1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Стало быть, одно из преимуществ перехода от )й и Я к произвольному полю заключается в устранении дублирования сходных рассуждений. Но имеются к тому н более веские причины. Говоря о полной линейной группе, мы до сих пор считали ее группой всех невырожденных матриц с коэффициентами из Я или )й. Совокушюсть квадратных матриц порядка и с к1хзффициентами в произвольном поле Р составляет кольцо матриц М„(Р), а подмножество всех невырожденных мвтриц А е М„(Р) (матриц с бе1 А ф 0) приводит к понятию полной линейной группы 6Ь„(Р) над полем Р. Варьируя поле Р, например, полагая Р = 1гр, можно естественным путем получить ряд важных групп (см. (ВА 1Щ). Поля типа )й, ©Щу'2) и прочие называются обычно числовыми поляжи.
Поле йгр — пример нечислового поля: было бы неправильным называть его элементы числами лишь на том основании, что они часто отождествляются с элементами множества (О, 1,..., р — 1). В 3 2 гл. 1 ставилась задача (под номером 3) по использованию конечных полей в теории кодирования.
Мы приведем сейчас маленький пример на зту тему. Пример 8. Длл передачи лозунга МИРУ МИР в пркнципе достаточно повторения четырбх элементарных сообщений М = (О, 0), И ж (1, 0), Р = (О, 1), У = (), 1), интерпретируемых как векторы-строки двумерного линейного пространства уеэ иад полем Рэ щ Хз = (О, Ц из двух элементов. Но во время передачи в канале связи возникают помехи (замены символа 0 иа 1 или 1 иа 0), в результате которых на приемный конец канала может прийти, например, сообщение РИМУ РИМ.
Согласно фундаментальной теореме Шеннона за счет увеличения длины у 8. Кольце и полл 165 элементарных сообщений (т.е. за счет скорости передачи) влияние помех устранимо. Пусть, скажем, из условии передачи известно, что в каждом элементарном сообщении длины б проксходнт не более одного яскаження. Возьмем тогда в линейком пространстве В = Уез подмножество Во = (М ж (О, О, 1, 1, 0), И = (1, О, О, 1, 1), Р = (О, 1, 1, О, 1), У = (1, 1, О, О, 0)) так называемых иодоемз ееяпюрое.
Из таблицы видно, что множества искаженных векторов из разных столбцов не пересека. ются, и, стало быть, возмшкио правильное декодированке, т.е. восстановление истинного сообщения. Мы получили код Вэ, исправлякиций одну ошибку. Переходя к пространствам Рз достаточно большой размерности и, можно сконструировать аналогичный код, способный безошибочно передать весь русский алфавит, т.е. любой текст.
Чтобы декодкрование не свелось к длительному и очень медленному перебору, Во приходится выбирать специальным образом. Для этого существует множество приемов, в том числе и чисто алгебраяческих, основанных на яспользоввпии конечных полей Ре. УПРАЖНЕНИЯ 1. Развивая идею примера 2 нз 3 1, показать, что множество Р(й) с опера. циями А+Вы(А11В)1(Аг1В), АВ=АПВ, А,Вбй, является кольцом с едннвцей, эсе элементы аддитивной группы которого имеют порядок 2. 2.
Установять коммутатквность произвольного кольца, в котором каждый элемент х удовлетворяет уравнению хз = я. Верно ли зто при условии хз = я? 3. Изоморфны ли поля Щч'2), Щч'5)? 4. Показать, что эпиморфный образ коммутативного кольца является коммутатввным кольцом. б.
Показать, что любое конечное целостное кольцо К является полем. 6. Пусть р — простое число и К вЂ” коммутатнвное кольцо с единицей такое, что рх = 0 для всех х б К. Показать, что тогда (я+у)" =яя +уз, щ=1,2,... Указание. Использовать индукцию по гп и то обстоятельство, что бин<» мнаяьный коэффицкент (~), 0 < й < р, делится на р. 1йг' Т. Доказать, что кольцо К, состоящее из пятя элементов, либо язоморфно Ез, либо явллетсл кольцом с нулевым умножением. 6. Элемент х 4 0 кольца К называется мяльпоглеяшнмм, если х" = 0 для некоторого и б И. Показать, что: 1) нилыютентность элемента з влечйт обратимость элемента 1 — х в любом кольце с единицей; 166 Гл. С. Группы.
Кольца. Полл 2) кольцо Еж ж Е/гпЕ содержит нильпотектные элементы в точности тогда, когда гп делится на квадрат натурального чксла > 1. 9. Доккщть, что в кольце К с единицей и бесконечной мощности )К( не может быть конечного числа и < 1 необратимых элементов ~ О. Указание. Использовать рвссуждеяке от противного. Пусть Ф = (о1,...
..., оь) — множество всех ~ 0 необраткмых элементов кольца К. Отображение дз: а; ~-> Ха; яВЛяЕтСя бпвнцнЕй Ь? -Э Ь? дпя ЛибОГО Х б К 1(Н С(0)). ЯдрО КЕГд отобРаженкх Ьч х ~е Рз бесконечно. 10. Пусть К вЂ” прокзвольное ассоциативное кольцо с единицей 1 н о,Ь вЂ” его элементы. Показать, что (1 — аЬ)с = 1 = с(1 — аЬ) =ш (1 — Ьо)Н ш 1 = д(1 — Ьа), где б = 1+ Ьса, т.е. обратимость 1 — аЬ в К влечет обратнмость 1 — Ьа. Чему равен элемент 1+ а<В? а Ь 11. Показать, что матрицы )! )), где Ь б Ез, образуют поле кз девяти элементов к что мультипликатквнвя группа этого поля циклическая порядка В. 12.
Способен ли код бе (из пркмера 2 в конце параграфа) исправить две ошибки? Глава 5 КОМПЛЕКСНЫЕ ЯИСЛА И МНОГО"ЧЛЕНЫ В этой главе будут рассмотрены вполне конкретные алгебраические системы, частично известные из школьной математики, но заслуживающие того, чтобы остановитьсл на них несколько подробнее. Точка зрения, выработанная в предыдущей главе, позволит нам бросить свежий взгляд на традиционное "поле деятельности" алгебры пропиых веков. В то же время на примере многочленов станут более понятными и осязаемыми такие проблемы, как расширение колец и однозначность разложения на простые множители в целостных кольцах (областях целостности).
3 1. Поле комплексных чисел История математики отмечена длительной борьбой сторонников и противников "мнимых" чисел, источником которых служит алгебраическое уравнение хз + 1 = О (1) Можно занять упрощенную позицию и ограничиться формальной записью решений уравнения (1) в виде ~~/ — Т. Но такое немудрено было сделать и в более далекие времена; оставалось лишь придать смысл указанной записи.
Мы будем решать эту задачу на разных уровнях. Вначале приведем некоторые эвристические соображения. 1. Вспомогательная конструкция. Нам хочется расширить поле вещественных чисел К так, чтобы в новом поле уравнение (1) обладало решением. Моделью такого расширения может служить множество Р всех квадратных матриц е мг(Ж) (2) Утверждается, что Р— поле (ср. с упр. 11 из З 3 гл. 4). В самом деле, в Р содержатся нуль 0 и единица Е кольца Мз(И).
Далее, из соотношений -Ь а -д с -(Ь+И) а+с Гм б. Комнеексные ннсеа н многонеены 168 вытекает замкнутость Р относительно операций сложения и умножения. Ассоциативность этюс операций является следствием их ассоциативности в Мг(К). То же самое относится к законам дистрибутивности и коммутативности сложения. Таким образом, Р подкольцо в Мг(К). Коммутативность умножения в Р вытекает из третьей формулы (3), и остается доказать лишь существование в Р матрицы, обратной к любой матрице (2) с определителем аз+ Ьг ~ О. Прямо по формуле для коэффициентов обратной матрицы (см. теорему 1 из з 3 гл.
3) или путем решения линейной системы ах — Ьу = 1, Ьх+ар = О, возникающей из условия находим, что (4) где — Ь И= аз+Ьг а аз+ Ьз' Используя правило (5) из з 3 гл. 2 умножения матриц на числа, мы любой элемент поля Р запишем в виде а Ь 1 Е+Ы, аЬ6К 7=1 1 О . (5) ! О 1 Поле Р содержит подполе (аЕ ~ а е 1Ц й— ' К, а соотношение У~+Е = О показывает, что элемент о 6 Р ос точностью до изоморфизма" является решением уравнения (1). Ни о какой мистике вокруг "мнимой величины,7" здесь не может быть и речи.
Не поле Р, однако, называется полем комплексных чисел, а некий изоморфный ему объект, элементы которого изображаются точками плоскости. Желание иметь геометрическую реализацию поля Р не случайно, если вспомнить, что и поле К для нас не отделимо от "вещественной прямой" с фиксированной на ней точкой, изображающей О, и фиксированным масштабом, определяемым положением числа 1. 2. Плоскость комплексных чисел.
Итак, мы хотим построить поле С, элементы которого были бы точками плоскости Кг, а сложение и умножение точек, подчиняясь всем правилам операций в поле, решали бы нашу задачу. Выберем на декартовой плоскости у 1. Поле номнлекснмв чисел 169 прямоугольную систему координат с осью абсцисс х и осью ординат у. Будем писать (а, Ь) для точки с абсциссой а и ординатой Ь. Для точек (а, Ь) и (с, а) определим сумму и проюведение по правилам (а, Ь) + (с, д) = (а + с, Ь + д), (а,Ь)(с,д) = (ас — Ьа,ад+ Ьс) (6) (использование те~ же знаков +,, что и в поле Н, не должно приводить к путанице).
Прямая, но довольно утомительная проверка убедила бы нас в том, что так определенные операции наделяют множество пар (точек плоскости) строением полл с нужными свойствами. В этой проверке, к счастью, нет необходимости. Сопоставление (а,Ь) н точкам плоскости С элементов построенного ранее поля Р и беглый взгляд на формулы (3) и (6) убеждают нас в том, что мы имеем дело с изоморфюмом и что, следовательно, множество С является полем.
Оно и называется обычно нолем комплексных чисел. Имея в виду геометрическую реализацию этого поля, С называют еще плоскостью комплексных чисел (а чаще, хотя и несколько двусмысленно, — комнлвксно6 плоскостью). Выбранная нами ось абсцисс, т.е. множество точек (а, 0), ничем не отличается по своим свойствам от вещественной прямой, и мы полагаем (а, 0) = а. Нуль (О, 0) и единица (1, 0) поля становятся при этом обычными вещественными числами. Для точки (0,1) на оси ординат вводится, со времен Эйлера и Гаусса, обозначение 1 лмнимой единицы", являющейся корнем уравнения (1): ьл = (О, 1)(0, 1) = = (-1, 0) = -1.
Произвольное комплексное число х = (х, у) = (х, 0) + + (О, 1)(у, 0) запишется теперь в традиционном виде л =х+Ьр, х,у Е Ж, (7) весьма близком к виду (5) элементов поля Р. Заметим, что Я С Н С С С. Поэтому С вЂ” поле нулевой характеристики (см. п. 5 8 3 гл. 4). 3. Геометрическое истолкование действий с комплексными числами. Ось абсцисс плоскости С обычно называется вещественной (или действительной) осью, ву ось ординат — мнимой осью, а числа Ьу, лежащие на ней — чисто мнимыми числа- Ф 1 ми, хотя слово "мнимое" и утратило свой О,л л, 'л первоначальный смысл. Соответственно в записи (7) х = Вез — веи1ественнол часть, а у = 1ш л — мнимол часть комплексного числа к Рассмотрим отображение, которое Рнс.
18 сопоставляет каждому комплексному числу л = х + 1у комплексно 170 Гл. б. Комнлексные чиста и многочлены сопряженное с ним число у = х — гу (овераиия комплексного совряженил). Геометрически оно сводится к отражению плоскости С относительно вещественной оси (рис. 18). Весьма примечательно, что справедлива Теорема 1. Отвображение» ~о» являетвсг автоморфизмом порядка 2 воля С, оствавяяющим на местве все вещественные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
