1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 47
Текст из файла (страница 47)
25.27. Найти длины векторов в задаче 25.25. 25.28. При каких значениях параметров е, ел данные матрицы могут служить матрицами Грама в евклидовом пространстве: 1) Аво, 2) Атг, 3) Ало. 25.29. Доказать, что в и-мерном пространстве квадратная матрица Г порядка и может служить матрицей Грама какого- либо базиса тогда и только тогда, когда найдется квадратная матрица Я с детерминантом, отличным от нуля, такая, что Г = ото 25.30. Доказать, что в и-мерном пространстве квадратная матрица Г порядка и может служить матрицей Грела какого-либо базиса тогда и только тогда, когда она положительно определена, то есть Г = Гз и стГ5 > 0 для любого столбца 5 у'= о.
246 Гл. 10. Еенлидаеы и унитарные пространстеа 25.31. Пусть Г -- матрица Грама некоторого базиса е. Доказать, что матрицами Грама некоторых базисов являются также матрицы: 1) Г 1; 2) Гк; 3) Г", где й целое. 25.32. Пусть Г1 и Г2 матрицы Грама базисов е1 и ев. Доказать, что при любых положительных коэффициентах матрица Г = о1Г1 +се2Г2 также есть матрица Гралеа некоторого базиса. 25.33. В матрице Грама некоторого базиса все элементы равны либо О, либо 1, либо — 1. Доказать, что базис ортонормированный.
25.34. Доказать, что максимальный по модулю элеллент матрицы Грама расположен на главной диагонали. 25.35. Может ли третья строка матрицы Грама некоторого базиса в четырехмерном пространстве быть строкой: 1) ))1 1 1 1(/; 2) ))-1 -1 -1 -1(/; 3) )(1 О 1 0(); 4) ))О 1 О 1!); 5) 25.36. Найти матрицу Грама стандартного базиса пространства квадратных матриц второго порядка ) со скаляр- 1 ным произведением, определенным в задаче 25.6, если Р равно: 1) А11, 2) Азл.
25.37. В пространстве многочленов степени не выше двух со стандартным скалярным произведением найти матрипу Грама стандартного базиса. 25.38. В пространстве квадратных матриц порядка п со скалярным произведением задачи 25.4 найти матрицу Грама стандартного базиса. 25.39. Дана матрица Грама базиса е. Найти матрицу Грама его биортогонального базиса е". 25.40. Пусть любые два различных вектора из системы х1, ..., х„образуют угол я/3. Доказать, что эти векторы линейно независимы.
25.41. Даны две системы векторов х1, ..., хр и у1, ..., ур, и из скалярных произведений с6 = (х;, у.) составлена матрица С. 1) Доказать, что с1е$ С = О, если хоть одна из систем линейно зависима. 2) Верно ли обратное утверждение? ') См. введение к 4 1е з" ео. Сн ларное произведение. Мапприив Г~ ма 247 25.42. Две упорядоченные системы векторов ем ..., еь и ~ы ...,,?ь в евклидовом пространстве называются биортогональными, если (ео 71) = О при г ф в', а (е;, ?;) = 1 для всех г, Доказать, что каждая из двух биортогональных систем линейно независима. 25.43.
Для системы векторов хы ..., хр евклидова пространства составляется матрица С с элементами с, = (х;, х ). Пусть ВЕС =?е и минор порядка й в левом верхнем углу базисный. Указать какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов. 25.44. Используя свойства матрицы, составленной из все возможных скалярных произведений, доказать, что для любой матрицы А выполнено Н8АтА = ВлА. Ортогональные матрицы (25.45 — 25.58) 25.45. Какие из следующих матриц являются ортогональными: 1) Азз, 2) Азз; 3) Ащ, 4) А1з; 5) Ахб 6) Ав4; 7) Аыз; 8) Аззз; 9) Аззз; 10) Аззз; 11) Азза; 12) А4зз; 13) А4зз', 14) А44з; 15) А4зв. 25.46. Останется ли ортогональная матрица ортогональной если: 1) переставить ее строки; 2) переставить ее столбцы; 3) написать элементы строк, имеющих нечетные номера, в обратном порядке; 4) транспонировать; 5) повернуть вокруг побочной диагонали; 6) умножить одну из строк на число; 7) прибавить одну из строк к другой.
25.47. Пусть А и В -- ортогональные матрицы одного порядка. Являются ли ортогональными матрицы: 1) А+В; 2) АВ; 3) АВт; 4) ееА; 5) Аь, 1е делос. 25.48. Найти все такие пары ортогональных матриц второго порядка, сумма которых - ортогональная матрица. 25.49. При каком условии для ортогональной матрицы А найдется число а ф О такое, что матрица А+ сеЕ также является ортогональной? Существуют ли такие матрицы, отличные от Е и — Е, для и = 2, 3, 4? 248 Гл.
10. Еаылидааы и унитарные нространстеа 25.50. Может ли ортогональная матрица четвертого порядка содержать строку: 1 1 1 1) ))1 0 1 О!); 2) — — 0 — ? 2 2 ъ'2 25.51. Дана строка длины п, сумма квадратов элементов которой равна 1. Существует ли ортогональная матрица порядка п с такой строкой? 25.52. Найти все ортогональные матрицы, имеющие пер- 1 1 1 1 вую строку 2 2 2 2 25.53. 1) Могут ли все элементы ортогональной матрицы быть положительными? 2) Доказать, что ортогональная матрица, все элементы которой неотрицательны, получается из единичной матрицы перестановкой столбцов. 25.54.
Найти все ортогональные матрицы, являклциеся верхними треугольными. 25.55. При каком условии подматрица ортогональной матрицы также будет ортогональной? 25.56. Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка п равны между собой по абсолютной величине. Чему равна абсолютная величина элемента? 25.57. Доказать, что ортогональные матрицы, описанные в задаче 25.56, существуют, если п = 2е, й -- натуральное число.
25.58. 1) Даны два ортонормированных базиса ем ..., е„и 1м ..., 1„. Доказать, что матрица из скалярных произведений (е„)д) ортогональная. 2) Даны две ортонормированные системы по й ( п векторов в и-мерном евклидовом пространстве. При каком условии ортогональна матрица из попарных скалярных произведений векторов, этих систем? 8 26. Геометрия евклидова пространства Ортогональное дополнение подпространства (26.1 — 26.21) 26.1.
Пусть а ненулевой вектор и-ъщрного евклидова пространства. Доказать, что уравнение (а,х) = 0 определяет подпространство размерности н — 1. з 96. Геометрия евклидова пространства 249 26.2. Пусть множества Р и Я векторов евклидова пространства таковы, что 1х, у) = 0 для любых х е Р и у е Я. Доказать, что линейныс оболочки этих множеств ортогональны. 26.3. В евклидовом пространстве Е найти ортогональные дополнения 1) нулевого подпространства; 2) пространства Е. 26.4.
Пусть подпространства Е~,..., С, евклидова пространства попарно ортогональны. Доказать, что Е~ + ... + С, прямая сумма. 26.5. Доказать следующие свойства операции перехода к ортогональному дополнению; 1) (Е~ + Ез) = Е~~ П Е~~; 2) (Е~ йЕз)"- =ЕГ+Е~с; 3) (Е-е)-' = Е.
26.6. Подпространства Е~ и Ез ортогональны. Обязательно ли оРтогональны Е1 и Ез? 26.7. Найти нормированный вектор, ортогональный заданным: 1) ~~404 ((, ~~265~~, базис ортонормированный; 2) ))2 3 2 Ц, ))1 0 1 2)), ((О 1 0 0(), базис ортонормированный; 3) ~~3 1~~, базис с матрицей Грама Аьс; 4) )) — 110)), ()011)), базис с матрицей Грама Азот. 26.8.
Подпространство с", задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений А1, = о. Найти: 1) базис в Е-~; 2) систему уравнений подпространства Е-~. 26.9. Пусть ам..., аь --. базис подпространства Е, и координатные столбы векторов ам ..., ав в ортонормированном базисе пространства Е составляют матрицу А.
Найти: 1) базис в Е~-; 2) систему уравнений подпространства С"-. 26.10. Решите с помощью геометрических соображений задачу 18.20. 26.11. Подпространство,б задано в базисе е с матрицей Грама Г системой линейных уравнений А1, = о. Найти: 1) базис в Е-~; 2) матрицу системы уравнений подпространства Е~-. 26.12. Пусть ам ..., аь базис подпространства Е, и координатные столбы векторов ам..., аь в базисе е пространства Е составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е. Найти: 1) базис в Š— '; 2) матрицу системы уравнений подпространства Е~-. 250 Гл.
10. Евнлидовы и унитарные пространства 26.13. Подпространство С задано как линейная оболочка векторов, имеющих в ортонормированном базисе координаты е столбцы; 1) Р12~~т. 2) ~~1 бр~в ~~ 11~~~т. 3) зЗ вЂ” 159 Ц(,'зЗ вЂ” 6 — 32)! 4) з43 — 32)), )! — 132 — 3)), ))291 — 4(! Найти: а) матрицу системы уравнений, определяющей С б) базис в .С-'. 26.14. Подпространство С задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений Аа = о. Найти базис подпространства Ст, если матрица А равна: 1 3 — 1 2 2 — 1 3 5 1 10 — 61 1) ))3 2 1)); 2) .
; 3) 1 — 5 — 6 11 5 1 — 4 3 1 8 715 5) Аыз; 6) Аззз; 7) Аыз; 8) Аы4. 4) 101 1 1 О, Г=Аззз; 1) А = 512 ц~', г = Азо,; 2) л = 3) А = 1 1 , Г = Аззв' 4) А = 1 2 1 0 , Г = А424. 312, — 1 101 Найти: а) базис в .С; б) матрицу системы уравнений подпро- странства С ' . 26.15. Подпространство С задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений А5 = о. Найти систему уравнений подпространства С х1 — х2+хз+х4 = О, 8х1 — х2+2хз+4ха = 0; 11х1+ 2х2 - хз - ха = О, 2) 8х1 — хз+2хз — 4х4 = О, бх1 + Зхз '1хз + бх4 Зх1+ 5х2+ хз+ Зх4+ 11хз = О, 4х1+7х2+2хз+5х4+16хз = 0; 4) 5х1+ 24х2 — 7хз — Зха = О, — х1 — 2х2+7хз+Зх4 = О; 5) Система уравнений имеет матрипу а) Азтз, б) Аззз.
26.16. Подпространство С задано в базисе е с матрицей Грама Г системой линейных уравнений Аа = о: ~ еб. Геометр л евклидова пространства 251 26.17. Пусть ам ..., аь -- базис подпространства Е, и координатные столбцы векторов ам ..., аь в базисе е пространства Е составляют матрнпу А. Дана матрица Грама Г базиса е; 1 1 1) А =~~ 1 1 2 ~(, Г = Авот; 2) А = 2 О, Г = Азвв,' 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 3) А= 1 1, Г=Азвв,' 1 2 4) А= Г =А4ы Найти а) базис в .С.е; б) систему уравнений подпространства Е 26.18.
В пространстве квадратных матриц со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение подпространства 1) матриц со следом, равным нулю; 2) верхних треугольных матриц. 26.19. В пространстве многочленов степени не выпас п со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение подпространства многочленов четной степени. 26.20.
Пусть евклидово пространство б . прямая сумма подпространств Е, (е = 1, ..., в),и х = х~,х, у = ~ у; (х;, у; 6 Е Е;). Доказать,что подпространства Е; попарно ортогональны, если (х, у) = 2 (х;, у,) для любых х и у. 26.21. 1) Для нахождения коэффициентов разложения вектора 6 по векторам а~ и ао составлена система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными. Установить, что теорема Фродгольма для этой системы равносильна следующему (геометрически очевидному) утверждению: вектор 5 раскладывается по а~ и ао тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору у, ортогональному этим векторам. 2) Доказать теорему Фредгольма, пользуясь результатом задачи 26.5, 3). Ортогональные проекции (26.22 — 26.41) 26.22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
