1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Собстпвенпые векторы и собсгнвенные значения 235 24.125. Найти базисы корневых подпространств линейного преобразования, заданного матрицей А; Ц Азт, 2) Ам, 3) Аз, 4) Азг, 5) А1981 6) Аззз,' 7) Азоз: 8) Аззд 24.126. Проверить, что линейное преобразование, заданное матрипей А, нильпотентно и найти для него жорданов базис и жорданову форму матрицы: Ц Аз; 2) Азз — 2Е; 3) Азз — оЕ; 4) Аззо: 5) Аззз, 6) Аззз+ Е; 7) А488, 8) А487, '9) А488.
24.127. Привести к жордановой форме матрипу: Ц Азб 2) Азо, '3) А4д', 4) Ааб 5) А198', 6) Аздд,' 7) А247~ 8) А248) 9) А2841 16) А273~ 1Ц А738~ 12) (р) Агзз', 13) Аззд', 14) А484', 15) (р) А488', 16) А48о', 17) А489', 18) А487 24.128. Приводятся ли к жордановой форме следующие матрицы линейных преобразований вещественного пространства? Найти их жорданову форму как матриц линейных преобразований комплексного пространства: Ц А48, 2) Аоз, 3) А44, 4) Азоз, 5) Азоз, 6) А447~ 7) А474.
24.129. Привести к жордановой форме матрицу линейного преобразования комплексного арифметического пространства: Ц Азз, 2) А78, '3) Азо, '4) А98. 24.130. Вычислить значение следующих многочленов от матрицы 7о(Л): Ц (1 — Л)'"; 2) с™; 3) произвольный многочлен 7'(1). 24.131. Найти жорданову форму матрицы: Ц .79(Л); 2) 1„(Л) (гп натуральное); 3) 1„7(Л) (ЛфО). 24.132. Что можно сказать о матр7ще А порядка по если ее минимальный многочлен удовлетворяет следующему условию: Ц имеет все корни кратности 1: 2) с точностью до знака совпадает с характеристическим многочленом.
24.133. Пусть 97~ = с для некоторого натурального числа т. Доказать, что жорданова форма матрицы до диагональна. Какие числа стоят на диагонали этой матрицы? 24.134. Найти жорданову форму линейного преобразования комплексного арифметического пространства с матрицсй: Ц А894, '2) Аздд, 3) Аоод, 4) Аозз, 5) Аорб 236 Гя. 9. Линейные оп4ооражепия и преооразоеания 6) А696', 7) А689', 8) А685', 9) А646, '10) Аааь 24.135. Не находя жордановых базисов, установить жордановы формы матриц, зная, что их характеристические многочлены равны (1 — 1): 1) .~458+ Е; 2) .4460, '3) А469.
24.136. Проверить, что матрицы А991 и — Автз имеют одинаковые характеристические многочлены. Найти их минимальныс многочлены и жордановы формьь 24.137. Определить жорданову форму матр|лцы А по заданному характеристическому многочлсну р(1) = — (1+ 1) (1— — 2)9, зная, что Вя(А — 2Е) = 3, а Ня(А+ Е) = 4. 24.138.
Найти экспоненту матрицы: 1) 1„(0); 2) А5'; 3) ~ 0 ~, аЕН. 24.139. Пусть линейные преобразования ео, ф персстановочны. Доказать, что: 1) ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого; 2) собственные подпространства преобразования у инвариантны относительно ~. 24.140. Пусть Ле — собственное значение линейного преобразования ~р.
1) Доказать, что подпространства Еь = Кег(9о — Лог)~ (к = = 1, 2,...) инвариантны относительно ~р. 2) Показать, что Еь с Сыр Может ли включение быть строгим? 24.141. Доказать, что: 1) любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор; 2) то же утверждение верно для вещественного пространства, если все характеристические числа преобразований вещественны. 21.142.
Пусть 99 вырожденное линейное преобразование конечномерного линейного пространства. Доказать, что существует такое ее ) О., что для всех (е! < 86, преобразование у+ ге невырождено. 24.143. Доказать, что для любых двух линейных преобразований ~р, ф одного и того же линейного пространства характеристические многочлены преобразований ~рф и фр совпадают. з ев.
Собственные векторы и собственные значения 237 24.144. Пусть ~р, ф -- перестановочные линейные преобразования и-мерного пространства, причем р имеет п различных собственных значений. Доказать, что все собственные векторы преобразования со являются собственными и для ~, так что матрицы со и ф диагональны в общем для них базисе.
24.145. Пусть линейное преобразование со диагонализируемо и каждое его собственное подпространство инвариантно относительно линейного преобразования у1. Доказать, что рФ=Фр. 24.146. Пусть Е = СЯ~Ео, где С', е".о ненулевые линейные полпространства в Е. 1) Пусть р проектирование пространства Е на Е' параллельно Ео, а й — некоторос линейное преобразование в С. Доказать, что ~рф = унр тогда и только тогда, когда подпространства Е' и Ео инвариантны относительно ф.
2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для отражения пространства Е в Е' параллельно Ео. 24.147. Пустыр, ф — линейные преобразования и;мерного линейного пространства. Дано, что ~р" = О, с1ппКег~р = 1 и ~ф, р) = унр — уф = у. Доказать, что 1б имеет н собственных значений вида Л, Л вЂ” 1, ..., Л вЂ” (и — 1), где Л некоторое число. 24.148 (р).
Пусть у и ф -- линейные преобразования пространства Е, причем ~р взаимно однозначно. Найдите такое е ) О, что для любого б Е ( — е, е) линейное преобразование ~р+ б7р взаимно однозначно. Глава 10 ЕВКЛИДОВЫ И згНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия: склярное умножение, евклидова пространство, унитарное (зрмитово) пространство, длина (норма) вектора, угол между векторами, матрица Грома, ортогональная и ортопормарованпая системы векторов, ортопормироваппьгй базис, базис, биортогопальпый даппому базису, ортогон льпое дополнение надпространства, ортогональн я проекция и ортогональная составляюьцая вектора., процесс оргпогопализации, сей-разложение матрииы, обеем к-мерного паралле: лепипеда, .угол между вектором и подпрострапством, угол между двумя подпростаранствами.
Операция евклидова скалярного умножения в вещественном линейном пространстве б ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из б вещественное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и г и чисел о и д выполнены следующие условия: 1) (х, у) = (у., х); 2) (ох+)1у, г) = о(х, г) + д(у, г); 3) (х, х) ) 0 для любых х ~ о. Операция унитарного скалярного умножения в комгпгексном линейном пространстве ь ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из ь" комплексное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и - и чисел о и д выполнены следующие условия: 1) (х, у) = (у, х); 2) (ох+ ру, г) = о(х, г) +)1(у, г); 3) (х, х) ) 0 для любых х ~ о. Вещественное (или комплексное) линейное пространство с введенной в нем операцией скалярного умножения называется евклидовым (или, соответственно, унитарным). Мы обозначаем евклидовы пространства буквой б, а унитарные — И.
Число (х, у) называется ск ярным произведением (при необходимости, с уто гнением: евклидовым или унитарным). В задачах этой главы часто используются следующие важные примеры евклидовых и унитарных пространств. Множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной геометрии. Его мы будем называть геомепгрическим пространством.
В и-мерном вещественном арифметическом пространстве Гоп стандартным скалярным произведением векторов х и у называется Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 239 число (х, у) = х у = х1у1 +... + х,уп. т В п-мерном комплексном арифметическом пространстве С„ стандартным ск ллрним произведением векторов х и у называется число (х, у) = хту = х1у1 +... + х„у„.
В линейном пространстве Е,вх„вещественных матриц размеров т х и с обычными операпиями сложения и умножения на вещественное число стандартпов евклидова скаллрпае произведение матриц Х = ~~хуь ~ и У = ~~У ь ~( опРеделЯетсЯ фоРмУлой Ш П (Х, У)=~;з х ауь. з=1ь=1 Это же число может быть записано и как ГгХтУ (см. задачу 25.4). Аналогично в пространстве комплексных матриц Сых„стандартное унитарное скалярное про введение определяется формулой (Х, У) = ~~ ~~ х ау по з=~ ь.=~ или, что то же, (Х, У) =1гХтУ.
В пространстве вещественных многочленов от переменной 1, имеющих степень не вьппе фиксированного числа и, стандартное скалярное произведение определяется формулой (см, задачу 25.8, 1)): 1 (р Ч) = / р (1) й (1) д1' — 1 В евклидовом пространстве скалярное произведение выражается через координаты векторов в выбранном базисе еы ..., е„формулой т (х, У) = ~~ Умб,г1з = Е Гп, Ь1=1 где à — матрица из элементов д; = (е,, е ), называемая матрицей Грома базиса ем ..., е„. Для унитарного пространства соответствующая формула имеет аналогичный вид (х, у) = а Гз1.
Еищ Я вЂ” матрица перехода от базиса е к базису е', то матрицы Грама этих базисов связаны формулой Г' = ЯтГЯ для евклидова пространства, и Г' = Я~ГЯ вЂ” для унитарного. Как в евклидовом, так и в унитарном пространстве длиной вектора, а также евклидовой (упитарной) нарлгой называется число ~х = х/(х, х). Вектор длины 1 называется нормированным вектором. Для любых векторов х и у выполняется неравенство Коши— Буняковского 240 Гл. 10. Евклидввы и унитарные пространства Н ' у)! < ~4.
Ъ~ Угол методу векторами определяется формулой о = = агссоз((х, у) Д~х ~у()). Векторы х и у называются вртвгвн льными, если (х, у) = О. Система попарно ортогональных векторов называется вргаогвнальнвй н ортвнврмирвваннвй, если эти векторы нормированы. Пусть а — фиксированный вектор евклидова пространства Е. Сопоставим произвольному вектору х й Е число (а, х). Это определяет линейную функцию, присоединенную вектору х. Соответствие, сопоставляющее каждому вектору его присоединенную функцию— изоморфизм пространства Е на его сопряженное пространство. Этот нзоморфизм не зависит от выбора базиса н потому позволяет отождествить эти пространства: принято отождествлять вектор с его присоединенной функцией.
Если в Е выбран базис еы ..., е„, то функции, составляющие его взаимный базис в сопряженном пространстве, отождествляются с гакими векторами е(, ..., е*„, что (О, г~д, (е„е*.) = Базис е", связанный таким соотношением с базисом е, называется ему биортвгопальным. Вектор называется ортогональным линейному надпространству евклидова или унитарного пространства, если он ортогонален каждому вектору пространства. Множество всех векторов, оргогональных надпространству Е, называегся ортвгвиальным двнвлпевием Е и обозначается ь~. Это линейное подпространство, и Е Ю Е = Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
