1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пустпь есе корни многочлена у е )й1Х] еетцеставенные. Тогда т(У) = И'(ф). Доказательство. Будем исходить из наглядных соображений. По известной теореме Ролля из анализа (или по теореме о среднем) между корнями а' и Ьт нашего многочлена 7 (Х) найдется число с Е К, а' < с < Ь', для которого 7'(с) = О. Отсюда следует, 250 Гл. б. Корив миогочлеиое что все корни производной 7'(Х) вещественны и т(у') = т(7) или т(У') = т(у) — 1. В самом деле, пусть сг < сг « ... с, — корни многочлена у кратностей иы иг,..., и„, так что и1 + ия + ... + и„= бе8 у = и.
По теореме 5 из З 1 производная ~' имеет корни сы сг,..., с„кратностей и1 — 1,иг — 1,...,и„— 1, а в промежутках между ними по теореме Ролла еще хотя бы по одному корню с'„~г,..., с'„г Всего получается (и1 — 1) +... + (и, — 1) + г — 1 = и — 1 вещественных корней. Так как Йе8~' = и — 1,то других корней у ~' и нет. Пусть, далее, с~ 1 < О, а гл,...,с„— все положительные корни кратностей иа...,и,: и~ +... + и, = т = т(у). Положительными корнями производной у(Х) будут корни си...,с„кратностей и~ — 1,..., и„— 1, корни си..., с'„, и, возможно, еще корень с~~, т.е. число их т(у') = т(7') — 1 или т(у), как и утверждалось.
Аналитическим выражением этого факта служит почти тавтологическая формула (6) (У) = (у') +, = -(1 — (-1) (П+ ). 2 Заметим еще, что если 7'(Х) = аоХ" +... + а„„Х", где а„„вЂ” последний отличный от нуля коэффициент, то 7" (Х) = (Х вЂ” с~)"'... (Х вЂ” с„)""д(Х). (7) Здесь д(Х)=аХ" +...+ЬХ', ао>0, Ь>0(и<0). Таким образом а„„= ( — 1) с,"'...~сЬ, причем с,"'...Со Ь > О. Другими словами, ( — 1)и'~~~а„„> О. (8) При и = 1, 2 утверждение теоремы очевидно. Рассуждая теперь по индукции относительно и = де87, допустим, что теорема доказана для всех многочленов степени < и. Если в (7) и > О, т.е.
а„= О, то у(Х) = Х Л(Х), причем т(У) = т(у1) = И'(у) (т(~~) = Й'(у1) по индукции). Остается рассмотреть случаи а„~ О. Пусть ~'(Х) =иаоХ" '+...+аа иХо 1, о я ~0. Тогда И~(~)=И'(~')+б, б=- 1 — ""~) =О или б=1. 2 1, )а„аи „(/ Но мы знаем (см. (8)), что ( — 1) Оба„> 0 и ( — 1)'"(7 >а„„> О. Поэтому б = (1 — ( — 1) (~>+ <~ ))/2 н, стало быть, б = с.
Так как по предположению индукции И'(7') = т(у'), то окончательно имеем И'(() = т(~') + с нли, сравнивая с (6), т(7") = И'(7). П Многочлены с ееществеенными коэффициентами 251 С л е д с т в не (частный случай теоремы Бюдана — Фурье). Пустпь все корни многочлена у' вещесгпвенны. Тогда число его корней, лежащих в интервале )а,Ь[, равно 'г(г(У ) — Иг(Уь), где у,(Х) = у(Х+ а) = ~~~, Х, ~<а)(а) о<в< У,(Х) ш У(Х+ Ь) = '> —,Х" У(')(Ь) о<а<. — разложения в рлд Тейлора (см. упр. 3).
Доказательство. По определению число т(ув) положительных корней многочлена у, равно числу корней заданного многочлена у, больших, чем а. То же замечание относится к уз. Следовательно, число корней многочлена у, заключенных между а и Ь (а < Ь), равно разности т(у,) — т(ув), которая по теореме 3 выражается в виде И'(1 ) — И'(1ь). П 5. Устойчивые многочлены.
Нормализованный многочлен у(Х) = Х" + аз Х" ' +... + а„гХ + а„ с вещественными коэффициентами называется устойчивым, если все его корни лежат в левой полуплоскости (рис. 27): У(Л) = О, Л ш о+ зд =у о < О Терминология ведет свое происхождение из теои дифференциальных уравнений. Поиучаемые ри там критерии асимптотически устойчивого Рис. 27 поведения физической (а в более широком смысле — механической, технической или экономической) системы в окрестности положения равновесия требуют, чтобы было !пп ем=О, (9) где А — произвольный корень многочлена у, ассоциированного с дифференциальным уравнением порядка п с постоянными коэффициентами. Так как по формуле Эйлера (см. (15) из 8 1 гл. 5) е"' = = Е 'Е'д' = Ео'(СОВ)Т1 + З 8Ш)ЗС), тО дОМИНИруЮщИМ ЧЛЕНОМ яВЛяЕтСя е'"', и условие (9) эквивалентно неравенству а < О.
Возникает своеобразная проблема локализации — проблема Рарса — Гурвицаг, когда непосредственно по коэффициентам мно- з>фактически поставленная гораздо раньше (18б8 г.) английским физиком Д.К. Максвеллом и решенная для небольших степеней русским инженером И.А. Вышнеградским, который занимался задачей устойчивости регулятора (18Тб г.). Гл. б. Корни многочленов 252 гочлена у надлежит выяснить, является ли он устойчивым. Эта алгебраическая задача была решена еще в 1895 г.
Критерий Рауса— Гурвица гласит слеующее. Иногочлен у' устойчив тогда и только тогда, когда вьтолнены неравенства Г1 >О, Гг>0, ..., Г„>0, (10) где 0 0 аг 1 аз аг аз аа 0 0 ... 0 0 0 ... 0 аг 1 ... 0 аз аг ... 0 ад аз ав ат аг ав ав агз-г ага-г агь-з агз а ага-з аы-в .. аз (предполагается, что а, = 0 при з > и).
Не пытаясь доказать теорему Рауса — Гурвица (зто более уместно делать в других курсах), мы обратим внимание на то обстоятельство, что ее формулировка своим изяществом целиком обязана теории определителей. Далее, согласно теореме 1 при выполнении условий (10) много- член у(Х) представляется в виде произведения множителей вида Х + и, Х + иХ + го с и > О, и > О, го > О, а это значит, что все коэффициенты устойчивого многочлена у(Х) положительны: а1 >О, аг>0, ..., а„>0. (11) Таким образом, условия (11) необходимы для устойчивости многочлена у(Х). Не являясь в общем случае достаточными, они позволяют, однако, приблизительно вдвое понизить число детерминантных неравенств (10).
Это удобно, так как вычисление определителей— трудоемкое дело. Пример 8. При п = 2 система неравенств Г1 > О, Гг > О эквивалентна более простой: ог > О, ог > О, что, между прочим, видно из формул для корней квадратного уравнения. При п = 3 все сводится к неравенствам о1 > О, ог > О, оз > О, о1ог > оз, поскольку Гз = оз(о|ог — оз).
Наконец отметим, что критерий Рауса — Гурвица не решает всех вопросов, связанных с устойчивостью, поскольку на практике речь идет о многочленах и о дифференциальных уравнениях, коэффициенты которых зависят от параметра. В терминах самого параметра должны формулироваться и условия устойчивости, что представляет собой задачу совсем иной природы. 6. Зависимость корней миогочлена от коэффициентов. Понятно, что корни многочлена являются функциями его коэффициентов.
Мы хотим теперь подчеркнуть, что эти функции непрерывны, т.е. при достаточно малом изменении коэффициентов иэме- у 4. Многочвены с веитестпвеннььии козффиииентпами 253 нение корней пренебрехсимо мапо. Кратные корни, впрочем, могут распадаться, и геометрически динамика изменения зачастую приобретает причудливые формы. Достаточно сравнить многочлены х" и х" + е при е -+ О, чтобы почувствовать зту сложность. Качественному и количественному сравнению многочленов способствует Теорема 4 (Руше). Если длл двух многочпенов уо(х) и тт(х) имеетп местно иеравеистпво 1У,(х)! < 1Уо(х)! для всех х на гранитте эамкнупюй областпи Р С С, шо многочлеи уо(х) + ут(х) имеетп внутпри Р стполько же корней, сколько и много'т теи уо(х) Доказательство этой теоремы, причем в более общем контексте, получается элементарными средствами теории функций комплексной переменной, поэтому мы его опускаем.
0 Пусть теперь «о — корень кратности й многочлена то(х) = аох" + + от«к ' +... + а„. Рассмотрим многочлен У(х) = (ао + бо)»" + (ат + бт)х" ~ +... + (а„+ б„) = Ях) +,~т(х) с ~бт~ < б, где б > Π— сколь угодно малое вещественное число. Рассмотрим круг Р = (х й С~ ~» — хо~ < е) с центром в хо и столь малого радиуса е > О, что хо — единственный корень многочлена Ях) в замкнутой области Р. Функция ~Д«)~ непрерывна и не обращается в нуль на окружности ~х — хо~ = е — границе круга Р, поэтомУ 1т = тпрр „~-, ~Уо(х)~ > О. Возьмем б столь малым, чтобы при )х — хо ~ = г имело место неравенство ф(х) ~ < тт.
Тогда будут выполнены условия теоремы Руше, и мы приходим к выводу, что у(х) н Ях) имеют внутри Р по одинаковому числу й корней. В частности, простой корень (к = 1) при малом шевелении коэффициентов остается простым, лишь чуть смещаясь. Фактически мы обеспечили ту локализацию корней многочлена 1(х), которая гарантирует нх непрерывную зависимость от коэффициентов многочлена ув(х). Доказанный результат формулируется также в следующей форме.
Т е ар е м а 5. Пусшь уь(х) = х" + от«" ' +... + а„— нормализованный комплексный многочлен, ст,..., с„— его корни. Длл любого е е й, г > О, сутцестпвуетп б е К, б > О, тпакое, чшо длл каждого нормализованного многочлена у(х) = х" +а',х" ~+...+а'„шакого, чтпо ~а' — а ~ < б, 1 < т' ~< и, имеет местпо разложение т(х) = П", (х-с'), причем ~с' — ст ~ < г, 1 < т' < и. Можно привести доказательство этой теоремы, не опирающееся на теорему Руше (см., например: Ашет. Марш Моп»ЫУ.
— 1989.— )т. 96, № 4), но нам важнее обратить внимание на суть дела. 254 Гл. 6. Корни миогочвенов 7. Вычисление корней многочлена. Полное решение проблемы локализации (особенно если учитывать все корни, включая комплексные, когда речь идет не об внтервалах, а об областях на плоскости С) дается дорогой ценой. Остановимся вкратце на методах вычисления "локализованного корня" с заданной степенью точности. Пусть мы уже знаем достаточно узкий интервал ]а, Ь[ вещественной оси, содержиций единственный интересующий нас простой корень многочлена у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
