1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Для любого преобразования р комплексного пространства С С=1С, Е...ЕК,. (4) Для вещественного Е это верно, если все Лы ..., Л, вещественны. Линейное преобразование ф называется иильпотентным, если ф = о для некоторого натурального т. Число т называется его показателем пильпотеитиости, Ограничение ф, = (йз — Лег))к, преобразования (р — Л,~.) на подпространстве Е; является нильпотентным, и его показатель нильпотентности не превосходит Ц. Будем говорить, что корневой вектор т имеет высоту Ь, если фй(т) = о, но уз~ ~ ~ о. Собственные векторы йз — корневые векторы высоты 1. Вектор е' называется присоедипеетым к собственному векгору е", если уЗ,(е~) = ее. По индукции, Кй присоединенный вектор определяется равенством Зб,(е~) = е~ 1.
Если вектор еытз не существует, то собственный вектор ео и присоединенные к нему е', ..., е образуют эсорданову цепочку. Линейная оболочка векторов жордановой цепочки — инвариантное надпространство. Матрица ограничения преобразования йз на нем имеет вид Л, 1 О ... О О Л, 1 ... О д(Л,) = О .... Л, 1 О .... О Л, 216 Гл. 9. Лииейныв отображения и преобразования Матрицы такого вида называются жордановыми клетками.
Жорданову клетку порядка т обозначают Х„,(Л). В каждом корневом подпространстве существует базис, состоящий из жордановых цепочек. Если имеет место разложение (4),то обьедииеиие таких базисов — базис в ь, называемый жврдановым базисом. В жордановом базисе матрица преобразования р имеет жврданвву форму; является клеточно-диагональной матрицей с жордановыми клетками на диагонали. (Собственные значения клеток не обязательно различны.) Общее число всех жордановых клеток равно сумме размерностей всех собственных надпространств. Пусть дан матричный ряд ~~~ А~~~, где А~Ю вЂ” матрицы одинакоь=о вых размеров с элементами а, ' .
Суммой этого ряда называют матри(ь) пу, составленную из сумм числовых рядов ~~ а~ . Экспонентой квадь ратной матрицы А называется суь1ь|а гаатричного степенного ряда: е А" ь=о Собственные векторы и собственные значения (24.1 — 24.65) 24.1. Доказать, что множество всех собственных векторов линейного преобразования, отвечающих одному собственному значению, дополненное нулевым вектором, совпадает с собственным подпространством. 24.2. Доказать, что: 1) ядро линейного преобразования совпадает с собственным подпространством, отвечающим нулевому собственному значению; 2) Собственное подпространство преобразования ~р, отвечающее собственному значению Л, есть множество векторов, удовлетворяющих условию р(х) = Лх.
24.3. Пусть А матрица, а Л собственное значение линейного преобразования и-мерного линейного пространства. Чему равна размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению Л, если ранг матрицы А — ЛЕ равен г? 24.4. Какой вид имеет матрица линейного преобразования, если первые й базисных векторов являются его собственными векторами? З ео. Собственные векторы и собственные значения 217 24.5. Доказать, что размерность собственного подпространства, отвечающего данному корню характеристического многочлена, нс превосходит кратности этого корня.
24.6. Пусть л, у собственные векторы линейного преобразования, отвечающие различным собственным значениям, а числа се, Гз отличны от нуля. Доказать, что вектор сех+ Ду не является собственным. 24.7. Доказать, что ненулевое линейное преобразование, для которого все ненулевые векторы собственные, является гомотетией. 24.8.
Доказать, что система собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям линейного преобразования, линейно независима. 24.9. Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе тогда и только тогда диагональна, когда все векторы базиса собственные. 24.10. Доказать, что линейное преобразование и-мерного линейного пространства, имен>щее п различных собственных значений, диагонализируемо. 24.11. Пусть р линейное преобразование конечномерного линейного пространства Е.
Доказать, что следующие высказывания равносилыеы: 1) сз диагонализируемо; 2) в Е существует базис нз собственных векторов преобразования у; 3) объединение базисов собственных подпространств является базисом в Е: 4) кратность каждого корня Л характеристического уравнения равна размерности собственного подпространства Сх, 5) Е является прямой суммой собственных подпространств. 24.12. Доказать, что: 1) в комплексном линейном пространстве каждое характеристическое число матрицы линейного преобразования является собственным значением, так что произвольное линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор; 2) в вещественном пространстве каждое вещественное характеристическое число является собственным значением.
24.13. Доказать, что линейное преобразование нечетномерного (например, трехмерного) вещественного линейного пространства имеет хотя бы один собственный вектор. 218 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 24.14. 1) Доказать, что характеристический многочлен, определитель и след матрицы линейного преобразования не зависят от выбора базиса.
2) Найти выражение коэффициентов характеристического многочлена, в частности следа и определителя матрицы порядка п,через характеристические числа. 24.15. Найти собственные векторы и собственные значения каждого из следующих преобразований: 1) нулевого; 2) тождественного; 3) гомотетии. 24.16. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе и-мерного линейного пространства матрицей Ав1о =,Уп(Л). 24.17. Пусть матрица линейного преобразования в некотором базисе верхняя или нижняя треугольная с диагональными элементами Лм ..., Л„.
Найти все собственные значения этого преобразования. 24.18. Пусть Е = Е'®,Со, где Е', Ео ненулевые подпространства. Найти собственные значения и собственные подпространства линейного преобразования ~р; доказать, что ~о имеет базис из собственных векторов, и указать диагональный вид его матрицы, если 1о есть: 1) проектирование на подпространство Е'параллельно С', 2) отражение в подпространстве Е'параллельно,Со.
24.19. Найти собственные значения и собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицы линейных преобразований, определенных в задаче 23.65. 24.20. Найти собственные значения, собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицу линейного преобразования„ определенного в задаче: 1) 23.9, 1); 2) 23.9, 2); 3) 23.9, 3); 4) 23.9, 4); 5) 23.10, 1),: 6) 23.10, 2); 7) 23.10, 3); 8) 23.10, 4); 9) 23.12, 1); 10) 23.12, 2); 11) 23.12, 3); 12) 23.13, 1); 13) 23.13, 2). 24.21. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, определенного в задаче: 1) 23.14, 1); 2) 23.14, 2); 3) 23.14, 3); 4) 23.66, 1); 5) 23.66, 2); 6) 23.66, 3); 7) 23.66, 4); 8) 23.66, 5).
Можно ли из собственных векторов преобразования составить базис? 24.22. 1) Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования ~р, заданного матрицей з 94. Собственные векторы и собстоегилые значения 219 А = (ал, ..., а„) ~ (Ьл, ..., 6„) ч'= О. 2) Найти необходимое и достаточное условие диагонализируемости преобразования 9л. 3) Выяснить, диагонализируемы ли преобразования, заданные матрицалли: а) Аз1з, б) Аззв. 24.23. Пусть к, ит, и натуральные числа, 1 < к < т < и. Привести пример линейного преобразования и-мерного линейного пространства, для которого данное число Л является корнем характеристического многочлена кратности т, а отвечающее ему собственное подпространство имеет размерность 1с.
24.24. Пусть линейное преобразование р трехмерного комплексного линейного пространства в некотором базисе имеет вещественную матрипу и по крайней мере одно характеристическое число этой матрицы не является вещественным. Доказать, что ~р диагонализируемо. 24.25. Пусть л собственный вектор линейного преобразования оо, отвечалощий собственному значению Л, а р(~) многочлен. Доказать, что вектор т является собственным для преобразования р (9л) и принадлежит собственному зна гению р (Л). 24.26. Пусть Лл,,..., ˄— характеристические числа линейного преобразования со в и-мерном линейном пространстве. Чему равны характеристические числа (с учетом кратностей) преобразования: 1) (р) ~р~; 2) (р) лот (т натуральное число); 3) 9л л (при условии,что со обратимо); 4) р(~р), где р(1) .
произвольный многочлен (при условии, что Лл, ..., Л„различны)? 24.27. Пусть характеристические многочлены квадратных матриц А и В имеют простые корни Лл, ..., Л и ллл, ..., лл„ соответственно. Найти характеристические числа кронскеровского произведения А ~В В матриц А, В. (См. введенлле к з 15.) 24.28. Пусть линейное преобразование со линейного пространства Е диагонализируемо. Доказать утверждения: 1) 1плло есть линеллная оболочка множества всех собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям; 2) Е = 1га ~р 9 Кег оо. 24.29. Привести пример линейного преобразования р простРанства лс„, ДлЯ котоРого Ео У'= 1пл~Р+ Кетил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
