1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть А, В б М»(И). Опираясь ва теорему 1, доказать, что бш(А + 1В) = = бес(А — эВ) (черта озвачаег соприжевяе). 4. Пусть А, В б М»(И), С=)! -В А ))ЕМэ (И). Применяя к вещественной матрице С элементарные преобразовавия первого и второго типа вад поэем компяексяык чисел С, показать, что бее С = ) бес(А + 1В))э. б (Г. Полив и Г. Сеге). Используя упр. 3 и 4, дать объяснение следующему "странному" факту.
Одиородиаи квадратвая яииейяаи система бпээ+, +бг»э» =О, 4 эээ+...+4»э» — — О с комплексвыми коэффициевтами яы = аы + 1бы и неизвестными ээ = ж + ер; вмеет иетрявяаэьиое решение (эы...,э») в точности тогда, когда бес(яы) = 180 Гя. 5. Компяексные »исаа и ммоеочяены ХО Х1 Хз ... Х» 1 ХО Х1 Х -2 -2 Х»-1 Хо ° Х»-3 »-1 П (хо + ь х! + ь х2 '! + ь х»-1) ь=о Х! Х2 Хз ° .. ХО где ( — примитивный корень степени и нз 1. $ 2.
Кольцо многочленов Наряду с линейными системами, рассмотренными нами в гл. 2 и гл. 3, многочлены составляют старый и хорошо изученный раздел традиционной алгебры. На языке многочленов формулируются или решаются самые различные задачи математики. Тому есть множество причин, и одна из них заключается в свойстве универсальности кольца многочленов, на чем мы коротко остановимся в п.
1. Пусть К вЂ” коммутативное (и, как обычно, ассоциативное) кольцо с единицей 1, А — некоторое его подкольцо, содержащее 1. Если 1 Е К, то наименьшее подкольцо в К, содержащее А и $, будет, очевидно, состоять из элементов вида а(1) = ао + а!Ф + а21~ + ... + а»1", (*) где а, Е А, п й Е, и Ъ О. Мы обозначим его А[1] и назовем кольцом, полученным из А присоединением элемента 1, а выражение (е)— многочленом от ? с коэффициентами в А. Что понимать под суммой и произведением многочленов, видно из простеиших примеров = а+ 1Ь м О (см. общие замечакив по этому поводу в п. б $ 3 гя.
4). Это условие приводит к двум уравнениям а = О, 6 = О, связывающим 2из вецествеввых величав аь1, Ьы. С другой стороны, систему (») можно представить в виде системы 2п яинейвых однородных уравнений с 2п вещественными неизвестными хо р?. Теперь условие ветрввиаяьвости решеши запвшется в виде равенства вуяю одного вещественного опредеяитеяя размера 2п х 2», что даст лишь одно уравнение между аы, Ьы. Как согласовать между собой этв даа рЕЗуЛЬтата? б.
Имел в виду, что автоморфизмы квадратичного полл Щч'е) должны оставяять на месте рационазьные числа, найти автоморфвзмы этого поля. Ответ. Единичное отображение и а+ Ьчв~-> а — Ьто. ?. Чему равна сумма всех корней степени и > 1 из 1? Что можно сказать о сумме примитивных корней степени 12 и степени 16 из 1? а. Показать, что Ь = (2+ 1)/(2 — 1) ве явяяется корнем вз 1, хотя !1( = 1.
Указание. 1» — 1 э (2 — 1)» — (2 1-1)» м (2 — 1+ 21)» (2 — 1)» + ... 4-(21)» Х=Э (2-1)(Е+Ь1) = (21)» =Э б(аз+Ьз) = 22» ~ б(22» — ПрОтИВОрЕЧИЕ. 9. Множество Я1 = (е!е!22 б И) (окружность единичного радкуса) образует относительно умножения в !Е подгруппу группы (С', ). Всякое Ж-пикейное отобрав!авве /! Е -» С называется ортоее»аяэ»эьв, если (/(х))2(я')) = (з!я'), т.е, если ово сохраняет данны векторов (расстояние между точками). Доказать, что отображение 1 ! С -2 С в точности тогда ортогонаяьво, когда 1(2) = сз аяи 1(2) = сз, где ос Я~.
10. Показать, что Ь в. Коввов мнвввчлвнов 181 (скажем, при и = 2): а(1) + ЬЯ = (ао + а~1+ аоС~) + (Ьо + Ьдй+ Ьо1в) = = (ао + Ьо) + (а, + Ь,)Ь + (аэ + Ьо)1~, а(1) 6(Ф) = аоЬо + (аоЬ| + адЬо)Ф + + (аоЬэ + а~Ь! + аоЬо)йо + (авЬз + аоЬ|)1з + аоЬо14.
Очевидно, что приведение подобных членов основано на попарной перестановочности всех элементов аа Ьв,$". Теперь настало время вспомнить, что 1 — наугад взятый элемент кольца К, и поэтому внешне различные выражения (*) могут на самом деле совпадать. Если, скажем, А = (3, $ = ~/2,то 1э = 2 и Р = 21 — соотношения, которые никоим образом не вытекают из формальных правил.
Чтобы прийти к привычному понятию многочлена, необходимо освободиться от всех таких побочных соотношений, для чего под 1 следует понимать произвольный символ, не обязательно содержащийся в К. Он призван играть чисто вспомогательную роль.
Гораздо большее значение имеют правила, по которым составляются коэффициенты выражений а(1) + 6($), а(в)6(в). Имея в виду эти предварительные замечания, перейдем к точному определению алгебраического объекта, называемого многочленом, и собрания таких объектов — кольца многочленов. 1. Многочлены от одной переменной. Пусть А — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Построим новое кольцо В, элементами которого являются бесконечные упорядоченные последовательности 1=(1о,1мЬ," ), 1веА, (1) такие, что все,1а кроме конечного их числа, равны нулю.
Определим на множестве В операции сложения и умножения, полагая 1+и= (1о,1ц1о, ")+(ро й рз" ) =(1о+ро,П+рмЬ+ро" ) 1 у = "= ("мйюаз, . ), где ~ь ~' 1оуу ~ «+у=о Ясно, что в результате сложения и умножения получаются снова последовательности вида (1) с конечным числом отличных от нуля членов, т.е. элементы из В. Проверка всех аксиом кольца (см. Ь 3 гл.
4), кроме, разве, аксиомы ассоциативности, очевидна. В самом деле, поскольку сложение двух элементов из В сводится к сложению конечного числа элементов из кольца А, (В,+) является коммутативной группой с нулевым элементом (0,0,0,... ) и элементом — 1 = 182 Гл. 5. Комплсксныс числа и многочлснм = (-уо, -Л, -уг,... ), обратным к произвольному у = (уо, Л, уг,... ).
Далее, коммутативность умножения следует непосредственно из симметричности выражения элементов Ь» через Л н д . Это же выражение показывает, что в В выполнен закон дистрибутивности (1+ У)Ь = ГЬ+ дЬ. Что касается ассоциативности операции умножения, то пусть У=Ус Л Ь. ) У=(Уо Уыдг ) Ь=(Ьо,ЬыЬг, .) — три произвольных элемента множества В.
Тогда уд = Ы = (до, 4, Нг,...), где 4 = ~,+ ~ЛУ1, 1 = 0,1,2,..., а Цд)Ь = АЬ = е = = (ео,еыег, ), где е, = ~,+»,4Ь» = 2,+», (~,.+.,Лд ) Ь» = = Я,.„+»»на Лд, Ь». Вычисление Г(УЬ) дает тот же результат. Итак,  — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей (1, О, О,... ). Последовательности (а, О, О,... ) складываются и умножаются так же, как элементы кольца А.
Это позволяет отождествить такие последовательности с соответствующими элементами из А, т.е. положить а = (а, 0,0,... ) для всех а е А. Тем самым А становится подкольцом кольца В. Обозначим, далее, (0,1,0,0,...) через Х и назовем Х переменное (или нгизвгсп»код) над А. Используя введенную на В операцию умножения, находим, что Х = (0,1,0,0,...), х = (о,о,1,о,...), (2) Х" = (0,0,...,0,1,0,...) Кроме того, ввиду (2) и ввиду включения А С В имеем (О,о,...,о,а,о,...) = аХ" = Х"а.
Итак, если ӄ— последний отличный от нуля член последовательности У = (Ге, Л,..., Ло О, О,... ), то в новых обозначениях У = Уо,".,У.,о,о,...)+У„Х" = У01 ' ' 1 Уо-2~ Оф О,... ) + Го — »Х" ' + уох = Уо + Л Х + ЬХ' +... + ~„х". Такое представление элемента у однозначно, поскольку Ь,..., у„в правой части (3) — это члены последовательности (уе,..., Г„, О,... ), которая равна нулю тогда и только тогда, когда Ь =... = Ь = О. Определение. Введенное выше кольцо В обозначается через А[Х] и называется кольцом многочленов кад А от одной переменной Х, а его элементы — мкогочленами (или полиномами).
д д. Кольцо многочленов 183 Конечно, присвоение фиксированной букве Х названия переменной или неизвестной не очень удачное терминологическое изобретение, но оно привилось, поскольку не приводкт к недоразумениям. Мы намеренно ввели заглавную букву Х, чтобы отличить наш специально выделенный многочлен у = Х от теоретико-функциональной переменной х, пробегающей какое-то множество значений (чисто временное соглашение, придерживаться которого в будущем не обязательно). Более привычной является запись многочлена у в виде ДХ) = аоХ" +асХ" '+... +а„, т.е. по убывающим степеням Х. В дальнейшем мы будем писать так, как это представится удобным.
Элементы Д (и ас) называются коэ~~ициентаии многочлена у. Многочлен у нулевой, когда все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент уо при Х в нулевой степени называется еще постоянным членом. Если ~„ф О, то ~„называют сспаршим коэффициентом, а п — сспепенью многочлена и пишут п = с(ея У. Нулевому многочлену приписывается степень -оо (-ос + (-оо) = -оо, -со + и = — оо, -со < и для каждого и 6 1ч). Многочлены степени 1, 2, 3,... называются соответственно линейными, квадраспичными (или квадратньсми), кубичными и т.д.
Роль единицы кольца А[Х] играет единичный элемент 1 колыьэ А, рассматриваемый как многочлен нулевой степени. Непосредственно вз определения операций сложения и умножения в А(Х] следует, что для любых двух многочленов У =Уо+ЛХ+...+У„Х", д=до+дсХ+...+д Х (4) степеней и и т соответственно имеют место неравенства с(е8(у+д) <шах(де8У,с(ебд), с(е8(уд) < с(еббр+с(ебд. (5) Второе из неравенств (5) на самом деле заменяется равенством Йе8Цд) = с(еб~+ йебд всякий раз, когда произведение у„д старших коэффициентов многочленов (4) отлично от нуля, поскольку Уд = ~оде+ (Уодс + Лдо)Х+ " + (~од~)Х"+~ (6) Но это значит, что верна Теорема 1. Если А — целостное кольцо, пю и кольцо А(Х] лвллетсг целостным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
