1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 42
Текст из файла (страница 42)
24.30. Линейное преобразование вещественного и-ъюрного линейного пространства задано своей матрицей. Вычислить 220 Гл. й. Лииейные отображения и преобразования 5) Алв; 10) А4д, 14) Азд1', 15) 19) Адд4., 20) 24) А, з, 25) 29) Адв7; 30) Аддд, Адат; Адзз,. Адвз; 2) Азо, 3) 6) Атт, 7) собственные значения и найти максилеальную линейно неза- висимую систему собственных векторов преобразования. Ес- ли найденная система векторов образует базис, записать в нем матрицу преобразования и выяснить геометрический смысл преобразования: п=2: 1) А4в; 2) А44; 3) Азо; 4) А47; 6) А1з, '7) А1д, 8) Аз, '9) Азо, п=З: 11) Адн'; 12) Ад4з; 13) Авдо, 16) Аддз. 17) Адд4; 18) Аддз, 21) Адов', 22) Аддт, '23) Адов', 26) Адзо, 27) Адз;; 28) Аддз; п= 4: 31) А477; 32) А4тд', ЗЗ) А4во', 34) А4в4', 35) А4вд,' 36) А44д, 37) А4вз, 38) А4в4, 39) А4вз, 40) Ааод.
24.31. Линейное преобразование комплексного п-мерного линейного пространства задано своей матрицей. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования в этом базисе: п= 2: 1) Адо', Авд; 4) Атд (е = е~ ч ~); 5) Ада; Атв (е = е~ чз); 8) Авт; п= 3: 9) Адзд, 10) Адвд' 11) Адвз 12) Азоо', 13) Азоб 14) Адво; 15) Азьз (ы=е~ чз); 16) Авто, .17) Азтт, п= 4: 18) А4зд 19) А447, 20) А4во, 21) А47д. 24.32. Найти собственные значения и максимальную ли- нейно независимую систему собственных векторов линейного преобразования, заданного своей матрицей. Обьяснить, поче- му преобразование не диагонализируемо: 1) Аы; 2) Азд; 3) Адвв; 4) Азов; 5) Адвд; 6) Абазе', 7) А4зт' ,8) Алвт', 9) Азлв. 24.33. Найти характеристические числа линейного преоб- разования, заданного своей матрицей.
Выяснить, диагонализи- русмо ли преобразование: а) в вещественном пространстве, б) в комплексном пространстве. Если да, то найти базис из соб- ственных векторов и записать в нем матрицу преобразования, в противном случае указать, какое из необходимых условий диа- З ео. Собственные векторы и собственные значения 221 гонализуемости не выполнено: 1) А55; 2) Атт; 3) А259; 4) А44. :5) А255; 6) Аоз, 7) Аззо, 8) Аззо, 9) Азтз, 10) А514. 24.34. Решить задачу на собственные значения и собственные векторы и указать диагональный вид матрицы линейного преобразования, заданного в стандартном базисе; вещественного и-мерного арифметического пространства; 1) А504; 2) А521 (и = 2т); 3) А525, 4) А522, 5) А540; 6) .45зо; 7) А554; 8) А520; 9) Аооо (Л1=...=Л,„=1, Л .+1=...=Л„=2; ги=((и+ + 1)/2]); 10) А505'(Л1= =Л .=1,Л т1=...=Л„=О; т=((и+ + 1)/2]); комплексного и-мерного арифметического пространства: 1Ц Аооз (Л1=".=Л =1 Л +1=".=Л = — 1' т = ((и+ 1)/2]); 12) А514, :13) Аозз.
24.35. Найти характеристические числа матрицы; 1) ~490~ 2) .1496 3) А492~ '1) А549~ 5) ~550~ 6) Аозз, 7) А545., 8) А542., 9) А545 (и - нечетно). 24.36. Вычислить: о 1) 2"+1П сов; 2) и+1 5=1 3) ~ ~е~, где е = е2 чн, я=о сов кй и+1 9=1 и = 2т+1: (е~ — ез), где е = ез "~н, и = 2т+ 1. ') П 0-1<1< -1 24.38. 1) Матрица Аззз подобна одной из матриц: — Е, .?з( — 1), Й1ая( — 1, .72( — 1)). Какой именно? 24.37. 1) Одна из матриц Азат, А259 подобна матрице Р = = 61а8(1, 1, — 1).
Какая именно? Ответ обосновать, не находя собственных векторов и характеристических чисел. 2) Матрица Р = 61ая(1, 1, О) подобна одной из матриц Аззо, А255. Выяснить, какой именно, не находя собственных значений и собственных векторов. 3) Из двух матриц А504, Азоз одна подобна матрице Р1 = = Жай(1, — 1, О), а другая — — матрице Р2 = 61ай(1, 1, О). Выяснить, какая именно, без вычисления собственных значений и собственных векторов. 222 Гль 9.
Линейные огаобрахсения и преобразования 2) Одна из матриц А4зп Аезя, А4яз подобна матрице Х~(0). Какая именно? Задачи 24.39 24.41 решить как задачи на собственные векторы и собственные значения 24.39. Треугольники АВС и А'В'С' подобны (с коэффици- ентом подобия Л). Если длины сторон треугольника АВС рав- ны а, Ь, с, то соответству1ощие стороны треугольника А'В'С' имеют длины За+6+с, а+36+с, а+Ь+Зс. Доказать, что треугольники правильные,и найти Л.
24.40. Сумма различных натуральных чисел иы пг, из, п4 равна 18. После того как их увеличили в одинаковое чис- ло Л раз, получились чишеа п1 + пг + пз + п4, п1 + пг — пз — п4, п1 — пг + пз — п4, п1 — 2пг — пз + Зп4. Найти иы пг, пз, п4, Л. 24.41. Последовательность 1х„1 задана рскуррентной 2 1 формулой: х„.ьз = — х„+ — х„1 (и= 1, 2, ...); хо = а, х1 = 6. Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел. 24.42. Найти собственные значения и собственные векто- ры (собственные функции) дифференцирования Р как линей- ного преобразования каждого из следующих линейных пространств вещественных функций (и фиксированное на- туральное число): 1) пространство всех многочленов степени не выше п; 2) пространство всех тригонометрических многочленов ви- да г 1г) = ив + а1 соя1+ Ь1 вша+...
+ а„сов п1+ Ь„яшп1; 3) линейная оболочка системы функций е~1е, ..., е""', где Лы ..., Л„попарно различные числа. 4) пространство всех функций вида еа"р(Й), где р(е) лю- бой многочлен степени не выше п, Ле -" фиксированное число (л р': о). 24.43. Найти собственные значения и собственные векто- ры преобразования Рг в пространствах функций задачи 24.42. 24.44. Проверить, что функции вида у = е'р(е), где р (е) многочлен не выше второй степени, образуют линейное про- странство ь. Убедиться в том, что ег — — линейное преобразо- вание пространства ь", и решить для у задачу на собственные значения и собственные векторы: 1) Зг (у) = уо — 2у'+ у, т. Е.
р = Рг — 2Р+ ц Рз 2Рг. З),р Рз ЗРг+ ЗР+, З 24. Собсолвенные векторы и собснзвенные значения 223 24.45. Проверить, что функции вида у = е' '(аспект+ бяп1) образуют линейное пространство М и что преобразование ез = = р(Р), где р(г) — данный многочлен, Р—. дифференцирование, является линейным преобразованием пространства М. Решить для со задачу на собственные значения и собственные векторы, если: Ц р(1) = (~+1)' 2) рЯ = Р— 1. 24.46. Н линейной оболочке функций сов21, яп21, 1сов2~, 1яп21 задано линейное преобразование ез = р(Р), где р®вЂ” многочлен, Р дифференцирование. Решить для ~р задачу на собственныо значения и собственные векторы, если: 1) (~) ~2+ 4. 2) (~) ~4+ 812 24.47. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования ~р пространства вещественных многочленов р (е) не выпзе второй степени, если; 1) ез(р) = 1р', 2) ео(р) = (1р)', 3) у (р) ~2ро 1р + 2р 24.48.
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования дифференцирования в пространстве функций, бесконечно дифференцируемых на всей числовой прямой. 24.49. Пусть Š— множество функций у(~), бесконечно дифферснцируемых на отрезке [О, х] и таких, что у(О) = = у(я) = О. Ц Проверить, что Е линейное пространство. 2) Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования ~р пространства Е, заданного формулой ео(у) = у". 24.50. Пусть А,  —. квадратные матрицы, и матрица [[А С,' диагонализируема. Доказать, что матрицы А, В диа- 'П гонализируемы. Показать на примере, что обратное утверждение неверно.
24.51. Зафиксируем вещественный многочлен ро(1) степени т (т) 1). Любой многочлен р(1) можно разделить на ро(Ф) с остатком, т. е. однозначно представить в виде р( ) = И )ро( )+с О (4) (степень остатка г (1) меньше степени ро(1)). Преобразование со пространства Р всех вещественных многочленов определим форллулой ~р(р(1)) = г(1). 224 Гл. 9. Линейные огпображессия и преобразования 1) Показать, что преобразование ~р линейно и у~ = со. 2) Найти собственные значения и собственные векторы преобразования ~р. 3) Доказать, что формула (4) дает разложение пространства Р в прямую сумму собственных подпространств.
24.52. Пусть со операция взятия остатка от деления на многочлен реф (см. задачу 24.51) в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования ~р в этом базисе, если: 1) реИ) = ~; 2) ро(1) =1 + 1; 3) ро(1) = И вЂ” 1) 24.53. В пространстве Еп~п квадратных матриц порядка и рассматривается операция транспонирования т: А э Ат. Проверить, что т линейное преобразование и тэ = с.
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования т. Разложить пространство Я.„х„в прямую сумму собственных подпространств преобразования т. 24.54. Множество комплексных матриц порядка п рассматривается как вещественное линейное пространство А4 размерности 2гс~. я — т 1) Проверить, что операция и: А — + Ао = А эрмитова сопряжения матрицы является вещественным линейным преобразованием пространства А4, причем и 2) Найти собственные значения и собственные векторы преобразования г1. 3) Показать, что преобразование ц не является линейным преобразованием комплексного пространства С„я,„.
24.55. Пусть А матрица второго порядка. Формула ~р (Х) = АХ определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка (задача 23.47). Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования со. В случае, когда эта система является базисом, записать в нем матрипу преобразования ~р: 1) А = Аае; 2) А = Аэз; 3) А = Аээ (в пространстве комплексных матриц).
24.56. Решить задачу на собственные значения и собственные векторы для преобразования со(Х) = ХВ пространства матриц второго порядка, если: 1) В = Азе, 2) В = Аы (пространство вещественное); 3) В = Ааэ (пространство комплексное). З е4. Собстпвенные венпоры и собснлвенные значения 225 24.57.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
