1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Место кольца многочленов среди коммутативных колец отчасти поясняет следующая Теорема 2. Пусть колсмутативное кольцо К содержит А в качестве подкольца. Длг каждого элемента с 6 К существует 184 7'м о. Компввксные число и много»вены единственный гомомордсизм колец Пс. А[Х] ~ К такой, что Уа б А Пс(а) = а, Пс(Х) = 1.
(7) Доказательство. Предположим сначала, что такой гомоморфнзм Пс существует. Так как Пс(Л) = Л для каждого коэффициента многочлена Л записанного в стандартном виде (3), и Пс(Х") = = (Пс(Х))" = сь (свойство гомоморфнзма и условие (7)), то Пс(У) = Пс(Уо+ ЛХ+" + У»Х») = Уо+ ЛХ+ ". + У»С", (8) т.е. Пс(У) определен однозначно и выражается формулой (8). Обратно: задав отображение Пс формулой (8), мы, очевидно, удовлетворим условию (7) и получим гомоморфвзм колец. Это ясно для отображения аддитивных групп колец, а что касается умножения, то применение Пс к произведению (6), а затем использование (общего) закона днстрибутивности дает Пс(уд) =уодо+(Уодс+усдо)Х+" +Ц д )С"+ / » 1С»с = ~Я ЛСс~ ~ дсэс =Пс(1).пс(д) С) с=о у=о Результат применения отображения Пс, определенного формулой (8), к многочлену у = У(Х) называется подстановкой с в У вместо Х или (с некоторой натяжкой) просто значением 7 при Х = с, так что Пс(7) = 7(с).
Знать Пс(7) — значит уметь вычислить значение У при Х = 1. Гомоморфизмы П„х е А, служат связующим звеном между функциональной и алгебраической точками зрения на многочлен. По определению линейный многочлен Х вЂ” с = (-с,1,0,...) никогда не равен нулю, но ассоциированная с ним функция х с-с х — с принимает нулевое значение при х = с. Другой пример: отличный от нуля многочлен Х + Х с коэффициентами из поля Ег (где 1+ 1 = О) представляет нулевую функцию у: г'г -с 1сг, поскольку Ог + 0 = 0 н 1г+1 = О. Элемент с й К называется алгебраическим над А, если Пс(у) = 0 для некоторого у 6 А[Х].
Если же Пс . .А[Х] ~ К вЂ” изоморфное вложение (мономорфизм), то с — спрансценденспный над А элемент. В случае А = Я и К = С говорят просто об алгебраических и спрансцгнденспных числах. Например, числа е и х, определяемые в анализе, являются трансцендентными, а числа ~Г2, исЗ, ~Г2+ ~ГЗ вЂ” глгебраическими. Гомоморфизм Пс, собственно говоря, служит выражением универсального свойсспва кольца многочленов А[Х]. Более полным образом универсальность кольца многочленов видна из следующего утверждения, обобщающего теорему 2.
Ь' г. Кольцо многочленов 185 Теорема 3. Пусть А и К вЂ” проиэвольныг коммутативныг кольца, 1 — элемент из К и у: А -+ К вЂ” гомоморфиэм. Тогда суиьествугт, и притом гдинспьвгнног, продолжение у до гомоморфизма |рь. А[Х] ~ К кольца многочлгнов А[Х] в К, переводящего переменную Х в 1. Доказательство является незначительным видоизменением доказательства теоремы 2 и оставляется читателю в качестве упражнения. С1 2. Многочлеиы от многих переменных. Если в ситуации А С К, рассматривавшейся в начале параграфа, взять произвольные и элементов сы..., г„й К и рассмотреть в К пересечение всех подколец, содеРжащих А,сы..., с„, то мы полУчим кольцо А[гы..., г„].
Формальная запись его элементов подсказывает, как и в случае и = = 1, необходимость введения в обиход кольца многочленов от и переменных. Делается это очень просто. Вспомнкм, что конструкция кольца В = А[Х] включала произвольное коммутативное кольцо А с единицей. Мы можем теперь заменить в кешей конструкции кольцо А на В и построить кольцо С = В[У], где У вЂ” новая независимая переменная, играющая по отношению к В ту же роль, что ы Х по отношению к А.
Элементы ыз С однозначно записываются в виде ),Ь У~, Ь Е В, причем В отождествляется с подкольцом в С, а именно с множеством элементов ЬУо = 6. 1. Так как в свою очередь 6 = 1 а; Х* — однозначная запись элементов 6 Е В, то любой элемент из С имеет вид ь ! абХьУ~, ап й А, ~=од=о причем подразумевается (по смыслу конструкции), что а;. перестановочны с Х и У, а переменная Х перестановочна с У. Кольцо С называется кольцом многочленов нод А от двух независимых переменных (от двух неизвестных) Х ы У. Повторив достаточное число раз эту конструкцию, мы получим кольцо А[Хм..., Х„] многочленов (полиномов) над А от и независимых переменных (или неизвестных) Хм..., Х„.
Набор (г1,...,1„) б 1Ч нз и целых неотрицательных чисел ьм... ..., 1„(Я = 1Ч ~1 (0)) условимся сокращенно обозначать символом (1). Тогда любой элемент У й А[Хм..., Х„] запишется в виде у = ~ аббХ01, абб е А, (9) (0 где Хбб = Х" ... Х„'" — одночлен (ыли маном), так что у — линейная комбинация одночленов с коэффыциентами из А. В соответствии с определением многочленов все коэффициенты а(0 в (9), за исключе- 186 Гл. б. Комплексные число и мнвгоилвны пнем конечного их числа, равны нулю. Единственность записи (9) непосредственно вытекает из следующего утверждения. Многочлен т' ровен нулю тпогда и тполько тпогдо, когда равны нулю все его коэдтдтициентпы оц;„. При и = 1 зто уже отмечалось в ходе построения кольца А[Х], а при и > 1 проще всего использовать индукцию по н.
Именно, мы можем записать У = ~~1 ац;„Х," ... Х„'" = ~ 61„Х„'", где и 6;„= ~~1 а<, л„„„Х1 ...Х„1 тт ...1 — многочлены от меньшего числа переменных. Утверждение для и = = 1 и предположение индукции показывают, что ~ = О ~%„Ь»„= О ~ь Ч(11,...,1'„) ац.;„„„= О. Теперь естественно считать два многочлена у,д 6 А[Х1,..., Х„] ровными, если совпадают их козффициенты прн одинаковых одно- членах (согласно вышесказанному (11,..., 1„) ~ (11,..., у'„) =ь =ь Х»ц ... Х„'" ~ х '... Хт" ). Под стпепенью многочлено у относительно Х» понимается наибольшее целое число, обозначаемое бей» У, которое встречается в качестве показателя при Х» в аООХОО с ар> т» О.
Например, многочлен 1 + Х + Хт'з + Хгт з имеет степень 2 относительно Х и степень 3 относительно 1'. Целое число 11+... +т„называется (полной) стпепенью одночлено Х*' ... Х'". 1 ''' п' Стпепенью бей у (или полной стпепенью) многочлено у будет максимальная из полных степеней его одночленов. Полагаем бей О = -оо. О старшем по степени члене многочлена У не имеет смысла говорить, поскольку таких членов (одночленов) может быть несколько. На кольцо А[Х1,..., Х„] переносятся многие результаты, полученные нами в п. 1 длл А[Х]. Например, опираясь на теорему 1 и используя индукцию по и, мы сразу же убеждаемся в том, что справедлива Теорема 1'.
Если А — целостпное кольцо, тпо и кольцо А[Х1,... ..., Х„] лвляетпсл целостпнььи. В чостпностпи, кольцо многочленов отп и переменныг над любым полем Р целостпно. Полезным уточнением теоремы 1' служит Теорема 4. Пусть у' и д — произвольные многочлены ош и переменныг нод целостпным кольцом А. Тогда оей(уд) = йей~+т1ейд. д д. Кольцо мнвгочленое 187 Доказательство. Назовем однородным многочленом или формой степени тп многочлен п(Хы..., Х„), все члены которого имеют одну и ту же полную степень т.
Формы степеней 1, 2, 3 называются соответственно линейной, квадратцчной и кубичной формами. Объединяя вместе все входящие в У (или, как еще говорят, встречающиеся, имеющие ненулевые коэффициенты) одночлены одной и той же степени, мы однозначно представим многочлен у = 2„а(ОХ 00 в виде суммы нескольких форм ~„, различных степеней 1 = ~в + Л + " + Л„й = бей ~. Если теперь д = дв + д1 + + ды 1 = бей д, то, очевидно, И = Уодо + (Увд1 + Лдо) + " + 1ьд1 (это похоже на соотношение (б), но Д, д имеют там другой смысл), откуда с(ей 1д < 1+1. По теореме 1' из Уь ф О, д~ ф 0 следует уьд~ ф О, т.е. бей(уд) = с(ей(уьд~) = у+1 = бей у + с1ейд. П 3. Алгоритм деления с остатком. В п.
3 3 9 гл. 1 для целых чисел был введен алгоритм деления с остатком. Оказывается, что совершенно аналогичный алгоритм имеет место и в кольце А[Х] над целостным кольцом А (для А = И зто известно фактически из курса элементарной алгебры: вспомните деление уголком). Теорема 5. Пусть А — целостное кольцо и д — многочлен в А[Х] со старшнм коэффициентом, обратимым в А.
Тогда каждому многочлену ~ к А[Х] сопоставляетсг одна ц только одна пара многочленов д,т к А[Х], длл которых у = од+ т, Йейт < йейд. (10) Доказательство. Пусть ~ = аоХ" + а1Х" ' +... + а„, д = ЬоХ + Ь1Х 1 +... + Ь где авЬо ф 0 и Ьв]1. Применим индукцию по п. Если и = 0 и т = с1е8 д > с1ей у = О, то положим д = О, т = 5, а если п = т = О, то г = 0 и д = авЬв '. Допустим, что теорема доказана для всех мно- гочленов степени < и (и > 0).
Без ограничения общности считаем т < и, поскольку в противном случае возьмем д = 0 и г = у. Раз это так, то У = аоЬв'Х" у+7, где ае37 < и. по индукции мы можем найти д и г, для которых 7 = дд + г, причем пей т < т. Положив +д, Гл. Б. Комплсксныг числа и многочлены мы придем к паре многочленов с нужными свойствами. Обращаясь к свойству единственности частного д и остатка т, предположим, что дд + т = у = д'д + т'. Тогда (д' — д)д = т- г'. По теореме 1 имеем с)ея(т- т) = с)ен(д'- д)+ + с)елд, что в наших условиях возможно только при т' = т и д' = д (напомним, что с)ел 0 = — оо и что — оо + тп = -оо). Наконец, приведенные рассуждения показывают, что коэффициенты частного д и остатка т принадлежат тому же целостному кольцу А, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
