1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 33
Текст из файла (страница 33)
12. 176 Гли 8. Лииейпые пространства 5) Пространство С, „комплексных матриц размера т х и пад полем комплексных чисел. Операции, размерность, стандартный базис — такие же, как и в 7с 6) Пространство Р~"~ многочленов с вещественными коэффициентами от одной переменной 1, имеющих степени, не превосходжцие данного числа и. Операции — обычные операции сложения много- членов и умножения многочлена на число.
Размерность пространства Р~"~ равна и + 1. Стандартным базисом называем базис из многочленов 1, 1, г~, ..., 1". Произвольное линейное пространство обозначаем буквой ь", его размерность — с11шь". Если дйшь" = и, то пишем: ь"„. Элементы линейного пространства называем векторами,их координаты записываем в виде столбцов.
Пусть Е = Ым...,б„) — координатный столбец вектора х в базисе е = (ем...,е„). Тогда х = ~~~ бьеь = еЕ„ и=1 где е понимается как строка из векторов еы..., е„. Формула (1) называется формулой разложения вектора х по базису е. Пусть векторы е~м...,е'„базиса е' заданы своими координатами относительно базиса е = (е1,..., е„): е, = ~~ тыего 1= 1,...,п. (2) и=1 Матрица Я, столбцами которой являются координатные столбцы новых базисных векторов е1,..., е'„относительно старого базиса е, называется матрицей перехода огп базиса е к базису е'. Равенство (2) можно переписать так: е =еб.
Эго равенство сохранится, если вместо строк из векторов е и е' рассматривать матрицы из координатных столбцов векторов еы..., е„и е',...,е'„, в некотором фиксированном базисе. Если вектор х нме т координатнын столбец й н базисе е н координатный столбец Е' в базисе е', а 5 — матрица перехода от базиса е к базису е', то При фиксированном базисе пространства каждой линейной комбинации векторов взаимно однозначно соответствует такая же линейная комбинация их координатных столбцов. Пусть векторы аы...,аь заданы своими координатными столбцами. Составим из этих столбцов матрицу А и будем делать элементарные преобразования ее строк.
Столбцы преобразованной матрицы можно интерпретировать как координатные столбцы тех же Гл. 8. Линсйяыс пространства 177 векторов в новом базисе. Матрица перехода к нему получается из единичной матрицы Е с помощью тех же элементарных преобразований строк. Элементарным преобразованиям столбцов матрицы А соответствует переход к системе векторов, являюгцихся линейными комбинациями данных. Матрица нз коэффицнен гов этих линейных комбинаций получается из Е теми же элементарными преобразованиями столбцов. Приведем схемы решения некоторых важных типичных задач. 1) Векторы 1"ы...,1"„базиса 1 и вектор х даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Найти координатный столбец Е вектора х относительно базиса 1. I Р е ш е н и е.
Столбец Е находится из матричного уравнения (4), где Е координатный столбец вектора х в базисе е, а Я матрица из координатных столбцов векторов 1м...,1'„в базисе е. Для того, чтобы вычислить столбец Е', матрицу ~~ Я ~ Е ~~ с помощью элементарных преобразований строк упрощаем так, чтобы на месте Я оказалась единичная матрица. Тогда на месте столбца Е окажется искомый столбец Е'. 2) Векторы базисов 1 = (1"ы..., 1"„) и я = Гдм..., д„) заданы своими координатными столбцами относительно третьего базиса е = = (ег,...,ев).
11вйти матрипу перехода Я от базиса 1 к базису к. Р е ш е н и е. Пусть Е и С матрицы из координатных столбцов векторов 1ы...,~„и дм..., д„. Применяя в нашем случае матричное равенство (3), имеем: С = ЕЯ. Матриггу Я = Е ~С можно вычислить с помощью элементарных преобразований строк матрицы ~~ Е ~ С (~. Если после элементарных преобразований строк на месте матрицы Е окажется единичная матрица, то на месте С будет искомая матрица Я. 3) Векторы аы..., аь заданы своими координатными столбцами в некоторолг базисе е.
Проверить, образуют лн данные векторы базис в пространстве, выявить линейные зависимости между ними, найти базис в линейной оболочке системы аы..., аы Р е ш е н и е. Пусть А — матрица из координатных столбцов данных векторов. Элементарное преобразование строк А равносильно умножению А слева на невырожденную матрипу Т. При этом все столбцы А также умножаются слева на Т, и линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются. Эти действия можно понимать как замену координат: новые столбцы — новые координаты данных векторов. Данные векторы образуют базис в Е„тогда и только тогда, когда й = и и г1е1А у': О.
Обозначим линейную оболочку аы...,аь через 7э. Базис в дэ состоит из таких векторов а„координатные столбцы которых являются базисными столбцами матрицы А. Остальные векторы раскладываются по ним с теми же коэффициентами, с которыми соответствующие координатные столбцы раскладываются по базисным столбцам А.
Для отыскания этих коэффициентов матри- Гл. 8. Линейные пространства 178 пу А следует привести к упрощенной форме с помощью элементарных преобразований строк. Например, пусть векторы ам аэ, аз четырехмерного пространства имеют в некотором базисе е координатные столбцы 1 — 1 1 0 1 1 0 1 Матрицу 112 — 110 101 011 с помощью преобразований строк приводим к виду 101 011 000 000 Очевидно, третий столбец матрицы А равен сумме двух первых. Поэтому третий столбец матрицы А также равен сумме двух первых, и аз = аэ + аэ.
Базис в линейной оболочке системы векторов можно найти эвк же., упрощая матрицу А с помощью элементарных преобразований столбцов. Эти преобразования заменяют данные векторы на их независимые линейные комбинации, и их линейная оболочка остается неизменной. Множество решений системы линейных однородных уравнений с п неизвестными можно рассматривать как множество координатных столбцов векторов некоторого линейного подпространства в пространстве С„. В этом смысле каждая система линейных однородных уравнений с и неизвестными определяет линейное подпространство в ь„.
Базис этого подпространства есть совокуггность векторов, координагные столбцы которых образуют фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений. 4) Векторы аы, .., аь заданы своими координатными столбцами относительно базиса е пространства ь"„. Найти систему линейных уравнений, определяюгггук~ линейную оболочку Р данных векторов. Р е ш е н и е. Выпишем матрицу А из координатных столбцов векторов ам...,аь. Пусть гбА = т. Для того чтобы вектор с координатнылг столбцом Е = (хм..., хп)т принадлежал подпространству Р, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А = ~~А Ц также был равен г. Элементарными преобразованиями строк матрица А приводится к ступенчатому виду; при этом последние и — г строк становятся нулевыми.
Если такие же преобразования проделать с мат- Гл. 8. Линсйныс пространства 179 рицсй А, то в последних и — г строках на (й + 1)-м мосте появятся некоторые линейные комбинации чисел хг,...,х„. Приравняв их нулю, получим искомую систему линейных уравнений. Составим, например, систему уравнений, определяюшую линейную оболочку системы векторов аы аю аз нз предыдущего номера.
Матрица х1 ,' хз хз хз 112 — 110 101 011 приводится к ступенчатому виду 1 1 2 О 1 1 О О О О О О х, х4 Хз — Х1+ Х4 х1+ хз — 2хл Ранг матрицы без четвертого столбца равен 2; для того чтобы ранг всей матрицы тоже был равен 2, необходимо и достаточно выполнение условий х1+ хз — 2х4 = О, х1 — хз — хл = О. Это и есть искомая система линейных уравнений, определяющая линейную оболочку векторов аы аш аз в базисе е. Суммой конечного числа линейных надпространств М, Лг....., Р называется линейная оболочка объединения множеств М, Л',..., Р.
Сумма М+Л +... + Р конечного числа линейных надпространств называется прямой суммой, если каждое из надпространств М, Л, ..., Р имеет нулевое пересечение с суммой остальных надпространств. Прямая сумма обозначается так; М 61Л'Ю... Ю Р. Если ь" = М ~ВЛГ, то проекцией вектора х Е ь" на линейное подпространство М параллельно линейному надпространству Л называется слагаемое х1 в разложении х = х| + ха, где х1 е М, ха е Л .
Остановимся на основных задачах, связанных с понятиями суммы и пересечения надпространств. 5) Линейные подпространства Р и Д заданы как линейные оболочки векторов ам..., аь и Ьы..., Ь| соответственно. Найти базис суммы Р+ Ц. Р е ш е в и е. Подпространство Р -~- Я является линейной оболочкой системы векторов ам..., аы Ьм ..,, Ьь Поэтому задача сводится к задаче 3).
6) Линейные надпространства Р и Я заданы системами линейных однородных уравнений. Найти пересечение Р О Я. Р е ш е н и е. Подпространство Р О Я задается системой уравнений, составленной из уравнений обеих данных систем. Размерность подпространства РС Д можно вычислить по формуле Гроссмана с11п1(Р О Д) = с11шР+ 01ш Я вЂ” 01п1(Р+ Я). 7) Линейные надпространства Р и Я вЂ” линейные оболочки систем векторов а,,...,аь и Ь,,...,Ьь Эти векторы заданы их коорди- 180 Гл. 8. Линейные пространства натными столбцами, которые образуют матрицы А и В соответственно. Найти размерность и базис суммы Р+ й и пересечения РЛ Я.
Р е ш е н и е. Приведем матрицу ~~А~В) к упрощенному виду ))А')В')) при помощи элементарных преобразований строк. При этом выберем упроп1енный вид так, чтобы в число базисных столбцов вошли все базисные столбцы А и столько столбцов из В, сколько потребуется. Тогда векторы, соответсгвующие базисным столбцам матрицы ~~А'~В''Ь', составляют базис в Р+ Я, а соответствующие базисным столбцам, расположенным в А', составят базис в Р. Для того, чтобы найти размерности й и Р П Я, упростим теперь матрицу В' с помощьк> элементарных преобразований столбцов так, чтобы не менять ранее найденных базисных столбцов (назовем эти столбцы основными).
Полный набор базисных столбцов преобразованной матрицы Вн соответствует базису в Я, а базисные столбцы В", .дополняющие основные, соответствуют базису в Р П Я. Для того чтобы проследить за тем, какие линейные комбинации векторов Ьп...,Ь| они образуют, и таким образом найти исходные координаты базисных векторов надпространства РП й, можно проделать со столбцагаи единичной матрицы порядка 1 те же элементарные преобразования, что и со столбцагаи В'. В главе «решения» приведено решение задачи 21Л, 11) указанным способоъь 8 20. Примеры пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
