1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Из ыепрерывиости д в точке О следует существоваиие такого вещественного б > О, что ]д(и)] < < [ао]/2 при [и[ < 6. Таким образом, ]у(х)[ > [х["([ао[ — [д(х )[) > -[ав]]х[" пры [х] > б '. Следовательно, осталось выбрать любое вещественное число г > б 1, для которого было бы вьшолиево неравенство [ао[г" > > 2[ав[ П Следствие (лемма Коши омииимуме). Длл каждого многочлена у й С[х] сдществдет хо б С такое, апо ]у(хо)] = ш»лес ]у(х)]. В самом деле, ввиду утверждения 2) ыепрерывиая функция ]у(х) [ принимает в круге Р, = (х б С[ [х] < г) мыиимальиое значение, т.е. существует хо б Р„такое, что ]У(хо)] = шГ,еп. [У(х)[. Но так у Я. Алгебраическая гамннутпосоть полл С 235 как !/(хо)! < !/(0)!, а по лемме 1 имеет место неравенство !/(0)! < ~ ~птттес~тт.
!У(х)!з то !/(хо)! = птттес !У(х)! Л е м м а 2. Пустпь Ь вЂ” любое целое число > 1, и иустпь Ь Е С[х!— миогочлен с Л(0) г» О. Тогда длг каждого а Е С' найдещсг такое Ь Е С, чтпо !а+ Ь»Ь(Ь)! < !а!. Доказательство леммы исходит из факта непрерывности многочлена Ь: существует 6 > 0 такое, что при !х! < д имеет место неравенство !Ь(х) — Ь(0) ! < !Ь(0) !/2. Это позволяет нам получить оценку для а+ х" Ь(х) = а+ Ь(0)х" + х»(Ь(х) — Ь(0)): !а+ х»Ь(х)! < !а+ Ь(0)х»! + -!Ь(0)! ° !х!» 1 (*) из круга !х! < 6. Выберем теперь комплексное число Ь Е С, для которого Ь(0)Ь» = -Фа, 0 < 1 < 1 (ниже на вещественное число $ будут наложен дополнительные ограничения).
В качестве Ь достаточно взять, следуя теореме 3 из 3 1 гл. 5, любой корень степени Ь из -1аЬ(0) ~ ~ О. Получаем !а+Ь(0) Ь» ! = (1- — Ф) !а! и !Ь(0) ! !Ь!" /2 = Ф!а!/2, что в соединении с (ь) приведет к нужному неравенству, коль скоро !Ь! < 6. Мы обеспечим выполнение этого условия, наложен на 1 = — Ь(0)а 'Ь" ограничение 8 < !Ь(0)а т!б». Итак, подставив в (ь) значение х = Ь, !Ь! < б, получаем окончательно !а+ Ь Ь(Ь)! < (1 — Ф)!а!+ — 1!а! = ~1 — — 1~ !а! < !а!.
0 1 / 1 ~ 2 (, 2 ) Следствие (лемма Даламбера — Аргана). Пустпь /(х) — миогочлеи положвтпельиой стпеиеин иад С. Тогда каждой точке с Е С тпакой, чтпо /(с) ф О, отпеечаетп тпочка с' й С, длл котпорой !/(с')! < !/(с)!. /(х + с) = /(с) + х»Ь(х), Ь(х) = Ь» + Ь»+тх+... + Ь„х" », Ь(0) ф О. где Для доказательства многочлен /(х + с), подобно /(х) не являющийся константой, разложим по степеням хч /(х + с) = У(с) + Ь»х» + Ь»+т х»+' +... + Ь„х", Ь» г» О.
Другими словами, 236 Гл. б. Корни многочлвнов Подставив в формулировку леммы 2 значение а = у(с) ф О, мы можем утверждать существование такого Ь 6 С, что при ст = Ь+с будет выполнено требуемое неравенство ),1(с')! = )У(Ь+ с)! = !т'(с) + ЬьЛ(Ь)! < т'(с), П Геометрический смысл: если на поверхности ш = у(х) взята точка, расположенная строго выше плоскости ю = О, то обязательно найдется другая точка на поверхности с более низким расположением. Окончание доказательства основной теоремы (теоремы 1). Согласно следствито леммы 1 существует такая точка хо 6 6 С, что !у(хо)! < )У(х)! для всех х 6 С.
Если У(хо) ф О, то, как утверждает следствие леммы 2, найдется такая точка хо 6 С, что )У(хо)! < )У(хв)! — противоречие. П Воздерживаясь пока от каких-либо комментариев по поводу проведенного доказательства, заметим, что явным аналогом леммы 1 служит, очевидно, Лемма 3 (лемма о модуле старшего члена). Пустпь у(х) — мкогочлен вида (1) с произвольными комплексными нозффтщиентаами ао, ат,..., а„, н > 1. Полозсим А = шах (!ат ),..., !а„!), г = ~ + 1.
А Тогда кри !х! > г будета выполнеко керавенставо !аох"! > )атх" '+... +а„тх+а„!. Доказательство. Есливзять|г! > г,тополучим!ао! > А откуда согласно правилам действий с модулями комплексных чисел (см. З 1 гл. 5) будем иметь !оо"!=! !! !" >- ! ! > А)х!" А()х!" — 1) !х! — 1 )х! — 1 = А(!х!" ' + ... + !х! + 1) > !ат))х!" ~ + ... + !а„ т)!х! + !а„! = = !атг" ~! + ... + !а„ дх! + )а„! > !атх" ~ + ...
+ а„ дх + а„!. П Следствие 1. Пусть многочлек (1) снтенени к > 1 имеета вещесптв енные коэффициенты. Тогда длл всех х 6 К, достааточно больших ко абсолютной величине, знак (вещественного числа) у(х) совпадаетп со знаком стпаршего члена авх". Следствие 2. Многочлек нечетпноб сптенени с веществвенными козффиииенптами имеет хопья бы один веществвенныб корень. Д о к аз а т ел ь с т во. Ввиду нечетности п старший член аох" полиномигльного отображения,т': К -+ К будет принимать при положительных и отрицательных х 6 К разные знаки.
Взяв зти у 8. Алееброичеокал эомкнутостпь воля С 237 значения х достаточно большими по абсолютной величине, мы согласно следствию 1 можем утверждать, что и 7'(х) будет иметь разные знаки. Если, например, ао > О, то 7( — г) < О, а У(г) > О, где г — вещественное число, взятое нз леммы 3. По теореме БольцаноКоши о промежуточном значении функция у, непрерывная на отрезке (-г, г) и принимающая на его концах значения разных знаков, должна обращаться в нуль в некоторой точке рассматриваемого отрезка: Зс Е (-г,г], у(с) = О (на самом деле у(х) принкмает любое промежуточное значение между у( — т) и у(г)). То же рассуждение годится и для оо < О.
С) 3. Еще одно доказательство основной теоремы. От геометрически наглядного доказательства теоремы 1, приведенного в п. 2, остается чувство неудовлетворенности не только у читателя — поклонника алгебры; зто чувство было присуще и математикам прошлого века. Недаром Гаусс неоднократно возвращался к основной теореме и дал для нее целых четыре доказательства. Естественно попытаться свести к минимуму атрибутику математического анализа и максимально злгебраызыровать все рассуждения. Такое "алгебраическое" доказательство, восходящее к Эйлеру, Лагранжу, Гауссу ы Лапласу, приобрело со временем каноническую форму, согласующуюся с общей теорией Галуа.
Ни в коей мере не касаясь последней, мы хотели бы только дать почувствовать аромат известной нам техники. Все доказательство распадается на две части. 1) Для всякого многочлеиа / Е Р(х) степени в > 1 существует хотя бы одно поле разложения — такое минимальное расширение Р поля Р, в котором содержатся все корни многочлена у. Можно записать Р = Р(иы..., и„) и У(х) = ао(х — и1)(х — пз)... (х — и„). Для удобства считаем далее у нормализованным (ао — — 1). Существование и единственность, с точностью до изоморфизма, поля разложения Р Э Р для каждого многочлена У е Р(х) — зто следствие общеалгебраической конструкции, на которой мы остановимся в [ВА 1И].
Эта конструкция, напоминающая построение кольца классов вычетов Е в п. 2 3 3 гл.4, никак не связана со спецификой основного поля Р. Утверждение о единственности нам вообще не понадобится. В качестве примера отметим, что полем разложения многочлена хз + 1 над Е является поле С. 2) Если часть 1) мы фактически приняли на веру, чтобы не отягощать изложение, то часть 2), являющуюся замечательной иллюстрацией уже усвоенных нами общих принципов (принципа математической нндукцик н принцыпа перехода к симметрическим функциям), мы приведем со всеми деталями. В соответствии с замечанием, сделанным непосредственно после определенияалгебраически замкнутогополя,необходимоустановить существование хотя бы одного комплексного корня у многочлена 238 Гл.
б. Корни много»ленах (1). Предположим сначала, что все его коэффициенты вещественные, причем без ограничения общности будем счытать ао = 1, а„~ О. Пусть де8У=2 по, где по — нечетное целое число. Если гп = О, то по лемме 2 много- член у имеет корень, даже вещественный. Применяя индукцию по гп, будем считать теорему доказанной для всех многочленов с вещественными коэффициентами, степень которых имеет выд 2 по с гп' < гп — 1 (на нечетный множитель п~ никаких ограничений не накладывается). Заметим, что по следствию 2 леммы 3 основание индукции, отвечающее значению га = О, у нас имеется (единственный фрагмент неолгебраической природы).
Рассмотрим поле разложения г многочлена (хз + 1Щ»), существующее в силу 1) и содержащее С в качестве подпола. Пусть иг, и»,..., и„— корни многочлена у в г". Рассмотрим в Р элементы ее = и;иб + а(и; + иу), 1 < 1 < у < п, (2) где а — какое-то фиксированное вещественное число. Следовало бы писать е; (а), но мы этого делать не будем, чтобы не усложнять обозначения.
Число п' элементов вида (2) равно Гп1 п(п — 1) 2 но(2 по — 1) ~2~ 2 2 ио где ао — нечетное целое число. Многочлен Уа(») Ц (» еи) — х + Ьг» + ° ° ° + Ь»' 1(1(1(» из кольца г'[х] имеет степень и', а его корнями по определению являются все элементы (2). В соответствии с формулами Виста (12) из 3 1 коэффициентами Ьг,..., Ь„многочлена у,(х) будут с точностью до знака элементарные симметрические функции вь от е; . Подставив в Вь(ежи е13,...,е»-1,») выражения элементов еб через им...,и», мы получим функцию ьь(и,,...,и„) = вь(...,и<иб + а(ел + иб) ) й =1,,п', которая тоже является симметрической. В самом деле, для любой перестановки я Е Я„(߄— симметрическая группа степени и) имеем йо ег = и гби г 1+ а(и„го+ и„В1) = е,гб ОО (или е„г 1 Ор если я(г) > я(у)), так что я индуцирует перестановку й на множестве элементов вида (2).
В силу сымметричности д' 8. Алэсороикескоо эакккедоосодь оооо С 239 в»(епиеы,...,е„д,„) не меняется при перестановке аргументов, поэтому (к о Ь»)(ид > ° ° ° ио) = 8» (й о едз > й о едз, ° ° °,7Г о ео-до) = = в»(ею,едз,...,е„д о) = Ь»(им...,и„). Заметим, что Ь»(ид,..., и„) есть значение при Х; = ии д = 1,..., и, симметрического многочлена Ь»(Хд,..., Х„) с вещественнымн коэффициентами, зависящими только от а Е й. По основной теореме о симметрических многочленах (теорема 1 из 3 2) найдется многочлен д»(1'д,...,У„) с ведцественными коэффициентами такой, что Ь»(Хд,..., Х„) = д»(вд(Хд,..., Х„), ...
...,в„(Хд,...,Х„)). Стало быть, (-1)»Ь» = Ь»(ид,...,и„) = д»(вд(ид,...,и„),...,в„(ид,...,и„)) = = д»(-ад,..., (-1)"а„) Е Й (напомним, что а, — коэффициенты рассматриваемого унитарного многочлена ~ Е Й[х)). И, ффициенты Ь» многочлена д,>(х) оказались вепдественными пРи любом а Е И Так как бебД = и' = 2 ~по (см (3)) то по предположению вндукции 7, имеет хотя бы один комплексный корень, который, конечно, должен совпадать с одним из едэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
