1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Другимы словами, существует такое Б > О, что уо(х)у»(х) < 0 для х е]с — 6, с[ н Уо(х)1»(х) > 0 длл х е]с, с + 3[. Заметим, что соседние многочлены сыстемы (3) не имеют на [а, Ь] общих корней: если У» 1(с) = у»(с) = О, Ь > 1, то у»»(с)У»+1(с) = О, что противоречит условию Ш). Положим для краткости с ~с~(У) Ь ((Уо(с) Л(с) ' ' Уа(с))) с Е [а Ь) ° Теорема 2 (Штурм). число корней вещественного многочлена у(х) степени п > 1 на иншервале )а, Ь[ равно разносе»и У, — ум где величины Ъ;, Уь отвечаюгп какой-то фиксированной систлеме Ш|пурма (3). Доказательство.
Совокупность всех рззлычных вещественных корней на [а, Ь] многочленов системы Штурма (3) разбивает отрезок [а, Ь] на подынтервалы )а., а +» [ с а = ао < а» « ... а„, = Ь, в которых ни одиы из многочленов /оО < 1 < в, не имеет корней. Мы собираемся сравнить значения У, для различных точек с Е ]а, а +1[. 246 Го.
6. Корни многочсеноо Для начала пусть с Е]ао, а1 [, так что уо,..., у, не имеют корней в ]ао,с[. По теореме Больцано — Коши о промежуточном значении должно выполняться условие уг(ао)у»(с) > 0 для 0 < ( < ю В случае Л(с) ~ 0 для всех г имеем Яао)1;(с) > О, откуда Ъ;с = 'с',. В случае же у»(ао) = 0 для некоторого й обязательно й у» О, о из-за свойств 1), й) системы Штурма. По свойству ш) ымеем ~»»(ао)у»+»(ао) < 0 В то же время у»»(э) ы ~»+»(э) не имеют корней в ]ао,с[, так что по теореме Больцано — Коши Л, »(ао)Ь-»(с) > 0 и ~»+»(ао)У»+»(с) > О. Значит, что У»»(с)у»<.»(с) < О. Мы приходим к выводу, что пры вычислении Ъ~, и Ъ; подпоследовательности у»»(ао),О,у»ч.»(ао) и у»»(с), Яс), ~»+»(с), независимо от значения 7»(с), вносят одинаковый вклад (по одной перемене знака).
Это верно для вснх й с у(ао) = О, поэтому У„= У,. Аналогичное рассуждение годится для точки из другого крайнего интервала: с Е]а м а [=Э у, = сс Пусть теперь с Е]ау»,ау[, с' Е]ау,а~+~[ — точки из двух соседних интервалов, 1 < у < ш — 1 (рыс. 26). Действуют те же соображения. Именно, соедынение уже проведенных рассуждений показывает, что У, = У,, если только У(а ) ~ 0: Р = Кс, = Кс' о е оч с' о»+с Рис, 26 В случае уо(ау) = ~(а~) = 0 впервые появляется различие. По условию 1о) имеем уо(с)Л(с) < 0 и Яс')Яс') > О, т.е. у подпоследовательности уо(с),Яс) будет одно изменение знака, а у уо(с'), у»(с') — ни одного.
В то же время наши предыдущие рассуждения показывают, что при й > 1 у подпоследовательностей 5» (с), 5(с), у»+»(с) и у»-»(с'), у»(с'), ~»+»(с') число перемен знаков одинаково. Все это означает, что если у(а ) = О, то У, — У, = 1. Фиксируем точки с» Е ]а»», а»[, 1 < Й < пг, и записываем тождество ос-1 1а 1» = ()со асс) + ~()сс 1"сссс) + (ьс )с»). »ха Мы знаем, что выражения в крайних скобках равны нулю, в то время ] О, если у(а») ~ О, "+' ( 1, если у(а») = О. Других корней на отрезке [а, б] у многочлена у (х) нет (по построению все корни многочленов системы Штурма сосредоточены в точках ао,ам а»,...,а ). Суммируя, получаем окончательно, что разность Ъ; — У» равна числу корней многочлена у(х) на интервале ]а, б[.
П у 4. Многоногим о ввтлвстнвгнныгти коэететииивнтани 247 Чтобы применять доказанную теорему, надо научиться строить системы Штурма для каждого конкретного вещественного много- члена 1(х). Чаще всего используется стпандартинаг системе Штурма, получающаяся небольшим видоизменением известного нам из гл. 5 алгоритма Евклида. Именно, в последовательности (5) из ~ 3 гл. 5, начинающейся с Уе(х) = 1(х), Ут (х) = У'(х) (производная многочлена), остаток, взятый с обратным знаком, принимаем за очередной многочлен строящейся системы. Более точно, полагаем 10(х) = 1(х), 11(х) = 1'(х); 1о(х) = дт(х)Ут(х) — Уг(х), Йе51» < Йе51»' (4) 1»-т(х) = д»(х)1»(х) — 1»»,(х), Йе51»ьт < Йе51», 1, т(х) = д,(х)1,(х). По определению 1,(х) = НОД(1, 1') — отличная от нуля константа, поскольку мы предполагаем, что 1(х) не имеет кратных корней (если мы этого заранее не знали, то, получив систему (4), перешли бы к системе д»(х) = 1»(х)/1,(х), О < й < в).
Теорема 2. Только чтпо построенная гасите»то 1о(х) = У(х) Ут(х) = У'(х) Уэ(х) " 1*(х) (5) лвллепьс» сисптеноб Штпурми. Действительно, свойство Н) выполнено по предположению, а свойство т) входит в определение 1,(х) = сове» -„» О. Если 1»(с) = О, то из (4) видно, что 1» т(с)1».ьт(с) < О, причем 1» т(с) = О в точности тогда, когда 1»+»(с) = О.
Но если это так, то О = 1» т(с) = У»(с) = = 1»+т(с) = 1»+г(с) = ... вопреки тому, что 1,(с) ~ О. Стало быть, У» т(с)У»от(с) < О, а это есть свойство ш). Наконец, предположим, что Уо(с) = О для некоторой точки с й (а, Ь!. Тогда Уо(х) = (х-с)д(х), д(с) ~ О и Уо(х)Ут(х) = (х-с)(дг(х)+(х-с)д(х~д'(х)1 = (х-с)д(х), где д(х) = дг(х) + (х — с)д(х)д'(х).
Имеем д(с) = д (с) ) О, и, следовательно, д(х) принимает положительные значения в малой окрестности )с — д, с+ б( точки с. Множитель х — с, однако, способствует тому, что произведение Уо(х)1»(х) меняет знак с минуса на плюс при ва»- растании х и прохождении его через с. Таким образом, система (5) обладает свойством»и). П Замечание 1. Система ЛОУО(х), Л111(х)э т ЛтУт(х)т (5') получающаяся из (5) умножением ее членов на положительные константы Ло, Лм..., Л„также будет системой Штурма. Будем на- 1'л. б. Корно многочленое зывать ее но пзн снзондарпзной снснземоб Шзпурма Это полезно иметь в виду при вычислениях.
Замечание 2. Условие отсутствия кратных корней у у(х) не является существенным при подсчете числа различных вещественнык корней, как показывает конструкцив стандартной системы Штурма: следует перейти от у»(х) к д»(х) = У»(х)/у,(х) и заметить, что Ъ",(д) = У,()'). Замечание 3. Согласно лемме 3 нз 3 3 для каждого многочлена Д(х) системы Штурма существует такое число г;, что вещественные корни этого многочлена лежат между -г; н гь Пусть М вЂ” любое достаточно большое число, скажем, М = пзахо«,, го Тогда вещественные корни всех многочленов уе(х) = а(4)х"' +... расположены между -М и М. Более того, при х = М знак ЯМ) совпадает со знаком его старшего члена арбМ»'. Конкретное значение величины М совершенно несущественно для нашей процедуры, поэтому прн разыскании общего числа различных вещественных корней многочлена у(х) мы полагаем чисто символически х = -М и х = М. Замечание 4.
По преданию, сам Штурм так гордился своим (действительно замечательным) достижением, что обычно, изложив доказательство студентам, добавлял: еВот теорема, нмя которой я ношу" . Рассмотрим несколько примеров. пример 4. 1(х) = хэ+ Зх — 1. находам у2(х) = 1'(х) = зхз+ 3; далее, /(х) = (Зхз+3) Зх+2х — 1 пуз(х) = -2х+1; Зхз+3 = (-2х+1) (-фх — 33)+~~~ н Уз(х) = --4-.
Согласно замечавшо ! в качестве снстемы Штурма можно вэлть 15 хз + Зх — 1, хе + 1, -2х+ 1, -1. Составим таблнцу знаков длл старших членов: Получаем У и — 1'„, ш 1, т,е. хз + Зх — 1 выест оден вещественный корень. Прнмер 5. /(х) = хз+ Зхз — 1. Легко видеть, что стандартнае система штурма длл у(х) имеет внд хз + зхз — 1, зхз + бх, 2х+ 1, 1, а таблицей знаков длл старших членов будет Приходим к выводу, что Пх) имеет трн вещественных корнл: У и — Ум = 3. 2 з прнмер б. 2(х) = 1+к+ 2г+...+ т (срезеккел экснокекше). Очевкдво, н.
что вещественные корни этого многочлена, если онн есть, находлтсв в ввтерва ле ] — м, -6[„где 6 > о — достаточно мазов вецествевное чнсло (как всегда, М вЂ” большое поввкнтеэьное число). В качестве нестандартной скстемы Штурма ва отрезке [-М, — 6[ можно вэлть тройку уо(х) = Дх), у2(х) ж у'(х) = 1 + х+ 2 в-1 а + ~г + ... + [ — -,)1 и -~~ — — -Дх) + у'(х) (провернть, что все свойства!)-1ч) у 4. Мнсеочлены с еещестпееииыми козффиииентпоми 249 выполнены). Из таблицы знаков видно, что т"(х) при четном и не имеет вещественных корней, а при нечетном и имеет один отрицательный корень (как легко понять, стремящийся к -оо при возрастании и ж 2тп + 1). Пример 7.
Дх) = ха+ рх+ О. Почти стандартной системой Штурма (см. замечание 1) для Ях) на любом отрезке (о, Ь] может служить то ж 1, Я = Зхз + + р уз = -2рх — Зо /з = -чрл — 27ез с естественным ограничением т(о)т(Ь) ф О. Полезно отметить, что тз = Р(7) — дискриминант многочлена т (см. (1б) из 1 2, где следует заменять а и ь на более традиционные коэффициенты р и о). Из общих соображений ясно, что Ях) имеет либо один вещественный корень, либо три. Если рассмотреть трн варианта для пары (збп р,збпРЦ)) с учетом импликации р Р О =ю Р(7') < О, то из таблицы длл знаков легко извлекается правило, согласно которому один корень будет при РЦ) < О, а три — при РЦ) > О.
4. Вещественные многочлены с вещественными корнями. Мы остановимся еще на практически важном случае, когда из каких-либо соображений известно, что все корни многочлена у(х) = аьх" " Е К]х] вещественные. Для удобства введем два обозначения: т(7) — число положительных корней многочлена 7' (с учетом .оатностей); Ит(У) = И((ао, а1,..., а„)) — число перемен знаков в упорядоченной последовательности коэффициентов многочлена у. Ясно,что всегда О < И'(у) < и = т)еяу, причем Ит(-7) = Ит(у).
Заметим также, что И'(у) = И'(аХ" +а;,Х" "+...), где показатель й удовлетворяет единственному условию тс > и — тт (коэффициенты ат,...,а;, 1 нулевые) и аао ) О. Если Ит(у) = О, то, очевидно, у не имеет положительных корней. С другой стороны, у 7 может не быть положительных корней н в том случае, когда Ит(у) = т(ебз. Пример: т(Х) = Х вЂ” Х + 1. Все же, как мы увидим, символ Ит(у) имеет прямое отношение к числу положительных корней многочлена у. Справедливо, например, следующее правило знаков Декартла: И'(у) ) т(у), причем пз()') = И'(у) (тот) 2). Не останавливаясь на его доказательстве, перейдем к интересующему нас случаю. Теорема 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
