1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В задачах 23.9-.23.14 линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства Ез заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе. 23.9. Вычислить матрипу ортогонального проектирования пространства Ез на подпространство,С, если Е есть: 1) прямаях=с=О; 2) прямая х=у=е; 3) плоскость х+ у+ е = 0; 4) плоскость, натянутая на векторы а( — 1, 1, — 1) и Ь(1,— 3, 2). 23.10.
Вычислить матрицу проектирования пространства Ез на подпространство Е параллельно подпространству М, если: 1) Е определено уравнением х = О, М уравнениями 2х = = 2у = — е; 2) Е имеет уравнение х = у, М определяется системой уравнений х+ у+ е = О, 2х+ у+ 4е = 0; 3) С определено уравнениями — 20х = 15у = 12г, М . — уравнением 2х+ Зу — г = 0; 4) Е определено системой уравнений х — у+г = О, 2х— — Зу+ 4е = О, М уравнением 2х+ Зу — 4з = О. 23.11. Преобразования пространства Ез из задач 23.9 и 23.10 рассматриваются как линейные отображения пространства Ез на подпространство Е.
Вычислить матрицу каждого из этих отображений в какой-либо паре базисов. 23.12. Найти матрицу линейного преобразования со, если ео - ортогональное отражение пространства Ез: 1) относительно плоскости х = 0; 2) относительно прямой х = 2у = е; 3) относительно линейной оболочки векторов а(1,0, — 1) и Ь(1,1, — 2). 23.13. Найти матрипу отражения пространства Ез: 1) в плоскости х = 0 параллельно прямой 2х = у = — е; 2) в прямой х = е, х — у+ е = 0 параллельно плоскости х+у = О. 23.14.
В трехмерном геометрическом векторном пространстве Ез задан ортонормированный базис еы е2, ез. Вычислить матрицу поворота пространства: 1) на угол о вокруг вектора ез, 196 Гл. 9. Линейные отобра:есения и преобразование 2) на угол я/2 вокруг вектора еа, 3) на угол 2я/3 вокруг прямой, имеюгцсй уравнения х = : 9 23.15. Пусть линейное пространство С является прямой суммой ненулевых подпространств,С', С". 1) Доказать, что преобразование ~р проектирования С на С' параллельно Са линейно. Найти ядро и множество значений ~р.
Записать матрипу преобразования ~р в базисе, составленном из базисов подпространств С'и Со. 2) Решить задачу, рассматривая у как отображение пространства С на С . 23.16. Пусть линенное пространство С является прямой суммой ненулевых подпространств С', Со. Доказать, что отражение у пространства С в С'параллельно С" есть линейное преобразование пространства С. Найти его ядро и множество значений. Показать, что ~р является изоморфизмом. Записать матрицу у в базисе, составленном из базисов подпространств С/ Со 23.17.
Пусть ~р: С вЂ” +С вЂ” линейное отображение, М = = ~р(С). Рассмотрим ~р как линейное отображение ~р: С вЂ” ~ М. Доказать, что: 1) ядра отображений ~р и р совпадают так же, как их ранги; 2) ~р сюръективно; 3) у инъективно тогда и только тогда, когда у инъективно. 4) если с1ппС = ЖшС, то у тогда и только тогда является изоморфизмом, когда нзоморфизмом является ф. Выяснить связь между матрицами отображений ~р н ~р (выбрать согласованные базисы в С и М). 23.18. Доказать, что ранг матрицы линейного отображения не зависит от выбора пары базисов в линейных пространствах. 23.19.
Доказать, что: 1) ранг матрицы линейного сюръективного отображения равен числу ее строк; 2) ранг матрицы линейного инъективного отображения равен числу ее столбцов. 23.20. Пустыр: С вЂ” ~ Е " линейное отображение, сйшС = = п, е11шС = т, А — матрица ~р в некоторой паре базисов, гяА = г. Доказать, что: 1) гй~р = г; 2) г11шКег~р = и — г.
З Ю. Основные соойстоа линейных отобрахсений 197 23.21. Доказать, что: 1) отображение, обратное к изоморфизму, существует и также является изоморфизмом; 2) линейное отображение, не являющееся изоморфизмом, не имеет обратного. 23.22. 1) Чему равен ранг и каково ядро линейного отображения р: е". — ~ ь", являющегося изоморфизмом? 2) Как связаны матрицы А, В линейного отображения и обратного к нему? 23.23. Пусть р: е", — + е". . линейное отображение, и 41шс. = сапах".. Доказать равносильность утверждений: 1) ео изоморфизм; 2) ~р инъективно; 3) у сюрьективно.
Показать, что при с11шь" ф с11шЕ из 2) или 3) не следует 1). 23.24. Пусть р: ь" — + ь" линейное отображение, и с11ш С = о1ш е",. Доказать утверждения: 1) Для того чтобы уравнение у(х) = д (х Е ь) было разрешимо при любом д Е е". необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение у(х) = о имело только нулевое решение. 2) Если уравнение ~р(х) = д разрешимо при всех д Е е., то оно имеет для каждого д единственное решение. 3) Пусть уравнение ~р(х) = д разрешимо не при всех д Е С, но при некотором д разрешимо.
Тогда его решение не единственно. 23.25. Доказать,что любое и-мерное линейное пространство изоморфно и-мерному арифметическому пространству над тем же полем н, следовательно, все линейные пространства одинаковой размерности (над одним и тем же полем) изоморфны. 23.26. Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства задано в стандартном базисе матрицей А. Найти образы векторов аы а2, аз и объяснить геометрический смысл преобразования (кроме 3)): 1) А = А~ш, а1 = (1, О, — 1~~, аз = (О, 1, 0)~, аз = (3, 3, 3)т; 2) А=А22ы а1 =11, 1, 2), а2=(1 2 3)т аз=(1, 2 4)т 3) А = А24ы а1 = (О, 1, 1)т, аз = (1, О, — 1)~, аз = (2, 1, 0)~; 4) А = А2оо, а1= (О, 1, 1)т, а2 = (2, 2, 3+1)т, аз = (2,2, 3 — 1)т; 198 Гл. 9.
Линейные отобрахеенил и нреобразоеанил 5) А = Аззз, а~ = (1, 1, — 1)~, аз = (1+ г, 1, — г)т, аз = (1 — г, 1, г) 23.27. Линейное отображение п-мерного арифметического пространства в т-мерное задано матрицей А. Числа т и п определяются размерами матрицы. Вычислить образы указанных векторов: 1) А = Азот, а = (4, — 1, — 1, 3)т; 2) А=А4зз, а= ( — 1, 1, 1, — 1)т; 3) А=Аззз, а=( — 2,1,3, — 1)~; 4) т=п, А=Азот, а~=(1,1,...,1)~, аз=(1, — 1,0,... 0) ° ап — (1 О~ ° ° О 1) 23.28.
Линейное преобразование и-мерного линейного пространства Е задано матрицей А в базисе е. Число п определяется порядком матрицы. Найти ядро и множество значений преобразования. Выяснить, является ли оно изоморфизмом, если: 1) А=Азо; 2) А=Аззв; 3) А=Азв4; 4) А = Аззз', 5) А = Аззьз б) А = Аз4т 23.29. Линейное отображение и-мерного линейного пространства в т-мерное задано матрицей А в базисах е и 1'. Числа т и п определяются размерами матрицы. Найти ядро и множество значений отображения. Выяснить, является ли оно сюръективным, инъективным, если; 1) А=Азгз, 2) А=А4оз,' 3) А=Ааосб 4) А=Азте, 5) А = Аззо', 6) А = Аззз.
23.30. Линейное отображение п-мерного арифметического пространства в т-мсрное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей А. Числа т и п определяются размерами матрицы. Вычислить полный прообраз вектора а, если: 1) А=Азии а=( — 1,0, 1т)~; 2) А=Аззз, а=(1, 2, 1) 3) А=Аззм а=(4, 2,9, — 20, — 3)т; 4) А = Аззы а = (О, 1, 1, 2, — 1)т', 23.31. Линейное отображение и-мерного арифметического пространства в т-мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей А.
Числа т. и п определяются размерами матрицы. Найти полный прообраз подпространства М С Я., если: 1) А = Азии М натянуто на вектор (3, — 1)т; 2) А=Азы, М задано системой уравнений х~+хз= О, х~ — хз=О; ~ во. Основные свойства линейных отобрахсвний 199 3) А = Ааао, М задано системой уравнений 2х1 — хз = О, 2хз+ха — 2х4 = 0; — хз+ 2х4 — хв = О, хв = О. 23.32. Доказать, что пространство Я.
х„вещественных матриц размеров па х п (задача 20.5) изоморфно арифметическому пространству Я~„. 23.33. Пусть а = (ае, ам ..., а„)т. Показать, что отображение 1(а) = ао+ а11+... + а„г" устанавливает изоморфизм (и+1)-мерного арифметического пространства и линейного пространства многочленов степени,не превосходящей п. 23.34. Отображение двумерного вещественного арифметического пространства в линейное пространство вещественных квадратных матриц второго порядка задано формулой у = . Доказать линейность и инъективность ото- У / У бражения ~р. Вычислить его матрипу в стандартных базисах пространств.
23.35. Отображение трехмерного вещественного арифметического пространства в пространство матриц второго порядка сопоставляет вектору (хм хо, хз) матрипу . Дот хв хв — хз х1 казать линейность и инъективность отображения. Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.36. Пусть Мтхт множество комплексных матриц второго порядка, рассматриваемое как вещественное линейное пространство со стандартным базисом Еы, гЕ~ и Ел, 1Ел, Е1 з, 1Еиь Еоо, гЕтг 1см.
задачу 22.12). Отображение р: Яз — ~ М2хз хз х1 + 1х2 сопоставляет вектору 1хп хз, хз) матрицу х1 — 1ха -хв Доказать, что отображение 1о линейно и инъективно. Найти его матрипу в стандартных базисах пространств. 23.37. Отображение у: Я.4 — ~ Мвхз (см. задачу 23.36) заа Ь т дано формулой ~р(х) = —, где (хмхз,хз,х4), и = х1+1хз, а = х1 — гхз, 6 = ха+ гх4.
Доказать, что во линейно и инъективно, найти его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.38. Доказать, что данное множество квадратных матриц является вещественным линейным пространством, изоморфным арифметическому пространству 1сз. 1) множество всех вещественных матриц второго порядка с нулевым следом; 200 Гл. 9. Линейные отобрахсения и преобразования 2) множество всех вещественных кососимметрических матриц третьего порядка; 3) множество всех комплексных матриц вида 1хе *1 -~-1ха где хм хо, хз вещественные числа. — х~ + гха — 1ха а 23.39. Пусть Р = — . — операция дифференцирования, соае поставляющая функции Де) ее производную 1~(е).
Показать, что Р является линейным преобразованием линейного пространства функций, бесконечно дифференцируемых на интервале (а,Ь). 23.40. Пусть Р~ ~ - линейное пространство вещественных многочленов степени не выше т. 1) Проверить, что дифференцирование (определенное в задаче 23.39) есть линейное преобразование Р: Р~ ~ — >Р~ найти его ядро и множество значений. Вычислить матрицу преобразования П: а) в стандартном базисе 1, ~, ..., ет; б) в базисе 1, Ь вЂ” Ье, ..., (е — Ье) 1 Е ' в) в базисе 1, — ', ..., —. 1! т! 2) Найти матрицу дифференцирования как линейного 1ш отображения О: Р~ ~ — > Р~ П базисах 1, 1, ..., — и 1, 1, ...
т1 1т — 1 (т — 1)! 23.41. Показать, что дифференцирование (задача 23.39) определяет линейное отображение: 1) пространства четных много тленов степени не вьппе 2п в пространство Р нечетных многочленов степени не выше 2п — 1; 2) пространства нечетных многочленов степени не выше 2п ! 1 в пространство Я четных мпогочлспов степени пс выше 2п. Найти ядро, множество значений и ранг отображения. Записать его матрицу А в стандартных базисах пространств. 23.42. Проверить, что функции е~'р(е), где Л фиксированное число, р(е) многочлен степени не выше и, образуют линейное пространство, а дифференцирование является его линейным преобразованием. Вычислить матрицу преобразования 1ь в базисе —,ем (1е = О, 1,..., п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
