1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В качестве изоморфного отображения у мультипликативной группы (й», ) положительных вещественных чисел на аддитивную группу (Й,+) всех вещественных чисел может служить у:= 1п. Известное свойство логарифма 1паЬ = )па+ 1пЬ как раз моделирует свойство 1) в определении изоморфизма. Обратным к У служит отображение х + е*. Докажем теперь две общие теоремы, иллюстрирующие роль изоморфизма в теории групп. Теорема 3. Все нлклаческае группы одного а тпого же порядка (в тпом числе а бесконечного) иэомор1блы. Доказательство. В самом деле, если (д) — бесконечная циклическая группа, то все степени д" образующего д различны, и мы получим изоморфизм у: (д) ~ (Е, +), полагая д" т-т у(д") = л.
Биективность у очевидна, а свойство у(д д") = У(д") + у(д ) вытекает из теоремы 1. Пусть теперь С = (е, д,..., дт ') и С' = (е',д',..., (д')в ') — две циклические группы порядка д (операции в С и С' не различаем). Определим биективное отображение У: д" + (д')», Ь = 0,1,...,д — 1. Полагая п + тп = 1д+ г, О < т < д — 1, для любых п, тп = О, 1,..., д — 1 146 Гм 4. Грузим. Кольцо.
Полл и рассуждая как при доказательстве теоремы 2, будем иметь у(д"+ ) = 1(д") = (д')' = (д')пь = (д')"(д') = 1(д"у(д ) Теорема 4 (Кзли). Любая конечная группа порядка п нзоморфна некоторой подгруппе симметрической группы Я„. Доказательство. Пусть С вЂ” напьа группа, п = ~0~. Можно считать, что ߄— группа всех биективных отображений множества С на себя, так как природа элементов, переставляемых элементами из 5„, несущественна. Для любого элемента а 6 С рассмотрим отображение 1 л: С -~ С, определенное формулой Ьл(д) = ад (очевидно, мы повторяем определение из п. 3 3 8 гл.
1). Если е = = дь, дз,...,д„— все элементы группы О, то а, аде,...,ад„будут теми же элементамн, но расположенными в каком-то другом порядке (вспомним таблицу Кэли). Это и понятно, поскольку ад; = ад =Ь а ь(адь) = а '(ад ) ~ (а ьа)дь = (а ьа)ду =Ф д< = ду. Значит, Ь, — биективное отображение (перестановка), обратным к которому будет 1, ь = Ь,- . Единичным отображением является, естественно, Ь,. Используя вновь ассоциативность умножения в С, получаем 1ль(д) = (аЬ)д = а(Ьд) = йл(йьд), т.е.
Ель = йлйь. Итак, множество л.„ьо„..., л.о„образует подгруппу, скажем, Н, в группе 5(С) вснк биективных отображений множества С на себя, т.е. в Я„. Мы имеем включение Н С Я„и имеем соответствие 1: а ь л", 6 Н, обладающее по сказанному выше всеми свойствами изоморфизма. С) Теорема Кзли, несмотря на свою простоту, имеет важное значение в теории групп. Она выделяет некий универсальный объект (семейство (Я„~ п = 1,2,...
) симметрических групп) — вместилище всех вообще конечных групп, рассматриваемых с точностью до изоморфизма. Фраза "с точностью до изоморфизма" отражает сущность не только теории групп, стремящейся объединить в один класс все юоморфные группы, но и математики в целом, которая без таких обобщений была бы лишена смысла. Положив 0' = 6 в определении нзоморфизма, мы получим юоморфное отображение ~р: 0 ~ С группы С на себя.
Оно называется аетоморфнэмом группы С. Например, единичное отображение ео: д + д (далее обозначаемое просто через 1) — автоморфизм, но, как правило, С обладает и нетривиальными автоморфизмами. Свойство 3) изоморфных отображений показывает, что отображение, обратное к автоморфюму, тоже будет автоморфизмом. Если, далее, у, ьр — автоморфюмы группы С, то (<р о ьЬ)(аЬ) = рЦ(аЬ)) = д Й. Группы 147 = р(ьд(а)Ф(Ь)) = (~о о ьд)(а) (у о ьд)(Ь) для любых а,Ь е С. Стало быть, множество Аць(С) всех автоморфизмов группы С образует группу — подгруппу группы 5(С) всех биективных отображений С ь С. 4. Гомоморфнзмы. В группе автоморфюмов Асс(С) группы С содержится одна особая подгруппа.
Она обозначается символом 1пп(С) и называется группой опдшреппкт авпьоморфиэмов. Ее элементами двляются отображения 1,:д +ада '. Небольшое упражнение показывает, что 1, действительно удовлетворяет всем свойствам, требуемым от автоморфизмов, причем 1, ' = 1,—, 1, = 1 — единичный автоморфизм, 1п о 1ь = 1ьь (так как (1ь о 1ь)(д) = 1а(1ь(д)) = 1ь(ЬдЬ ~) = аЬдЬ ~а ~ = аЬд(аЬ) ~ = 1ьь(д)) Последнее соотношение показывает, что отображение 1: С-+1пп(С) группы С на группу 1пп(С) ее внутренних автоморфизмов, определенное формулой 1(а) = 1„а Е С, обладает свойством () иэоморфного отображения: 1(а) о 1(Ь) = 1(аЬ). Однако свойство й) при этом не обязано выполняться. Если, например, С вЂ” абелева группа, то ада ' = д для всех а, д б С, так что 1, = 1„и вся группа 1пп(С) состоит из одного единичного элемента 1,. Это обстоятельство делает естественным следующее общее Определение.
Отображение у: С ~ С' группы(С,ь) в (С',о) называется гомоморфпэмом, если Ча,ЬйС 1(аьЬ) =1(а)о1(Ь) (другими словами, выполняется только свойство 1) из определения иэоморфюма). Ядром гомоморфюма 1 называется множество Кег1 = (д й С ) 1(д) = е' — единица группы 6'). Гомоморфное отображение группы в себя называется еще ее эпдоморфпэмом. В этом определении от 1 не требуется не только биективности, но н сюръективности (т.е.
быть отображением "на"), что, впрочем, не очень существенно, поскольку всегда можно ограничиться рассмотрением образа 1ш1' С С', являющегося, очевидно, подгруппой в 6'. Главное отличие гомоморфизма 1 от изоморфизма заключается в наличии нетривиального ядра Кег 1, являющегося, так сказать, мерой неинъективности 1. Если же Кегу' = (е), то 1: С -ь 1ш,у— ивом орфизм. 148 Гл. 4. Группы. Кольца. Поля Заметим, что Да) = е',ДЬ) = е' ~ у(аеЬ) = у(а) оДЬ) = е'ое' = е', У(а ') = У(а) ' = (е') ' = е'. Поэтому ядро Кегу — подгруппа в (у. 5.
Словарик. Примеры. Стоит отметить, что термины сюрьекпьцемое опьобраисемие (отображение янаи), имъектпиомое (отображение вложения), бпекпьиопое (взаимно однозначное отображение), применимые к отображениям любых множеств (без операций), в случае групп (и в случае других алгебраических структур) заменяются соответственно терминами эпимор)рпэж (гомоморфизм "на»), жомоморфцзм (гомоморфизм с единичным ядром), изоморфиз«и (взаимно однозначный гомоморфизм — эпиморфнзм и мономорфизм одновременно). Имеется тенденция к замене гомоморфизма термином мор(рпзль Этот словарик полезно иметь в виду при чтении математической литературы, но на первых порах желающие могут обойтись двумя терминами: изоморфизм и гомоморфизм с добавлениями лвь и ««на««.
В дополнение к рассмотренным вьппе приведем еще несколько примеров морфизмов групп. Пример 5. Аддитивная группа целых чвсел Ж гомоморфно отображается на конечную циклическую группу (д) порядка д, если положить /: и «-> д" (см. теорему 2 8 2), В этом случае, очевидно, Кету = (1д) 1 Е Е).
В самом деле, ясно, что (1д) С Кегу. Обратное включение следует из теоремы 1. П ри мер б. Отображение 1: Ж ь Т = оО(2) аддитивной группы вещественных чисел ка группу Т вращении плоскоств с неподвижной точкой О, задаваемое формулой у(Л) = Фл (Фл — вращение протез часовой стрелка ва угол 2лЛ), гомоморфно, так как Фл о Ф» — — Фл+„. Вращение на угол, целочисленно кратный 2я, совпадает с единичным вращением (на нулевой угол), поэтому Кегу' = Е. Говорят также, что 1 — гомоморфизм и на окружность о~ единичного радиуса, поскольку имеется взаимно однозначное соответствие между Фл и точкой на В( с полярными координатами (1,2яЛ), О < Л < 1.
П ри ме р 7. Полная линейнае группа Сй,ь(Ж) вещественных матриц А (т.е. матриц с коэффициентами в Ж с ве равным нулю определителем деь А гомоморфно отображается на мультипликативную группу Ж' отличных от нуля вещественных чисел, если положить у;ж бес. Условие гомоморфизма 1(АВ) = /(А)1(В)— лишь иная формулировка теоремы 3 8 2 гл. 3. По определению Вь«ь(Ж) ж Кег У. Пример 8. Рассмотрим циклическую группу Сз = (-1) = (1, — 1) порядка 2. Если угодно, ей можно задать абстрактно таблицей Кэпи; 1 -1 Сз: 1 1 -1 -1 -1 1 Отображение о„ -+ Сз при помощи известной нам функции е ж ебп:л «+ е» (знак перестановки л) является гомоморфизмом симметрической группы оь на Сз.
Ядро Кег е = А„порядка и!/2 (см. и. 3 1 8 гл. 1) называетсл эиокоперемеикоя группой. д й. Группы 149 Пример д. Вескояечная группа может быть изоморфва своей истинной (собственной) подгруппе. В самом деле, аддитивнав группа (Е, +) содержит собстмнную подгруппу пЕ = (пй ! й Е Е), где и > 1 — фисированное натуральное число. Легко проверяется, что отображение д»: Е «пХ, определенное соотношением д„(й) = пй, являетсл изоморфизмом. Попутно заметим, что Е и пХ вЂ” бесконечные циклические группы, в которых образуюшвми служат соответстмвно 1 или -1 и и или — и; поэтому д„и отображение й «« -пй исчерпывают все изоморфизмы Е -«пЕ. Пркмер 10.
Группа Апс(С) и даже отдельный неединичный зземент м Е Е Апс(С) могут служить источником важных сведений о группе С. Вот ярккй пример такого рода. Пусть С вЂ” конечная группа, на которой действует автоморфизм з» порядка 2 (сэз = 1) без неподвижных точек; а~с==:»м(а) ~а. предположим, что 1«(а)а с = 1«(6)6 ' для каких-то а, ь е с. тогда после умножения этого рамнства слева иа м(6) с и справа на а получям ««(Ь) си(а) = = 6 са, т.е. сг(ь "а) = ь са, откуда ь"'а = е н 6 = а.
итак, т(а)а с пробегает вместе с а все элементы группы С, или, что равносильно, любой элемент д б С записывается в виде д = З«(а)а с. Но в таком случае ««(д) = м(1«(а))1«(а с) = ='г (а)1з(а ) =аФ(а) ~ =(сг(а)а ~) ~ =д ~.итак,юсоападмтсотображением д «+ д '. Зная это получаем аЬ же«(а ')З«(6-') = у(а сЬ с) — (а-сЬ-с)-1— ж Ьа, т.е. группа С оказывмтся абелевой. Кроме того, (С: е) — нечетное число, Иба С СОСтОИт ИЗ Е И НЕПЕРЕСЕКаЮщнХСя Пар ЭЛЕМЕНтаа дь д< ж 1«(д;). -1 Пример 11. Насколько можно изменить операцию на группе, ве меюи в смысле язоморфизма самой группы, показывает следуюшяй пример (см.
глюке упр. 3 из Ь 1). Пусть С вЂ” произвольная группа, С вЂ” ее какой-то фиксированный элемент. Введем на множестве С новую операцию (д, й) д. й = дсл. Непосредстмнно цроверяетсл, что (дс «дз) * дз = дс «(дз «дз), т.е. операция * ассоциативна. кроме того, д*с ' = с с «д = д в д«(с 'д 'с ' = (с 'д-'с-') « * д ж С С, а зто значит, что (С, «) — группа с единичным элементом е. = С Элементом, обратным к д в (С,«), служит д. ~ = С 'д 'С с. Отображение 1; д ««дС с устанавливает взоморфизм групп (С, ) в (С, «), т.е. 1(дй) = 1(д) *1(й) Все указанные примеры служат, между прочим, иллюстрацией к одному общему правилу: изучение морфизмов группы С дает значительную информацию о самой группе С. УПРАЖНЕНИЯ 1.
Доказать, гго пересечение П; с НП любого семейства (Н;)С Е 1) подгрупп группы С является подгруппой. 2. Говорят, что группа С порождмтся подмножеством о своих элементов, и пишут С = (д), еслк пересечение всех подгрупп Н, содержащих д, совпадает с С (другкмк словами, в С нет хотв бы одной собственной подгруппы, содержашей Н).
Показать,что в случае С = (з) каж,зый элемент д б С имеет вид д = Сссе... С, и = 1,2,..., где либо С< б о, либо С, Е о, 1 ( С ( и. 3. Показать, что перестановочные элементы а,Ь провзвольной группы С, имеющие взаимно простые порядки з, С, порождают в С циклкческую подгруппу порядка «С: (а, 6) = (аЬ). 150 Гл. 4. Группы. Кольца. Полл Указание. Включение (аЬ) С (а, Ь) ж (а»Н ( О ( з ( з — 1, О ( ф ( 1 — 1) очевидно.
Вместе с тем, согласно и. 3 $9 гл. 1, яз НОД(з.с) = 1 следует, что сй+л1 ж 1 для некоторых Ь 1 6 В. Поэтому сучйгом теоремы 1 а = аз и = а'ь = а'"Ь'ь = (аЬ)Ы О (аЬ). Аналогично, Ь 6 (аЬ), и, стало быть, (а, Ь) б (аЬ). 4. Показать, что если М = (Я) — моноид, порожденный множеством Я, и каждый элемент л 6 Я обратим в М, то М вЂ” группа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
