1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Так как Я(о) = Я(асс) для всех и Е Я„, то естественно рассматривать лишь многочлены Я(г), отвечающие монотонным одночленам с. По смыслу ясно также, что любой симметрический многочлен у над А является линейной комбинацией с коэффициентами из А многочленов типа Я(е): о„Я(о).
Обычно такая запись получается моментально ("на глазок"). Таким образом, задача сводится к выражению Я(в) через элементарные симметрические многочлены. С каждым монотонным одночленом г = Х,"Х"... Х„*" ассоциируется симметрический многочлен д„= д„(Хы..., Х„) = я~' "яг "... в'„", (6) высшим членом которого как раз и является о. В соответствии со схемой доказательства теоремы 1 вырисовывается следующий метод выражения Я(с) через элементарные симметрические многочлены. 9 9.
Симметпрические мвоеочлены 225 Пусть с(еби = оз. Берутся все "монотонные" разбиения оз =,~1 + уг + " + ув, ут > уг > . Э рв ) О, целого числа пз такие, что ю = Х,"Хгт'... Хт" < о. РассматРивается множество М„всех таких одночленов ю. Для каждого ю Е М„ составляется одночлен д (см. (6)). Мы уже знаем, что О = 9т+,~ Нмдит (7) веМ где и — какие-то целые числа.
Неопределенные коэффициенты и (отсюда и название метпод неопределенных коэдт4ициентоо) находятся путем последовательных подстановок в (7) вместо Хт,..., Х„ каких-нибудь целых чисел, обычно нулен и единиц. Значения д„, д и Я(и) при этом известны, и для н получается заведомо совместная система линейных уравнений. П р н м е р 1. и = Хтз, Я(и) = рз(Хт,..., Хв), в > 3, О„= втз, Уравнение (7) в данном случае имеет вид рз = вт + евтвг + Ьвз. Если Хт = Хг = 1, Х; = О прн з > 2, то рз = 2, вт = 2, вг = 1, вз = О. Если же Хт = Хз = Хз = 1, Х, = О при т > 3, то рз = 3, вт = 3, вз = 3, вз = 1.
Из получившейся системы 2 = 2з+в 2. 1+Ь О, ЗыЗЗ+е 3 3+Ь 1 при й > и. Чтобы их доказать, воспользуемся очевидными соотношениями Х," — втХ," ' +... + (-Цв 'вв 1Хт + (-Цвев хз О, получающимися при подстановке 1' = Хт в (3). Умножая каждое нз этих соотношений на Х," " (й > н): Х,". — в,х,'.-'+... + (-цв-"„,Х,'-в+'+ (-цвв.х,"-в = О, находим а = -3, Ь = 3, т.е.
рз = вз — Звтвг + Звз. Для выраження степенных сумм рь(Х1,..., Хв) в виде многочле- НОВ От Вт,иг,..., Вв ИМЕЮТСЯ РЕКУРРЕНтНЫЕ ФОРМУЛЫ, НОЗЫВаЕМЫЕ формулами Наютпонж Рь — Рь-твт+Рь-г+ +(-ц" 'ртвь-1+(-цзйвь =0 (8) при 1 < к < н; РЬ РЬ-1В1+РЗ-г+ ° +( Ц Рз-ветви-1+( — Ц РЬ ввв =0 (9) 226 Гя. б. Коряв много меиов и производя затем суммирование по 1 от 1 до и, мы получим не только формулу (9), но и формулу (8) при й = п (ре = Х, + ...
+ Хе = = п). Рассмотрим, далее, симметрический однородный многочлен у» „степени й < и (или -со, если ~»,„= 0): у»,„(хм...,х„) =р» — р»»в»+...+( — 1)» ~р»в»»+(-1)»йв». Используя индукцию по г = и — й, докажем, что у»,„тождественно равен нулю. Для г = 0 этот факт был только что установлен. Полагая Х„= 0 и замечал, что получающиеся при этом симметрические многочлены (в;)е, (р;)е совпадают с многочленами в; и ро определенными для и — 1 переменных Хы..., Х„» (см.
(3) и (5)), мы приходим к равенству Л,,„(Х»,...,Х„»,0) = = (р»)е — (р»-»)о(в»)о + " ° + (-1) (р»)е(е»-»)о + (-1) й(в»)е = = у,,„,(хы...,х„,) = о, ибо и — 1 — Й = г — 1 < г, и применимо предположение индукции. Соотношение у»,„(хы...,х„мо) = 0 показывает, что много- член Ь,„делится на Х„: У»,„= Х„Л.
Используя симметричность Ь,„, приходим к выводу, что этот многочлен содержит в качестве множителей Хм Хэ,..., Х„, а значит, и их произведение в„= Х»хэ... Х„. Другими словами, У»,„(Х„...,Х„) = в„(Х„...,Х„) . Ь(Х„...,Х„). (10) Разложение (10) возможно, однако, лншь при Ь = О, поскольку беяв„= и, а дебу»,„= й < и.
Итак, у»,„= О, и доказательство формулы (8) завершено. П 4. Дискриыинант многочлена. Рассмотрим в кольце Р(Х„... ..., Х„] многочлен Ь.= и (Х; — Х,), 1ь1<»~в который, очевидно, можно представить в виде определителя Вандер- монда 1 1 ... 1 х х ... х„ (11) Хи-1 Хв-1 Хп-1 1 э ' ' в Так как определитель является кососимметрической функцией своих столбцов, то э о Ь„= е ܄— знак перестановки т Е Я„.
Но в таком случае Ь~ — симметрический многочлен, и по основной теореме 9 3. Симмеозрические многоч»енм 227 его можно выразить в виде многочлена от элементарных симметри- ческих функций Ц( 1 ) (и" ). Многочлен 01г от я1(Х1,...,Х„), ..., в„(Х1,...,Х„) называется дискриминаншом семейства Х1,..., Х„. Его коэффициенты, очевидно, лежат в Е, При подстановке х» Е Р вместо Х;, 1 = 1,2,...,н (г' — какое-то расширение поля Р), можно говорить о дискриминанте семейства любых н элементов поля г'.
Если не все х1,..., х„Е б г различны, то дискриминант этого семейства обращается в нуль, поскольку хотя бы одни нз множителей х» — х будет равен нулю. Способностью Вйг выделять этот случай и объясняется сам термин д искрим инант. Удобный способ получения дискриминанта основан на интерпретации Ьз как произведения определителя (11) на транспонированный определитель: Ь~ = Ь„»Ь„(вспомним, что де»»А = без А для любой квадратной матрицы А). Действуя по правилу умножения матриц, мы сразу же находим Р1 Рз Р -1 Р1 Рз Рз " Ро Рз Рз Р4 Р *+1 01г(г1,. ° ., Яд) = (12) Рв-1 Рп Рв+1 ° Рзв-2 012(вз,вз) = 2 1 = г — 4вз. 2 ~г1 в — 2вз ~ (13) Пусть нам дан теперь нормализованный многочлен у(Х) = Х" + а1Х" ' +... + а„1Х + а„б Р~Х~, имеющий в Р или в некотором его расширении г' и корней с1,..., с„. Как мы знаем из формул Виста, а» = ( — 1)»я»(с1,..., с„).
Определение. Дискриминант семейства корней с1,...,с„многочлена у, или, что равносильно, значение дискриминанта В41г(я1,... ..., в„), получающееся при подстановке (-1)»а» вместо в», называется дискриминанзвом многочлена у' и обозначается Ю(у). Он называется также дискриминанпзом алгебраического уравнения у(х) =х" +а1х" '+...+а„1х+а„=б. (14) Ясно, что Р(у) б Р (вспомним в этой связи следствие теоремы 1). где р» — известные нам степенные суммы (5). Вычислив р» по ре- куррентным формулам (8) и (9), мы придем к явному выражению для В1г(в1,..., в„).
В частности, Р1 = в1, Рз = гз — 2яз, так что 228 Гя. б. Корни многочясное 3 О -2а 17(/) = О -2а -36 = -4аз — 276з. -2а -36 2аз (13) Выражение П(/) приобретает более сложный вид (по сравнению с (16)) в случае полного кубического уравнения х + а1хз + азх + аз = О, однако от его рассмотрения можно избавиться, как показывает следующее общее рассуждение. Перейдем от аргумента х к у = я+аз/и.
Подставляя х = у-аз/и в уравнение (14) я используя биномяальную формулу, находам в г(г) ж / (у - — / = у" + у"-' +... = О, и (17) т.е, в новом уравнении козффипиент при г" 1 равен нулю. Зная корень го уравнения (17),мы легконайдем также в корень хо = го — а1/и исходного уравнения (14).
Поэтому без ограничения общности можно считать а1 = О. Если пытаться найти общую формулу для рещенвя уравнения (1б) (в чем преуспелв средневековые математики Спипион дель Ферро, Кардано и др.), то неизбеясно в игру будет вводиться дискрнминавт (13) (см. формулы (2) из 1 2 гл. 1). б. Результаит. Основное свойство РЦ), сформулированное в предложении из предыдущего пункта, интерпретируется также как признак наличия общнх корней (или общих множителей) у многочлена / и его производной /'. В основе этого признака лежит в конечном счете алгоритм Евклида. Это дает основание полагать, что имеется аналогичный критерий, позволяющий непосредственно по коэффициентам любых двух многочленов /, у Е Р(Х) решить вопрос о том, обладают они общим множителем или не обладают.
Как видно из определения дискриминанта, справедливо также Предложение. Р(/) = О тпогда и тполько гпогда, когда уравнение (14) имеет кратныг корни (хотя бы один корень кратности /с ) 1). С учетом следствия 2 теоремы б из 3 1 мы имеем теперь два способа, не требующих выхода за пределы основного поля Р, решить, обладает или нет многочлен У б Р(Х) кратными корнями. Но значение дискриминанта заключается не только в этом. Скажем, формула (13), примененная к квадратному трехчлену У(Х) = Хз + ОХ + + Ь с вещественными коэффициентами а, Ь, дает Р(/) = ог — 4Ь— выражение, известное из элементарной алгебры. В частности, от знака Р(/) зависит вещественность или комплексная сопряженность корней уравнения хг + ох + Ь = О. П р к и е р 2. Вычислим дискриминант так называемого неполного кубического уравнения /(х) = ха+ах+Ь= О. (13) В данном случае ел = О, и вычисление рь по рекуррентвым формулам дает рз = в1 ж О, рз = вз7 — 2вз = -2а, рз ж ез1 — Зе1гз + Зез = -ЗЬ, рл = ее~ — 4вз1ез + 4з1вз + 2гз з— — 2аз.
следовательно, по формуле (12) имеем д Й. Симметрические мновочлены 229 Итак, пусть у(Х) = аоХ" + атХ" ~ +... + а» тХ + а„, д(Х) =Ь Х" +ЬтХ" +...+Ь Х+Ь вЂ” два многочлена с коэффициентами в поле Р. Здесь и > О, т > О, но не исключается возможность того, что ао = О или Ьо = О. Определение. Результпантом Вев(у,д) миогочленов у и д называется однородный многочлен (однородная полиномиальная функция) от их коэффициентов (степени тп относительно ао,..., а„ и степени и относительно Ьо,..., Ь ) вида ао ат ао ат а» а„ строк ао ат ...
а» Ьт» Ьы Вев(У,д) = Ьо Ь, Ьо Ь строк Ь Ь ... Ь ~дт+ 1тд = О, йейут < пы йейдт < т. (18) Действительно, пусть Ь = НОД(У,д), йе8Ь > О. Тогда У = ЬЛ, д = -Ьды и, следовательно, Удт + дЛ = О. КРоме того, йе8/т < и, йе8дт < тп, так что (18) имеет место. При ао = О = Ьо мы можем положить |т — — у, дт = -д Обратно: предположив при выполнении (18), что НОД(т', д) = 1, мы ввиду факториальности Р(Х) (см. 3 3 гл. 5) придем к импликации Удт — — — дУт =Ь Д~т, джут. Стало быть, йе8У" < и, йебд < т, откУда =О=Ь.
Мы докажем теперь эквивалентность условий (18) и Вев(~, д) = О. В этом определении результанта содержится некое утверждение о его степенях как многочлена. Но оно непосредственно вытекает из свойств определителей: если заменить в первых т строках а; на та;, то ВевЯ, д) = 1 Вев(у, д), после чего остается сослаться на упражнение 3 из в 2 гл. 5. Выведем теперь основные свойства результанта. В1. Вев(т",д) = О тоеда и тполько тогда, ковда ао = О = Ьо или же у' и у имеютп обитай множитпель в Р(Х1 степени > О. Убедимся сначала в том, что условие "ао = О = Ьо или же У и д имеют обппей множитель в Р(Х'1 степени > О" выполняется тогда и только тогда, когда найдутся многочлены ~, дт, одновременно не равные нулю, для которых 230 Гл. б.
Корни многочленов Положив ~1 = соХ" 1 + с1 Х" з +... + с„ чл Хо1-1 + ( Хо1-2+ + и вычислив по формальным правилам коэффициенты многочлена Уд~+у1 д степени < и+т-1, мы запишем условие (18) в виде квадрат- ной однородной системы линейных уравнений с п+ тп неизвестными до,д1,",Ав-1,со,с1," ~с -1: аоао + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
