1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Вычислить пояозситеяьный корень методом Ньютояа с точностью до третьего десяткчного знака. 12. Опираясь на теорему Руше (теорема 4), показать, что многочяен 7(з) = = яз + бзз — 3 имеет два корня в единичном круге и три корня в кольце между окружностями ]з] = 1 и ]я] = 2. 13. Сколько вещественных корней имеет многочяен ее + 12яз + бя — 97 14. Мкогочяекм Лезиакдра гв(Х) = 1, Р1(Х) = Х,...,Р„(Х),...
опредевякггся рекуррентной формулой щи(Х) — (2щ — 1)ХРм з(Х)+(щ — 1)Рт з(Х) = О. Показать, что: а) Р„(1) = 1, Р„(-1) = (-1)"; б) (Р„, Р 1,..., Ре) — система Штурма дяя Р„(Х) на отрезке [-1, 1]; в) Р„(Х) нмеет и различных корней на интерваяе ) — 1, Ц. Приложение НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ О МНОГО'ЧЛЕНАХ Ниже звездочками отмечены задачи, решений которых в математической литературе (по состоянию на 2000 г.) действительно не существует. Остальные задачи в принципе решены, но либо неалгебраическими, либо незлементарными средствами.
Понятно, что для решения открытых проблем все средства хороши. Формулировки задач сопровождаются небольшими комментариями, призванными способствовать пониманию существа дела и расширению кругозора. Дополняющий их список литературы минимальный. 1в. Проблема якобиана. Пусть тт,..., Л, е С[Хт,...,Х„).
Под 'ПтЛ = дЛ/дХт. понимается частная производная многочлена ~; по у-й переменной Х вЂ” результат применения оператора частного дифференцирования (см. упр. 9 из з 1 гл. 6). Будем считать, что ЯО,... ...,0) = О, 1 < б < и. Введем новые переменные Х,',...,Х„' формулами Х', = Ут(Хт,...,Х„), ..., Х,', = ЯХм...,Х„). Полиномизльное отображение г' = (1т,...,~„): Х; + Х,', 1 < т < < н, определяет эндоморфизм (гомоморфнэм в себя) алгебры много- членов С[Хт,..., Х„].
Его мавтрииа Якоби 'ПтЛ " ?1оБ ,?(е) = ~тт . Рот обратима в точности тогда, когда определитель Гттт ? тттт бес,?(Г) = Х'т| " 'В Л называемый,якобианом и являющийся, вообще говоря, многочленом, будет отличной от нуля константой (элементом из С'). Если г" — автоморфизм, т.е.
если найдутся многочлены дт,..., д„ такие, что Хт =дт(Х[,...,Х„'),, Хн = до(Х[ "~Х'), то, как легко убедиться, якобиан обратим. Верно ли обратвное дтпверэкдение? Другими словами, верна ли импликаиил т1ес .7(г ) 6 С' ~ Р— автоморфизм? (*) 260 Нере1аечкые задачи о лнозочаеназ Это и есть яроблаяа лкобиана, сформулированная О.
Келлером в 1939 г. и остающаяся нерешенной при всех и ) 2. Две специальные группы автоморфизмов алгебры С[Х1,...,Х„) видны сразу. Это группа 01 „всех линейных невырожденных преобразований и группа В„, элементы которой получаются композицией "треугольных" полнномиальных отображений вида Х, +Х1+31(Х1+1,...,Хо), 1<1(п, 31 ЕС[Х1 ' ' Ха]. В том, что эти отображения обратимы, убедиться совсем несложно. Например, при п = 3 имеем Х1 = Х1 + 31(ХЗ,ХЗ), Хз = Хз+ зг(ХЗ), Хз = Хз. Отсюда Х1 Х1 11(Х2 32( ~3)1ХЗ)~ Х2 Х2 22(Х3)1 Хз = Хз ° Каждый ли автоморфнзм, оставляющий скаляры на месте, полу- чается композицией элементов из ОБ„и В„? Предполагается, что при п ) )3 это не так.
Более того, гввотиеэа Наготы гласит, что ответ должен быть отрицательным даже применительно к конкрет- ному автоморфнзму Р: Х; з Х,' вида Х1 = Х1 — 2ХЗ(Х1Хз + Хзз) — Хз(Х1Хз + Хзз) Хз = Хз + Хз(Х1Хз + Хзз), Хз — — Хз. Отметим, что,?(Е) = 1, причем Х1 = Х,' + 2ХЗ(Х,'Хз+ Хз ) — Хз(Х„'Хз+ Хз ), Хз = Хз — Хз(Х1ХЗ + Хз ), Хз = Хз.
Существует много разных подходов к проблеме якобнана (злгеб- ро-геометрическнх и функциональных), комбинирование которых привело к частичному успеху. Положим де8 Е = шах1<1<о де8/1. Ес- ли и = 2 и бе8 Е < 150, то ответ на вопрос (о) оказывается положи- тельным. Кроме того, доказано, что с точностью до ОБ„достаточно рассматривать многочлены вида /1 = Х1 + Из(Х1,..., Х„), 1 ( 1 < и, где все компоненты Из — кубические однородные формы (бе8 Ьз = 3), а матрица Якоби,у(Н) для Н = (Ь1,..., И„) ннльпотентна: (/(Н))" = = О.
Правда, в процессе редукции число переменных п увеличивается по сравнению с исходным. Более подробно с имеющимися результатами относительно про- блемы якобиана можно познакомиться по обзорной статье: Ваза Н., Соппе(1 Е.Н., %тзуйз Р. Ласобзап соп)есзпге// Би11. Ашег. МаЗЬ. Яос.— 1982. — У. 7, № 2. — Р.
287-330. 261 Нерешенные задачи о многочлеиах 2». Задача о днскрнминанте (Е.А. Горин). Пусть у(Х) = Х" + азХ" з+... + а„ вЂ” нормалюованный многочлен, ктхэффициенты которого а;, 2 ( т ( < п, суть рациональные функции на С (т.е. рациональные дроби ю С(г)). Предположим, чтло дискриминантл Р(у) многочлена у' тождественно равен 1. Возможно ли при этлом, чтлобы не все коэд1дтициентлы а; были констлантлами? Известно следующее. а) Если особенности (полюса) всех ат расположены в точках О и со (либо знаменатель д несократимой дроби а; = р/д делится на г, либо дейр > де8 д), то а;, 2 < 1 < и, — константы.
б) Если и = 3 или п = 4, то все а, — константы. При п = 3 дело сводится к рациональным решениям уравнения из + из = 1 (см. и. 4 3 2 гл. 6), которое в свою очередь редуцируется к уравнению Ферма степени 3. Но известно, что если у" + д" = Ь", где у, д, Ь 6 С[г) и НОД(У, д, Ь) = 1, то при п > 2 многочлены у, д, Ь являются на самом деле константами. При и = 4 используется кубическая резольвента Феррари. Случай п = 5 остлаетлся беэ отлветла 3. Задача о двух порождающих кольца многочленов. Известная из математической литературы теорема Абьянкара — Моха утверждает, что если С[у(г),д(г)[ = С[г), т.е. многочлены у,д порождаютл все кольцо многочленов, тло: 1) пара у',д раэделлетл С, т.е. хт ф гг — — ь у(гт) ф у(гг) или д( ) ~ д(гз) й) производные у'(г),д'(г) не имеют обтмих нулей. Для этой теоремы пока нет простых доказательств.
Требуется найтли элементарные подходы. Решающее утверждение в одном из вариантов доказательства: если для пары у,д выполнены свойства 1), й), то либо дейв дейд, либо йейд[де81. Теорема Зайденберга — Лина (ДАН СССР. — 1983. — Т. 271, Уа 5) устанавливает в свою очередь, что если пара у, д 6 С[я[ разделяет С, то С[у (г), д(г)] = С[(г — с), (г — с)'[, где с 6 С, а НОД(Ь,1) = 1. В частности, система у'(г) = О, д'(х) = О имеет не более одного решения.
Это утверждение сильнее, чем теорема Абьянкара — Моха. К теореме Зайденберга — Лина также тлребуетлся найти элементларный подход. Следует отметить, что замена С на К невозможна. По-видимому, нет аналогов указанных теорем, где вместо пары у, д рассматривались бы тройки у, д, Ь и т.д. 262 Нереюенные задачи о многочленах 4». Задачи о критических точках н критических эначе.
пнях (В. Вепдоч, 8. Яша1е, А.И. Кострикин, Э.Б. Винберг). Пусть У(») — комплексный многочлен, 6у = (о Е С ! /'(6) = О) — множество его криитических тиочек. Значения /(о), отвечающие критическим точкам у Е Эу, иногда называют критиичвскими. а/ Доказать, что если все нули (корни) многочлена /(») = Пь (» — сь) стиеиени и > 2 лежати в единичном круге Рг = (» Е Е С( ф < Ц, тио длл каждого сь круг (» Е С ! (»-сь( < Ц содержити ио крайней мере одну критиическую тиочку. С результатами в этом направлении можно познакомиться по статье: Мт)(ег М.Х// Тгапв. АМЯ. — 1990.
— Ч. 321, Ж 1. — Р. 285-303. Общая алгебра-геометрическая концепция, относящаяся к роли критических точек многочленов, изложена в книге: Матдеи М. 6еошеггу о1 ро1упоппа1в. — РгочЫепсе, И.1» АМЯ, 1966. Проблема Сендова уточняет один известный результат нз этой книги, согласно которому любой круг Р„содержащий все нули многочлена /(»), содержит также все нули его производной. В это очень легко поверить, предположив, что все нули /(») вещественные, н просмотрев еще раз доказательство теоремы 3 нз з 4 гл. 6. б) Доказать, что если / — комплексный многочлен стиеиени и тиакой, чита /(0) = О, /'(0) ~ О, тио Смейл доказал существование критической точки 6, для которой 4 !О/'(0)! т.е, дана требуемая оценка с худшей константой.
Для многочленов степени и < 4 проблема решена. Константа (и — 1)/и неулучшаема, как показывает пример многочлена /(») = »" — и 1». в) Обозначим символом С„множество так называемых консерватиивных многочленов /(») = »" + аг»а г +... + а„г», определяемых свойством: /'(6) = 0 =~ /(6) = 6. Таким образом, консервативный многочлен, рассматриваемый как отображение /: С -+ С, оставляет начало координат и все свои критические точки на месте.
Известно ( ТтгсЫег Р.//СошР!ех1»У.— 1989), что ~С„~ = ( и 1 ), поэтому для консервативных многочленов степени и проблема Смейла, сводящаяся к доказательству неравенства 1/'(0)~ > ' — ', решается в принципе конечным перебором. Но для этого нужно располагать явным описанием многочленов из С„, что известно пока лишь при и < 6. Более слабое неравенство ~7'(0)( > 1 справедливо для любого / 6 С„.
Нереитенкые задачи о многочленоэ 263 Выло бы крайне интересно исследоватпь геометприю нулей и неподвижных тпочек нонсерватпивных многочлгнов. г) Пусть / — многочлен степени и с вещественными коэффициентами и с вещественными критическими точками (Ву С )й). Множество всех таких многочленов обозначим через Р„. Каждому / Е Е Р„сопоставим вектор ст/ Е И" ~ по следующему правилу. Пусть йт,..., й„т — критические точки для / (с учетом кратностей), расположенные в порядке неубывания.
Тогда ст/ = (/(йт), У(йь-т)) вектпор критпических значений. Очевидно, что вектор (ст,..., с„т) Е й К" ~ может иметь вид сг/ для некоторого / Е Р" только в том случае, когда (-1)ь(сь-сьы) > О для всех й или> наоборот, ( — 1)" (сь— — слет) ( О для всех й, т.е. последовательность ст,...,с„т "пилообразна". Довольно сложным образом доказано, что всякому пилообразному вектпору с = (ст,...,с„т) отвечает многочлен / Е Р„итакой, что сг/ = с. Многочлгн / определен однозначно с тпочностпью до линейной замены аргумектпа х т-т ах + 6, где а,6 Е Й, а > О. Суитестпвуетп ли элгмгнтпарног доназатпгльстпво этпого фантпа7 б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
