1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (824981), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Тогда у(а)у(6) < О. Разделим интервал ]а, Ь[ на 10 равных частей. Одна из этих частей ]ам 61[С]а,6[ (и только одна) обладает свойством У(а1)у(61) < О. Значит, с Е ]аы 61 [. Интервал ]ам Ь1[ делим снова на 10 равных частей и выбираем ту часть ]аз, 62[С]ам 61[, для которой у(агЦ(62) < О.
Так как с Е]вы 61[, то процесс можно продолжить, получая приближение к истинному зна чению корня с точностью до О, 1, до О, 01 и т.д. Этот метод испытаний (десятичных, если делят интервал на 10 частей; двоичных, если делят интервал пополам) удобен, если мы не претендуем на вычисления с большой точностью и располагаем простевшими вычислительными средствами. Универсальным, но весьма трудоемким явллется метлод Лобачевского, позволяющий находить приближенные значения всех корней одновременно, в том числе и комплексных, причем без предварительной процедуры их отделения. Широкое хождение получил ме1лод лвнебной вишгрполлцвв (нлн метод ложного положения). Он заключается в том, что в качестве приближения к корню берется число с<0, делящее интервал ]а, 6[ на части, пропорциональные ]у(а)[ и ]/(6)].
Другими словами, с(0 — а у(а) Ьу(а) — ау(Ь) 6 — с00 у(6) ' ~ ~,1(а) — у(Ь) Кусочек кривой у = у(х) при этом заменяется хордой (рис. 28). Рис. 28 у 4. Многоногим с ввтагстпвенными коэвтвтииигнптами 255 Процесс можно повторить, аналогичным образом получал при- ближение с(эт и т.д. В достаточно малой окрестности ]а, Ь[ корня с кусочек той же кривой можно заменить отрезком касательной в одной из точек. Если св — какое-то приближение к корню (со = а на рис.
28), то по теореме Лагранжа о конечном приращении имеем /( ) — /( ) = У'( Нх - ) откуда прн х = с получим 0 = /(с) = /(св) + /'(св)(с — св). Поэтому в качестве следующего приближения естественно взять ст = сов — /(со) //'(св). Положим сь+т —— сс — —,, й = 0,1,2,...
/(сь) /'(сь) (12) Предположив сходимость рекуррентной последовательности (12), а именно сь -+ с при й — т со, мы получим с = с — /(с)//'(с), откуда /(с) = О. При правильном выборе исходной точки со все точки нашей последовательности будут лежать в интервале ]а, Ь[ и с = с. На рис. 28 показана лишь одна из четырех возможных картинок, отвечающих поведению первых двух производных /'(х), /о(х) на интервале ]а, Ь[. Детали мы опускаем, предоставляя читателю самому рассмотреть оставшиеся случаи. Только что описанный метпод Ньютпона относится к числу наи- более употребительных и быстро сходящихся.
Элементарными мето- дами анализа показывается, что если [/(х)[ )~ Мт, ]/в(х)[ < Мэ при х к [а, Ь] то ]от — с[ < — ]со — с] . Поэтому выбрав точку со так, что м 2Мт — [со — с] < о < 1, Ш1 Мэ эь мы придем к оценке — [сь — с] < о . Как говорят, имеет место 1 коадратпичнал (или сверхэкспоненвиальнал) сходимостпь приближе- ний к корню с. Метод Ньютона хорош тем, что он годится без из- менений для вычисления произвольных комплексных корней много- членов из С[э]. В основу кладется рекуррентнвл последовательность (12). Разумеется, ограничившись наброском голой схемы вычислитель- ных методов, мы не коснулись фактической организации вычисле- ний.
Современная вычислительная математика располагает для этой цели широким арсеналом средств. Входить в профессиональные тон- кости математика-вычислителя у нас нет возможности. 8. Рациональные корни целочисленных многочленов. 0 многочленах над Я и над Е мы имели возможность поговорить в п. 4 256 Р*. 6. Корни многочленов З 3 гл. 5, где обсуждалась проблема разложения данного многочлена над Я на неприводимые множители. Сейчас мы остановимся на го- раздо более простом вопросе о выделении рациональных линейных множителей многочлена / б ЯХ], т.е.
фактически о рациональных корнях. Умножив / на общий знаменатель коэффициентов, мы пе- рейдем к многочлену из Е[Х], поэтому целесообразно с самого начала ограничиться рассмотрением целочисленных многочленов. Теорема 6. Прстпь несократпимал дробь р/о лвллетпся корнем многочлена /(Х) = аоХ" + а1Х" ' +...
+ а„й Е[Х]> аоа„~ О. Тогда р[а„и >1[со. Доказательство. Действительно, цо условию ао — +а1 — +... +а„1 — +а„= О. После умножения обеих частей равенства на о" получаем аор" + а1 р" 'т1 +... + а„трд" ' + а„о" = О, аор = д(-атр" ' —... — а„тр>1" — а„ттд ). Таким образом, о[сор", а так как с и р взаимно просты, то о[ао. Аналогично, нз равенства ь ( и-1 и-2 ь-1) вытекает, что р[а„. Следствие. Рациональные корни нормализованного многочле- на долзсны быть целыми числами.
Итак, решение вопроса о наличии рациональных корней много- члена сводится к следующим действиям: 1) перебору всех делителей свободного члена и всех делителей старшего члена; 2) составлению из них несократимых дробей; 3) проверке посредством подстановки дроби в многочлен. На этом этапе можно воспользоваться методом Горнера. Если все испытания приведут к отрицательному результа- ту, то это значит, что у многочлена нет рациональных корней. Громоздкий перебор всех делителей полезно начинать с х1. Вы- числение /(1) и /(-1) не представляет затруднений.
Если теперь це- лое число с является корнем многочлена /(Х), то /(Х) = (Х -с) д(Х), гдето(Х) = (>оХ" 1+о1Х" 2+...+1>„1. Из схемы Горнеранепосред- ственно следует, что йт й Е, О ( 1 ( и — 1. Поэтому частные /(1) /(-1) — = -Я(1) — = -1(-1) с-1 ' с+1 тоже должны быть целыми числами. А это значит, что если д е е Е и т(]а„, но хотя бы одно из чисел /(1)/(д — 1) или /(-1)/(д+ 1) не является целым, то заведомо /(д) ф О. Разумеется, целостность /(1)/(д-1) и /(-1)/(д+1) не является гарантией того, что /(д) = О, У' 4. МмагОЧЛЕНЫ С ЕЕ«4ЕСЩЕЕННЫМН КОЭ1дфппксмшажп 257 Пример 9.
/(Х) = Хз+2Х4 — 15Хз-2Х+б. Имеем /(1) = -8, /(-1) = 24. Делители б = жб сразу отпадают, поскмьку 4+1 не делит 24. С другой стороны, для д = 2 имеем /(1)/(2-1) б Е н /(-1)/(2+1) б Х, ио /(2) Ф О. То же относится и к б = -3. Целым корнем на самом деле является делитель б = 3. УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть /(Х) = аоХ" + а6Х" ' + ... + а„— вещественныл многочлен степени и. Показать, что значение верхних границ положятельных корней многочленов /(Х), Х" /(1/Х), /(-Х), Х" /(-1/Х) дЫт нижние н верхние границы как полоясятельных, так и отрицательных корней многочлена /(Х). 2. В обозначениях упр. 1 пусть ао > О, т — нвнменьший индекс, для кот~ рого ам < О,  — максимум среди абсолютных величин отрицательных коэффициентов.
Показать, что с < 1+ ~/В/оо для всякого положительного вещественного корня многочлена /(Х). «"-"+'-~ Указание. При я > 1 исходить из оценки /(з) > аох" — В*— = > > *,, [аоэ '(х — 1) — В] 3. Пусть Р— поле нулевой характеристики, о б Р. Для любого многочлена / б Р[Х] степени и имеет место формула (роднуля Теблора) /(Х) =/(а)+ — (Х вЂ” о)+ — (Х вЂ” о) +...+ (Х вЂ” о)".
/'(о) /л(а) э /("1(о) 1! 2! еб Указание. Проднфференцировать Ь рзз формальное выражение /(Х] = = 2, 6;(Х вЂ” а)* и положить Х = о. 4. Показать, что если /(о) > О, /'(о) > О,..., /1" 1(а) > О для вещественного многочлена /(Х) степени и с положительным старшим коэффициентом оо, то /(с) = О, с > О =с: с < а. Указание. Применить упр.
3. б. Воспользовавшись правилом знаков Декарта, найти знак дискриминанта многочленов Хз — Хз + 1, Хэ — бХ вЂ” 9 (см. замечание в конце п. 1). О. Могут ли многочлеяы Хз — Х вЂ” 1, Хэ + аХ + Ь б ЩХ] иметь общие комплексные корни? Напомним (см. упр, 11 иэ 3 1), что многочлен Хз — Х вЂ” 1 неприводим над (). 7. Показать, что корни многочлена /(Х) = Хз + нХ4 + «Хз + ю б И[Х] со свободным членом ш Р' О не могут быть все вещественными. У к а ванне. Удобно перейти к взаимному многочлену Хз/(1Х) и далее воспользоваться формуламн (12) иэ 1 1 и (8) нз $2.
8. Любой многочлен /(Х) с /(э) > О для всех х б К можно представить в виде /(Х) = д(Х)з + Л(Х) з, где д, Л б И[Х]. Указание. При помощи теоремы 1 разложить /(Х) на множители вида (Х + о)э + Ьз и воспользоваться формальным тождеством ( з + 4')( з + ') = („ + 4 )' + ( — )з, вытекающкм из соотношения [р+Ьд[з[г+Ьэ[ = Ив+14)(«+зэ)[ 9. Получить самостоятельно критерий устойчивости многочленов степеней 3 и 4.
При и = 4 записать его в виде неравенств; аз(о~аз — оз) > а,аа з о~ >О, о4 >О, а~аз >О, 258 Гя. б. Корка мкоеочяекое Указание. 7(Х) = Хз+ аХз+ ЬХ+ с = (Хз + аХ + Д)(Х+ В), где о = = а+ В, Ь = Л + оВ, с = ВВ, причем о, Д, В Е И. Устончивость 7(Х) эквиваяентна устойчивости пары многочяенов Хе+ аХ+ В, Х+ В, т.е. вьпюянеиию неравенств а > О, Л > О, В > О. Легко проверяется, что зта система эквивалентна системе неравенств о > О, Ь > О, с > О, аЬ вЂ” с > О.
Аналогичные соображения применить к вепюственному многочяеку степени 4. 10. Имеет яи многочяен 7(Х), стоящий в чнсяитеяе несократимой рацнонавьной дробя у(Х) 3 1 2 Х вЂ” 3 — = — + — — +— В(Х) Х+ г (Х вЂ” 1)з Х вЂ” 1 Хе+1' вещественные корни? 11. Показать, что все три корня неприводимого над () многочяена /(з) = яа-7з -7 — вещественные и лежат в ннтерваяе ] -2,4(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
