствие (малзя теорема Ферма). Длл любого целого числа пь, не делящегося на простое число р, имеет место сравнение тв 1 ьн 1(пюдр). Доказательство. Как мы видели, (т, 2т, ..., (р — 1)Ж) = (1, 2, ..., р — Т) (заменить в (9) з на т и принять во внимание равенства кт = = кт, к = 1,...,р — 1). Поэтому, перемножая по отдельности все 162 Гя. 4. Грунны.
Кольна. Поля элементы в левой и правой части, получим Поскольку Ер — кольцо без делителей нуля, по теореме 1 множитель П" Й ф О можно сократить: тв 1 = 1. На языке сравнений имеем то, что нужно. П Справедлива более общая теорема Эйлера, но необходимость в ней возникнет лишь в [ВА 1П]. Поля Ег, Ев, Еь,..., столь не похожие на известные нам поля Я, Я(~Г2), й, заняли в алгебраической иерархии полей место, вполне сопоставимое по своему значению с местом, давно отведенным для Я.
Дело здесь вот в чем. Пусть Р— поле. Как мы уже отмечали, пересечение П,Р; любого семейства подполей (Р1ь' Е 1) будет подполем в Р. Определение. Поле,необладающееникакимсобственнымподполем, называется простым. Теорема 4. В каждом иоле Р содержится одно и только одно простое волг Ро. Это простое иоле ивомор~но лабо Я, либо Ер для некоторого простого р.
Доказательство. Допустив существование двух различных простых подполей Р', Р" С Р, мы нензбежно придем к выводу, что их пересечение Р' П Р" (очевидно, непустое, поскольку О и 1 содержатся как в Р', так и в Р") будет полем, отличным от Р' и Р". Это, однако, невозможно ввиду их простоты. Стало быть, простое подполе Ро С Р единственно. В Ро наряду с единичным элементом 1 содержатся все его кратные и ° 1 = 1 +... + 1. Из общих свойств операций сложения и умножения элементов в кольцах (см. конец п. 1) следует, что в 1 + Ф 1 = (в +я) .
1, (в 1)(ь' 1) = (вь) 1; в,$ Е Е. Поэтому отображение у кольца Е в Р, определенное правилом у'(и) = = и . 1, является гомоморфизмом, ядро которого имеет вид Кег у' = = тЕ. Если пь = О, то,~ — мономорфизм, и дроби (в 1)/($ 1), имеющие смысл в Р (поскольку Р— поле), образуют поле Ро, изоморфное Щ Оно н будет простым подполем в Р. Если же т > О, то, очевидно, отображение У', определенное по правилу у": й = (я) ~-ь у(й), будет изоморфным вложением Е -ь Р. По теореме 3 это возможно только тогда, когда т = р — простое число.
Стало быть, у'(Ер)— простое подполе в Р. П Определение. Говорят, что поле Р имеет характлгрнстнку нуль, если его простое подполе Ро изоморфно ф Р— поле простой у 8. Кольцо и ио ьа 163 (или конечной) хараитперисшции р, если Ро ш — Ер. Соответственно пишут с)япР = О или с)игР = р ) О. Вместо Ер обозначением "абстрактного" поля из р элементов служит обычно Рр или СР(р) (Са1о!3 Р)е!д — поле Галуа) . Следует иметь в виду, что существует конечное поле СР(0) с 0 = р" элементами, где р — простое, а п — любое целое положительное чисцо.
К этому интересному вопросу мы вернемся в [ВА 1Щ, а сейчас ограничимся лишь примером поля из четырйх элементов (О, 1, а, Я: СР(4): Чем являются а и )1, нас пока не интересует. Рекомендуется проверить выполнение закона дистрибутивности. Иногда нулевую характеристику называют бесконечной в соответствии с ее интерпретацией как порядка элемента 1 в аддитивной группе поля Р. Аналогично, конечная характеристика р — общий порядок любого ненулевого элемента в аддитивной группе: рх = х +...
+ х = 1 х +... + 1 х = (1+... + 1)х = (р 1)х = О. 6. Замечание о линейных системах. Настала пора окинуть мысленным взором изложенную в предыдущих главах теорию систем линейных уравнений и выросшую из нее теорию определителей. Коэффициентами в линейных уравнениях и элементами матриц у нас были числа (рациональные или вещественные), но специфика этих чисел никак не использовалась. Нет никаких препятствий к тому, чтобы взять теперь вместо чисел элементы фиксированного поля Р. При этом и результаты должны формулироваться в терминах поля Р: компоненты решения линейной системы и значения функции бес будут лежать в Р. Метод Гаусса решений систем линейных уравнений, теория определителей, правило Крамера остаются справедливыми (без существенных изменений) для пронзвольного поля Р. Пример 7. Пусть нам дана одиороднае система линейных уравнений АХ = = 0 с квадратной матрицей 1 2 3 4 -10 13 14 15 12 -9 14 15 12 13 -3 15 А =(ае) = и столбцом неиэвестиых Х = [им ив,кэ,хе].
Прлмые вычислении цокаэывшот, Чта дЕ1 А ю 2Э 11Э. СЛЕДОВатЕЛЬНО, ЦРИ Оз,кэ Е Р, ГДŠР— ЛвбОЕ НОЛЕ ХЭ рактеристики нуль или характеристики р Р' 2,11 (в этом случае целые числа 1,2,3,4, — 10,...,15 эаменлютсл иа соответствуюшие классы вычетов), система лвллетсл оцределеннок и имеет только трнвиаэьиое решение Х = О. 164 Гл.
4, Группы. Кольца. Поля Если сйш Р = 2 (скажем, Р ж Ез), то нз сравнения 1 2 3 4 -10 13 14 15 12 -9 14 15 12 13 — 8 15 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 (шод 2) мы заключаем, что ранг системы равен 2 и система довускаат два независимых решения Хь = [1,0,1,0], Хз = [0,1,0,1]. Во избежание недоразумений следовало бы писать Хь ж [1,0, 1,6], Хз = [6,1,6,1], ио мы считаем себя достаточно подготовзеннымк к восприятию упрощенной записи. Если сьагР ж 11, то из сравнения 1 2 3 4 -10 13 14 15 12 -9 14 15 12 13 -8 15 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (пкк1 11) вытекает, что скстема имеет три независимых решения Хь = [9~1,0,0!, Хэ = [8 0 1 0] Хз = [У 0 0,1]. Как мы видим, ответ о числе решений существенно зависит от рассматриваемого поля Р, но анализ системы ничем не отличается от обычного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
