1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

3) А= 24.91. Доказать, что квазисобственное подпространство не содержит собственных векторов, и через каждый его вектор проходит двумерное инвариантное подпространство. 24.92. Доказать, что размерность квазисобственного подпространства четное число. 24.93. Доказать, что квазисобственное подпространство можно разложить в прямую сумму двумерных инвариантных подпространств. 24.94. Доказать,что размерность квазисобственного пространства не превосходит удвоенной кратности соответствующего характеристического числа. 24.95. Доказать, что в двумерном инвариантном подпространстве преобразования р, не содержащем собственных векторов, можно выбрать базис так, что матрица ограничения у будет иметь вид о 11 24.96.

Доказать, что любое двумерное инвариантное подпространство, не содержащее собственных векторов, лежит в некотором квазисобственном подпространстве. 24.97. Доказать, что любые два квазисобственные подпространства имеют нулевое пересечение. 24.98. Доказать, что собственные и квазисобственные подпространства линейного преобразования расположены так, что сумма их — прямая сумма. 24.99. Для каждого из преобразований задачи 24.90 найти матрипу перехода к такому базису, в котором его матрица клеточно диагональная, и найти матрицу преобразования в этом базисе. 1В каждом случае найти хотя бы одно решение.) 24.100.

1) Пусть линейное преобразование р и-мерного линейного пространства Е обладает цепочкой вложенных друг З е4. Собетпветстсые вентпоры и еобетпвентсые зтсвчетсия 231 в друга попарно различных инвариантных подпространств: Ет с Ез с... с Еп = Е. Доказать, что в Е существует базис, в котором матрица преобразования тр верхняя треугольная. 2) Пусть в базисе ет, ..., е„матрица линейного преобразования со пространства Е верхняя треугольная.

Доказать, что подпространства Еь = Е(ет, ...,еь'т (Й = 1, ..., и) инвариантны относительно тр и Еь С Еь4т (й = 1, ..., п — 1). 24.101. Линейное преобразование пространства тсз задано матрицей А в стандартном базисе. Привести матритту преобразования к треугольному виду, если; 1) А = Аз4с; 2) А = Аззз; 3) А = Аззз, '4) А = Азвз.

24.102. 1) Пусть Ет С Ез С ... С Е, = Е цепочка подпространств линейного пространства Е, инвариантных относительно линейного преобразования тр, т11шЕс = нс (нт < нз < ... ... < п, = и). Допустим, что базис еы ..., е„выбран так, что векторы ет, ..., етн принадлежат .Сс (с = 1, ..., г), Показать, что матрица А~ — верхняя блочно треугольная с диагональными блоками размеров йс х Ц, где Щ = и, — и, т (с = 2, ..., г), йс =нс.

2) Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования верхняя блочно треугольная. Доказать, что преобразование обладает цепочкой инвариантных подпространств. Выразить их размерности через порядки диагональных блоков. 24.103. Пусть Š— линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций 1 (т) (е Е К), п целое неотрицательное число, Л -- фиксированное действительное число.

Доказать, что данное множество функций образует подпространство в Е, инвариантное относительно дифференцироваетия Р: 1) множество всех многочленов; 2) множество всех многочленов степени не вылив и; 3) множество всех тригонометрических многочленов порядка не выше и; 4) множество всех линейных комбинаций функций ел", ... л„с. 5) множество всех функций Г" (1) = елср(1), где р(1) произвольный многочлен; 6) множество всех функций 1 (1) = е 'Т(с), где Т(с) произвольный тригонометрический многочлен; 232 Гли У. Линейные огпобрахсепия и преобразования 7) множество всех функций р(г) сов~, р(г) яппи, где р(г) произвольный многочлсн. 24.104. Пусть Е линейное пространство функций задачи 24.103, ~р =.0~.

Доказать, что данное множсство функций является подпространством в Е, инвариантным относительно преобразования у. Найти собственныс значения и собственные векторы ограничения преобразования на этом подпространстве: 1) множество всех четных многочленов степени не выше 2п; 2) множество всех нечетных многочлснов степени не выше 2п+1; 3) множество всех четных тригонометрических многочленов ао+ а~ сов1+...

+ а„совп$:, 4) множество всех нечетных тригонометрических много- членов Ь~ япЬ+... + Ьпяппй. 24.105. Найти все подпространства линейного пространства всех многочленов, инвариантные относительно дифференцирования. 24.106. Показать, что линейное преобразование пространства всех многочленов, состоящее в умножении многочленов на 1, не имеет ни собственных векторов, ни инвариантных подпространств (кроме нулевого подпространства и всего пространства) . 24.107.

Найти подпространства, инвариантные относительно операции взятия остатка (см. задачу 24.31) в пространстве всех многочленов. 24.108. Пусть ~о .- линейное преобразование пространства многочлснов р(х, у), определенное в задаче 24.61. Доказать, что подпространства однородных многочленов степени и, (и = = О, 1, ...) инвариантны относительно преобразования ~р. 24.109.

Найти надпространства линейного пространства матриц порядка п, инвариантные относительно транспонирования. 24.110. В пространстве Л.„х„ рассматривается преобразование у (Х) = АХ, где А — фиксированная матрица. Доказать, что Е„х„является прямой суммой и подпространств, инвариантных относительно ~р. 24.111. В пространстве Е„х„рассматривается преобразование ~р(Х) = АХ вЂ” ХА, где А .— фиксированная матрица. До- ~ е4. Собетпветтттые вентпоры и еобсптвенттые зттачеттия 233 казать, что данное множество образует инвариантное относительно р подпространство: Ц множество всех матриц с нулевым следом; 2) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); 3) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А кососимметрическая); 4) множество всех диагональных матриц (если матрица А диагональная) .

24.112. Линейное преобразование тр пространства Я.„,„ вещественных матриц порядка п определено формулой д (Х) = = АгХ+ХА, где А фиксированная матрица. 1) Доказать, что кососимметрические матрицы образуют подпространство в Я.„н„, инвариантное относительно преобразования у; 2) выразить характеристические числа ограничения тр на атом подпространстве через характеристические числа матрицы А.

24.113. Линейное преобразование пространства матриц порядка н определено формулой ~р(Х) = А ~ХА, где А невырожденная матрица. Доказать, что данное множество матриц является подпространством, инвариантным относительно преобразования д: 1) множество всех матриц с нулевым следом: 2) множество всех скалярных матриц; 3) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); 4) а) множество всех сиътметрических матриц: б) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А ортогональная); 5) а) множет:тво всех зрмитовых матриц; б) множество всех косоэрмитовых матриц (если А унитарная матрица н если зти множества подпространства 2п~-мерного вещественного пространства комплексных матриц порядка и). 24.114.

Линейное преобразование тр комплексного пространства матриц второго порядка задано формулой ~р(Х) = = А 'ХА, где А = Атт, ет вещественное число. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования тр на подпространстве; 1) симметрических матриц; 2) матриц с нулевым следом. 234 Гл. й. Линейные ви1вбражеыил и преобразования .еКорданова форма матрицы (24.115 — 24.138) 24.115. Привести пример матрицы порядка п > 1, имеющей характеристическое число Л кратности й, 1 ( й < п, и собственное подпространство размерности т.

Сколько жордановых клеток отвечает этому Л, и чему равна сумма порядков этих клеток? 24.116. Проверить прямым вычислением терему Гамильтона Кэли для данной матрицы и определить ее минимальный МНОГО 1ЛЕН: 1) Азт, .2) Аза, .3) Аээ,. 4) Ааэ,. 5) Ава; 6) Аэээ; 7) Аэээ; 8) Аээв. 24.117. Может ли минимальный многочлен матрицы порядка п 1) быть многочленом первой степени; 2) иметь вид (1 — Л)". Привести примеры. 24.118.

1) Показать, что собственный вектор является корневым. Чему равна высота собственного вектора? 2) Доказать, что матрица, линейного преобразования тогда и только тогда диагонализуема, когда высота каждого корневого вектора равна 1. 24.119. Доказать, что корневые векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

24.120. Пусть К1 и Кэ корневые подпространства, отвечающие собственным значениям Л1 ф Лэ. Доказать, что Кэ инвариантно относительно ~1 = 1р — Л11, и ограничение ф1 на Кэ невырождено. 24.121. Доказать, что размерность корневого подпространства равна кратности соответствующего собственного значения как корня характеристического многочлена. 24.122. Доказать линейную независимость векторов жордановой цепочки.

24.123. Доказать, что начальные векторы жордановых цепочек, составляющих базис корневого подпространства, образуют базис соответствующего собственного подпространства. 24.124. Пусть размерность собственного подпространства, соответствукнцего характеристическому числу Л, меньше кратности Л. Каждый ли собственный вектор имеет присоединенный вектор? 8 84.

Характеристики

Список файлов решённой задачи