1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 44
Текст из файла (страница 44)
..., Х„] многочленов над целостным кольцом А. Теорема 3 из 3 1, ржпространенная на многочлены и функции многих переменных, как будто делает такое перенесение излишним. Но следует учесть, что в этой теореме целостное кольцо А коэффициентов бесконечно, а нам хочется иметь универсальную конструкцию. Итак, полагаем (х о у) (Хм..., Х„) = ДХ 0 р..., Х„бб). Многочлен У называется симметрическим, если и о у = У для всех я Е Я„. Как и для функций, вводятся элементарные симметрические многочлены а» .' ,„(х„„,,х„) = ~ х,,х;,...х;„(1) 1<П<1з«...1ьд» й = 1, 2,..., и. Строго говоря, следовало бы рассмотреть многочлен У(У) = (У вЂ” Х1)(У вЂ” Хз)...
(У вЂ” Х„) = = У» — а»У~ ~ + азУ» з +... + (-1) а, (2) над А[Хм...,х„[ от новой переменной У и заметить, что в»вЂ” симметрический многочлен, поскольку левая часть тождества (2) не меняется при любых перестановках линейных множителей у — х ,..., у — х„. Обратим внимание на то обстоятельство, что после подстановки нуля вместо Х„в обе части тождества (2) мы получим (У Х») (У Х»»)У ея У (а»)оУ + ° + ( 1) (а»»)о1 где (а»)о — результат подстановки Х„= 0 в в».
Сокращая обе части на У (на основании теоремы 1 из 3 3 гл. 4, примененной к А[Хм, .., Х„, У)), приходим к тождеству (У вЂ” Х»)(У вЂ” Хз)... (У вЂ” Х -») = = у 1 — (а1)оу з +... + (-1) 1(а»)о. (3) »1В [ВА 11] группа Я» по-прежнему называетсв симметрической, но многочлены и функцяя — скммгшркчкммв или кососкмметрвчиььив в зависимости от того, остаются они при действки б» на месте илн приобретают множитель — 1.
Такая термкнология лучше отвечает сути дела, но традяции гораздо сильнее, позтому мы оставляем читателю свободу выбора. у' д. Симнептрическив многочлены 221 Сравнивая (2) и (3), мы прнходим к выводу, что (вг)о,, (в -г)о— элементарные симметрические многочлены от и — 1 переменных Хы..., Х„,. Так как, далее, тг: У ~т то1 — автоморфнзм кольца А[Хг,..., Х„], то любые линейные комбинации симметрических многочленов и нх произведения будут снова симметрическими многочленами.
Это значит, что мнохсгстпво всех симмгтпрических многочленов обраэуеш кольцо, лвллюитегся падко яьцом кольца А[Хг,..., Х„]. Наша ближайшая цель — разобраться, как устроено зто подкольцо. 2. Основная теорема о симметрических многочленах. Оказывается, что наиболее общим способом получения симметрических многочленов является следующий. Нужно взять произвольный многочлен д б А[1'г,..., У„] и подставить вместо Уг,..., У„соответственно вы..., е„. Получившийся в результате многочлен будет, конечно, симметрическим. Заметим еще, что одночлен 1;г'... Ут", входящий в д, переходит при подстановке Уь = вь(Хг,...,Х„) в однородный многочлен от Хг,..., Х„степени тг + 2тг +...
+ ти'„, поскольку делая = й. Сумму тг + 2тг + ... + пт'„называют обычно весом одночлена Уг"... Унт". Весом многочлена д(Уг,..., У„) естественно считать максимум весов одночленов, входящих в д. Основное утверждение о симметрическвх многочленах выражает Теорема 1. Пусть У с А[Хг,..., Х„! — симметрический многочлен полной стпепени тп над цаяостпным кольцом А. Тогда суитгсгпвуеш, и притом единстпвгнньгй, многочлен д е А[Уг,..., У„] веса пг, длл копюрого у (Хг,..., Х„) = д(вг,..., в„). Коэффицигнтпы многочлгна д лвл,яютпся целочисленными линейными комбинациями коэффициентпов исходного многочлгна у'.
Доказательство. В свое время (см. гл. 5 у 2) мы отмечали, что любой многочлен у = у(Хг,..., Х„) можно запасать в виде суммы однородных форм У различных степеней: у = 7о + 1г + " + У». Очевидно, что эта запись единственна. Если теперь у — симметрический многочлен, то симметрическими будут и формы у, поскольку то у = '],то/„„а действие тг: Д,„т-т хо„, на степень гп формы у не влияет. Таким образом, без ограничения общности симметрический многочлен У можно считать однородным. Дальнейшие рассуждения разобъем на несколько частей. 1. Условимся располагать одночлены в у лексикографически (по принцнпу построения словаря), т.е.
таким образом, что одночлен и = аХ" Х"... Хт" предшествует одночлену о = ЬХгтч Хг*... Хг" (или больше одночлена ис и > «) в точности тогда, когда последовательность тг — уд, тг — уз,...,т„— у„имеет вид О,...,О,г,..., где г > О. 222 Гя. б. Корни многочяоноо Справа от т могут стоять и отрицательные разности тт -ут. Одночлен, входящий в у и занимающий первое место при лексикографическом упорядочении, назьаается высшим членом многочлена У. Обозначим его ВЧ(У). Л ем м а 1.
Высшим членом произоедени» Ь = Ь»Ь»... Ь„является произведение высших членов сомножитлеяей Ьт, Ьг,..., Ь„. Действительно, при п = 1 утверждение верно, а если Ь = Ь(Хт> Хг> ° ° Х») до(Х»» .. Хн)Х» +дт(Х»>..., Х„)Х; '+..., то ВЧ(Ь) = Х,' ВЧ(до). Взяв теперь разложение по степеням Хт каждого сомножителя Ь; и обратив внимание на то, как получается коэффициент до(Хг,..., Х„), мы при помощи естественной математической индукции по н придем к нужному выражению ВЧ(Ь) = = П", ВЧ(Ь;).
~1 2. Одночлен и = аХ" Хзтт...Х,'," условимся называть мононтонным, если тт > тг Ъ" > т ° Л е м и а 2. Высший член симметпричесного многочяена всегда монотлонен. В самом деле, пусть ВЧ(У) = и = аХтт>Х»н... Х„*". Допустим, что т» < т»+т при некотором Ь < п — 1. Переставив в и = аХ,"... Х" х х Х'»++,'...Х„'" местами переменные Х*' и Х».„т, мы получим одночлен и' = аХ,*'...Х„тыХ»и ...Х„'", из-за симметричности у тоже входящий в у. Но, очевидно, и' > и, поскольку показатели Ори Хт,...,Х» т в и, и' одинаковые, а показатель при Х» в и' больше показателя при Х» в и.
Полученное противоречие доказывает лемму. С1 3. Существование многочлена д(У»,...,У„). Предположим снова, что и = аХ»т>Х»и...Х,'," = ВЧ(у). В силу леммы 2 т» > т»+т, 1 < Ь < н — 1. Поэтому мы можем ввести в рассмотрение симметрический многочлен ~~ ц (Хт >..., Х„) = /(Хм..., Х„) — ав" "аи "... я'„", отвечающий одночленУ а1;" "1"'* и... У„*" веса (тт — тз) + 2(тз— — тз) + ... (н — 1)(т„т — т„) + пт„= тт + тг +... + т„= аеб у.
Так как высшими членами элементарных симметрическнх многочленов вт,вз,...,в„являются, очевидно, Хт,Х»Хз,..., Х»Хз...Х„, то по лемме 1 высшим членом в ав*,' "е~т '... в'„" будет аХ > ~т(Х»Х»)и т... (Х»Хз...Х~ — т)'" > "(ХтХз...Х )>" = 1 2 ''' н> = аХ" Х"... Х„'" т.е.
в точности и = ВЧ(у). Стало быть, он сокращается, в У<т1 не входит и ВЧ(у) > ВЧ(ДП). Отметим еще, что коэффициенты мно- д д. Симмепзрические многочлены 223 гочлена ф) имеют вид с — да, где с, а — коэффициенты многочлена У йбЕ. Пусть о = ЬХз'Х'*... Х)" = ВЧ(Д»)), Ь Е А. Снова по лемме 2 имеем )'з > )г » ... ~„и, по изложенным вьппе соображениям, для симметрического многочлена у<,)(х„...,х„) =урб(х„...,х„)-Ь",-'*," "... „'- получаем ВЧфц) > ВЧ(Ур)). Кроме того, коэффициенты много- члена ~<г) имеют вид ст — д»Ь, где дт Е Е, а сы Ь вЂ” коэффициенты многочлена ~О) .
Продолжая этот процесс, мы придем к последовательности однородных симметрических многочленов степени йея,у<») = йех1, для которых ВЧ(~) > ВЧЕМ»)) > ВЧ(Ур)) > .. > ВЧ(У(»)) >, (4) причем коэффициенты у ф,) будут Е-линейными комбинациями коэффициентов многочлена У. Так как одночленов фиксированной степени (и тем более монотонных) конечное число, то цепочка неравенств (4) должна оборваться ф») = О при некотором Ь); мы получим требуемое выражение ~(Хы..., Х„) = д(вз,..., в„), где д(Уы... п)=аз г .
з т г ь у ) утз-тзутз-тз уз,Ь Ьу)з-Ззутз-Зз ут 4. Единственность. В случае существования двух различных представлений у = дт(вы..., в„) = дг(вы..., в„) мы имели бы отличный от нуля многочлен д(уы..., у„) = дз (уз,..., у„) — дг(уы..., у„) веса тзейУ, для которого д(вы...,в„) = О. Если аУ, 'Уг *... У»"— одночлен, входящий в д, то, как мы видели, ВЧ(ав»'...в»") = = аХт~з(Х)Хг)»з...(Х»...Х„)»" = аХ»~з+»з+'"+»"Х~з+"'+»"...Х»". о Ясно поэтому, что различным одночленам, входящим в д, отвечают различные высшие члены.
Среди них один будет самым высшим, и, стало быть, ВЧ(д(вы..., в„)) )» О вопреки предположению. С) На другом язьпсе утверждение о единственности означает, что вз,...,в„ алгебраически независимы над А, а кольца А[вы ...,в„] и А[Хм...,Х„] изоморфны (хотя, разумеется, А[из(Хы...,Х„),... ..., в„(Хы..., Х„)] — собственное подмножество в А[Хм..., Х„]). Между прочим, при А = Е коэффициентами многочленов у и д будут целые числа.
Из теоремы 1 вытекает еще полезное Следствие. Пдстпь ДХ) = Х" + а»Х" з +... +а„»Х+а„— нормализоеанный многочлен стпепени и отп одной переменной Х над полем Р, имеющий и корней сы...,с„е некотпором большем поле Г ..з Р. Пдстпь, далее, Ь(Хы...,Х„) — произвольный симметпрический многочлен из Р[Хы..., Х„]. 224 Гл. б. Коряв мнвгвчлвнов Тогда его зпачгмиг Ь(сы..., с„), получающееся прв подсгпанввнг с, вмгсп»о Хь 1 = 1,..., и, будеш првпвдлгэсапв полю Р. Доказательство. Всамомделе,поосновнойтеоремеосимметрических многочленах найдется многочлен д(~~,..., У„) 6 Р~Уы...
..., 1'„] такой, что Ь(Хм...,Х„) =д(в»(Хы...,Х„),...,в (Хы",Х»)). Поэтомуй(сы...,с„) =д(в»(сы.",с»)," вв(сы "~с )) атаккакв соответствии с формулами Виста (12) из з 1 я»(сы..., с„) = (-1)»а» Е е Р, то и д(-аы..., ( — 1)"ав) Е Р. П 3. Метод неопределенных коэффициентов. Существует несколько различных доказательств основной теоремы о симметрическвх многочленах, а соответственно и методов выражения заданного многочлена у через элементарные симметрические многочлены.
Чтобы описать один из таких наиболее употребительных методов, введем новый тип симметрических многочленов. Для определенности будем брать в качестве А кольцо У или поле Ж. Пусть с = Х,*'Хг'... Х„'" — какой-то одночлен. Обозначим через Я(в) сумму всех различных одночленов, получающихся из с перестановкой независимых переменных. Например, в»(Хы..., Х„) = Я(Х»... Х») — й-й элементарный симметрический многочлен. Далее, р»(Хы..., Х„) = Я(Х1~) = Х1» + Хг» +... + Х», й ) О, (5) есть так называемая й-.г спггпгппая сумма. Понятно, что всегда Я(в) — однородный симметрический многочлен (называемый еще мвпоггппььг) той же полной степени, что и с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
