1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Тогда р(Х) будетп (й — 1)-кратпным множителем производной ~'(Х). В частности, при й = 1 у' не делится на р(Х). Доказательство. По условию имеем У(Х) = р(Х) д(Х), где НОД(р(Х),д(Х)) = 1, т.е. д(Х) не делится на р(Х). Применяя правила (8) и (9), находим у'(Х) = р(Х)" т[йр'(Х)д(Х) + р(Х)д'(Х)]. Достаточно показать, что многочлен, стоящий в квадратных скобках, не делится на р(Х). Если бы это было не так, то на р(Х) делился бы многочлен йр'(Х)д(Х), что, однако, невозможно (см. следствия теорем 3 и 4 3 3 гл.
5), поскольку д(Х) не делится на р(Х), а бей йр'(Х) < дейр(Х). П Понятно, что в ходе доказательства существенно использованы и неприводимость р(Х), и условие сазе Р = О. Следствие 1. Дяя многочяена у(Х) с коэутутиииентами в «ояе Р зарактперистики нуль следующие два условия эквивалентны: 1) у имеетп в некотором расширении Г:т Р поля Р корень с кратностпи й; И) ~(т3 (с) = О, 0 (» р < й — 1, но 1(ь> (с);Е О.
Для доказательства нужно й рзз применить теорему 5, имея в виду линейный множитель р(Х) = Х вЂ” с и с самого начала заменяя, в случае необходимости, Р на его расширение Г, содержащее корень с. П Следствие 2. Если многочяен у' й Р(Х] степени > 1 имеетп разложение (10), то разложением дяя наибольшего общего делителя ,т и его производной У' будетп ПОДУ,У') = р,(Х)" -'р,(Х)" -'...р,(Х)'-' (И) (НОД всегда можно счюпать нормализованным многоч.венам). Действительно, по теореме 5 каждый из простых делителей р;(Х ) многочлена у(Х) с каноническим разложением (10) входит в разложение у'(Х) с показателем й; — 1, т.е.
у'(Х) = рт(Х)ь' 'рг(Х)ьт '...р,(Х)"" т и(Х), где НОД(и,р;) = 1, 1 ( т ( т (предполагается, что р;(Х)е = 1). Поэтому по известному нам признаку делимости (см. п. 2 3 3 гл. 5) мы заключаем, что НОД(у, у') вычисляется по формуле (11). П 216 Гл. б. Корни мноеоч ьеное Используя выражение (11) для НОД(у, Г'), мы получаем средство освободиться от кратных множителей, входящих в разложение у (Х). Именно, многочлен д(х) =, = р,(х)р,(х)...р„(х) у(Х) содержит те же простые делители, что и у(Х), но с единичной кратностью. Важно отметить, что многочлен д(Х) можно найти, не зная фактически разложений для У и у', а лишь используя алгоритм Евклида.
Н р и мер 2. Миогочлеи /(Х) = Хз -ЗХ4+2Хз+2Хз-ЗХ+1 и его производизл Г(Х) = ЗХ» -12Хз+ 6Хз+4Х -3 имекзт в качестве ПОД вормзлизоваивый мкогочлеи ХЗ вЂ” ЗХз + ЗХ вЂ” 1 = (Х вЂ” 1)З. "Свободный от квадратов" миогочлеи о(Х) = 1(Х)/(Х вЂ” 1)з = Хз — 1 = (Х вЂ” 1)(Х + 1) имеет два корил: и1. Таким обрезом, 1(Х) = (Х вЂ” 1)4(Х + 1) обладает корнем +1 кратности 4 и простым корнем -1. 5. Формулы Виета. В связи с теорией систем линейных уравнений мы уже имели случай упомянуть о благотворном влиянии на ее развитие хорошей системы обозначений, приведшей, в частности, к определителям.
Это заслуга математиков ХЧП1 в. и начала Х1Х в. Но гораздо раньше, когда алгебра еще отождествлялась с "анализом уравнений", решающее усовершенствование алгебраических обозначений у Ф. Виета н у Р. Декарта коснулось теории многочленов н алгебраических уравнений. От частных типов уравнений с числовыми коэффициентами, скрывавшими общие закономерности, был совершен смелый переход к уравнениям с буквенными коэффициентами. Новый способ записи нередко порождает новые результаты.
У Декарта это завершилось революционным применением алгебры к геометрии. )ч(ы остановимся на более скромном достижении его предшественника Виета. Предположим, что нормализованный многочлен у б Р(Х~) степени и имеет в поле Р нли в некотором его расширении и корней емсз,...,с„, среди которых, возможно, есть и одинаковые. Тогда в соответствии с теоремой 2 справедливо разложение ~(Х) = (Х вЂ” с1)(Х вЂ” сз)...
(Х вЂ” с„). Запишем 1(Х) в обычном виде по степеням Х: У(Х) = Х" + а1Х" 1 +... + ааХ" а +... + а„, для чего перемножим все двучлены Х вЂ” с; и приведем подобные члены. Тогда для коэффициентов а1,..., ан получатся выражения через у' 1. Общие своастпвв корнея 217 КОРНИ С1,..., С„: аг = -(сг + сз + .. + с„), аа = (-1)а '~ с;,с;,...с1„, (12) Ц < гз «.,, гь а„= (-1)"стсз...
с„. Формулы (12) называются формулами Виеогга Если бы многочлен у не был нормализованным, т.е. имел старший коэффициент ао ф 1, то формулы, аналогичные (12), давали бы выражения для отношений аг/ао. Формулы Виета, устанавливающие явную связь между корнями и коэффициентами произвольного многочлена, замечательны тем, что их правые части не меняются при любых перестановках корней сг,..., с„. Это дает нам повод ввести понятие симметприческоб фрнкиии подобно тому, как в связи с определителями оказалось удобным рассматривать общие кососимметрические функции.
Согласно оцределенню, приведенному в п. 4 З 8 гл. 1, элемент тг симметрической группы Я„действует на функцню т" (хт,..., Х„) от н аргументов по правилу (тт О ~)(Х1,...,Хв) = 7(Х.(«,",Х.(.)) Функция у называется силтмеогрическо4(, если к о у = у для всех тг ч Я„. Примером симметрических функции служат так называемые элементларные симмешрические функции яа: ва(хг~ 1 хо) ~ хг хгв хгь (13) 1<ни<та«,..гь<в Они позволяют переписать формулы (12) в виде аа = ( — 1)ава(сг,...,с„), й = 1,2,...,п, (12') так что с точностью до знака коэффициент ав многочлена у есть значение функции ва на множестве корней многочлена у.
Обратим внимание на тот факт, что по определению аа б Р, хотя корни ст,...,с„, вообще говоря, лежат в некотором расширении Р Э Р. Вопрос о существовании Г мы сейчас не затрагиваем. Но иногда разложение многочлена на линейные множители является прямым следствием свойств поля Р. Прнмвр 3. Рассмотрнм многочлвн Хв т — 1 над конечным нолем Рр (см. и. 6 1 4 гл. 4). Мы знаем, что вв т = 1 дла всех н Е Ур, т.е. все ненулевые элементы — коран многочлена Хв г — 1. Стало Сыть, вмеет место раэлоненне Х" г — 1= (Х вЂ” «(Х вЂ” З)... (Х вЂ” (р — «).
(14) 218 Гя. б. Корни миогочленое Пуедполагаетсл, что мы Уже настолько освоались с полем Ур, что без тРУда Различаем двойственную природу чисел 1,2,...,р — 1 как обычных элементов из Е и как элементов пвш ур ш е/ре (представителей классов вычетов (ь)р), из (12') и (14) при р > 2 получаем еь(1,2,...,р — 1) Ш 0(тобр), й = 1,2,...,р — 2, яр э(1,2,..., р — 1) ш -1(пкк1 р), Последнее соотношение, переписаыное в виде (р — 1)«+1ш 0(пюбр) (13) и как таковое известное по названием теораиы Вильсона, вырюкает фактически необходимый и достаточный пряэыак простоты цеэого числа р. Действительно, выполнение (13) для простых р мы только что доказали. С другой стороны, р ы р«рэ =о (р — 1)! = р«1 =ьо (р — 1)!+1 И 0(тод рь) =«о (р — 1)!+1 И 0(тобр).
УПРАЖНЕНИЯ 1. Будет ля кольцо полиномкзльных функций над полем яз р элементов целостным? 2. Пусть Р— бесконечное поле и 1 — ненулевой многочлен из Р[ХО..., Х»]. Опираясь ыа теорему 3 я используя индукцию по и, доказать существование аы..., а» б Р, для которых у(аы..., а„) ?4 О.
Это дает изоморфиэм Р[хы...,х») с кольцом полиномиальных функций от и переменных над Р. 3. Ненулевой многочлен 1 б Ер[Хы...,Х»] степени < р по каждой переменной обладает сформуанрованным в упр. 2 свойством: у(аы .,а») Р 0 для некоторых аы...,а» б Ер. Показать, что любой многочлен у б Ер[Хм,Х»] можно записать в виде У(Х„...,Х„) = ~ д;(Х„...,Х„)(ХР. — Х;)+У"(Х„...,Х.), ° 1 где 7' — рсдуиироеанныб многочлен (бебх.
у' < р — 1, ь = 1,2,...,п) степени баб У' < бей у. Сделать обоснованное заключение, что отображение У «ч 7 = у'. является зпиморфязмом ковьца Ер[ХО..., Х»] ыа кольцо полиномиальных функцик от и переменных над Ер с ядром Ь = ~," ь(ХР— Х,)Ер[Хы...,Х»]. 4. Теорема (Шевалле). Пусть 1(Хь,...,Х„) — одиородиыб мноеочлеи (дарма) кад Ер степени г < и.
Тоада урал»ение 1(яы...,к») ж 0 имеет яотл бы одно нетриеиальное решение. Указание. Так как / — форма, то, очевидно, у(0,...,0) = О. Рассуждая от противного, предположить, что (аы...,а») Р (О,...,0) и«э 1(аю...,а») 14 О. При помощя упр. 3 и матй теоремы Ферма вывести отсюда, что редуцированным многочленом для д(Хы...,Х») = 1 — /(ХО...,Х„)Р ' будет д'(Хы...
..., Х») = (1 — ХР 1)... (1 — ХР ~). Но беб д ш (р — 1) бей У = (р — 1)г < (р — 1)п = беб д'. Полученное противоречие доказывает теорему. Несколько изменив рассужденяе (вычксляв сумму 2 'ь, ея д(яы. ", я») двумя способами), доказать, что общее число решений всегда делятся на р. 3. Пусть 1(яы..., я») — целочисленная квадратячная форма. Теорема Шевалле (см.
упр. 4), сформуларованная на языке теории сравнений, утверждает, что при и ) 3 сравыение У(яы ...,* ) ш О( бр) у 1. Общпе сеобстлеа корней 219 имеет ненулевое решение. Проверить, что все решения сравнения хз — 2дз = ы 0(шод 3) тривиальны н, следовательно, условяе г ( и существенно. 6. Показать, что ПОД(У',7) = 1, есик сйаг Р = О, / — неприводнмый над полем Р многочлен и Г' — его производная. у. Доказать, что у' = 0 =:ь у = сопзс дяя многочяена у(Х) над подем нулевой характерястякя я у' = 0 ==о у(Х) = д(Хз) для многочлена у(Х) над ваяем характерястякя р > 0 (д — некоторый другой многочяен). 8.
Из п. 3 мы знаем, что каждое дифференцирование кольца многочленов Р[Х] имеет вид Т».' у»ь н/~, и Е Р[Х]. Установить справедзявость утверждений: 1) множество констант (то, что переходит пря дяфференцкрованнях в нуль) — подкояьцо в Р[Х]; й)произведение Т»Т, вообще говоря,не являетсн дяфференцярованяем, но если сйаг Р = р > О, то степень (Т»)» — дифференцирование; ш) коммутатор [Т»,Т»] = Т»Т» -Т»Т» всегда является дяфференцированнем вида Тм, где м = и»' — и'е. 9. В случае кольца многочленов Р[ХВ..., Х„] от п переменных естественно ввести оператор чесшного дкрреренпнроеаяка по й-й переменной —: Х"...Х'"...Хь»»ь 1ьХм...Х'» ...Х'". ОХ ь 1) Показать, что множеством констант для ВХ- служит кольцо многочленов д Р[Хз,...,Хь,...,Х ] от п-1 переменной (спшР = 0).
й) Пусть 1[Хм..., Х„) — форма (однородный многочлен) степени пь Убедиться в справедливости тождесщеа Эйлере Хь — м пз ДХВ...,Х„). д/ ОХь Обратно: если гйаг Р = О, то тождеству Эйлера удовлетворяют только формы степеня и» = 1, 2, 3,... 10. Показать, что отсутствие яянейных множятезей у многочлена Х" +сзХ" з+ .+а» ЕЕз[Х] равносильно выполнению условна о„(1+ ~',) ьс О. Пря п ( 3 непрнводимые многочлены над Хз исчерпываются сиедующямн: Х, Х+1, Х'+Х+1, Хз+Х+1 Хз+ Хе+1. Выписать все непряводямые многочлены над Ез пря и = 4 я п = б (ях будет соответственно 3 я 6).
11. Исходя вз сравневня Х вЂ” Х вЂ” 1 ьв (Х + Х + 1)(Х + Х + 1)(шоб 2), установить непряводнмость многочяена Хз — Х вЂ” 1 над 4з Указание. Применить следствяе леммы Гаусса (3 3 гл. 5) я предыдущее упражнение, а также сослатьсз на факториальность кольца 2з[Х]. Аналогично, доказать непряводямость многочлена Хз — Х-1 над 4а перейдя к сравнению по модулю 3 (зто гораздо проще). 220 Гл. б. Корин много менов 3 2. Симметрические миогочлеиы 1. Кольцо симметрических многочлеиов. Следуя определению симметрических функций»>, которое было дано в конце предыдущего параграфа, мы введем аналогичное понятие в кольце А[Х„...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
