1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Доказать, что базис ортонормированпый. 27.18. В матрице Грама некоторого базиса: 1) ко всем элементам главной диагонали прибавили вещественное число сВ; 2) к некоторым элементам главной диагонали прибавили положительное число сВ; 3) переставили две строки; 4) переставили две строки, а также два столбца с теми жс номерами, что и у строк. Осталась ли матрица эрмитовой, может ли она быть матрицей Грама какого-либо базиса? 27.1Я. Доказать, что детерминант матрипы, составленной из попарных скалярных произведений некоторой системы векторов — вещественное неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда эта система векторов линейно зависима.
27.20. Доказать, что для любой комплексной матрицы К8АтА ВяА 27.21. Выбрать из банка унитарные матрицы, не являю- щиесяК вещественными ортогональными матрицами. 27.22, Написать какую-нибудь унитарную матрицу третьего порядка. 27.23. Описать все треугольные унитарные матрицы. 27.24. Может ли унитарная матрица четвертого порядка содержать строку; 1)))г — 1г — В)(; 2)( О О 2 2 1+г 1 — г — 1+г — 1 — А ,6 ,8 ,6 ,6 27.25.
Пусть А и В . вещественные квадратные матрицы порядка аь Из них можно составить комплексную матрицу С = = А+ гВ и веществснную матрицу порядка 2п П +ВА Доказать, что: 264 Г х 1О. Евнлидавы и унитарные пространства 1) С эрмитова тогда и только тогда„когда Р симметрична; 2) С унитарна тогда и только тогда, когда Р ортогональна. Ортогональность 27.26. В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти базис в ортого- нальном дополнении подпространства, заданного системой ли- нейнь>х уравнений: 1) х>+гхз = 0,: 2) х> + гхз + (! — г)хз = 0; — гх> + (2+ г) хз — хз = 0; 3) однородная система с матрицей Азтг, 4) однородная система с матрицей Азвз', 5) однородная система с матрицей Азтз.
27.27. В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти базис в ортого- нальном дополнении подпространства, натянутого на следую- щие векторы: 1) ))! >)); 2) )! — х 1 1+к(/; 3) )/! — г 1)(, ()4 1 О)! 4) столбцы матрицы Азтз; 5) столбцы матрицы Азез. 27.28. При помощи процесса ортогонализации построить ортонормированный базис в линейной оболочке заданных век- торов комплексного арифметического пространства со стан- дартным скалярным произведением: 1) 51 г'5, (/! 1/); 2) 52 — г г'5, )/4 — г 2 — 31(! 3) 51 г 1)(, !)2 — г г — 1 2/! 4) 51 г 1)(, )/г 1 О/), )/ — 1 0 1)/ 5) 51+а 2+1 1 — г/(, )/ — 2 4+4 1 — г5, /)! 2+! 2 — г)! 27.29.
В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти ортогональную проекцию вектора х на линейную оболочку векторов а>, ..., аь> 1) х=((! — 1((, а=((1 — 1((; 2) х=((2+г 0 2 — 4(), а=)! — 1 г 1+4(! 3) х=!)2+г 4 2 — г)(, а> ='51 г 15, аз =!)г 0 — г() 4) х=((1+в 1+г 1(), а> =)! — 1 г 1(! аз =)(1+э 1 — г О!) 5) х = с>зо, а> = с>з4, аз = с>зз. Глава 11 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И 'УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ В этой главе используются следующие основные понятия: преобр зование, сопрязкенное данному линейному преобразованию, мосопряжеиэое преобразование, ортогональное преобразование, нормальное преобразование, .унитарное преобразование, полярное разлозкение линейного преобразования, сингу ярюые числа преобразования, слтгулярные базисы преобразования.
Определения ортогонального проектирования и ортогонального отражения даны во введении к гл. 10. Везде, где не оговорено противное, отражение и проектирование будут предполагаться ортогональными. Преобразование р* называется сопряженным линейному преобразованию р, если для любых векторов х и у выполнено равенство ('р(х), у) = (х, р'(у)). У каждого преобразования существует единственное сопряженное преобразование. Его матрица в базисе е определяется по матрице А преобразования д формулой А* = Г 1АтГ, если пространство евклидова, н формулой А* = Г 1АзТ в унитарном пространстве.
Г здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если базис ортонормированный, эти формулы принимают, соответственно, вид А' = А и А* = Ат'. Линейное преобразование р как в евклидовом, так и в унитарном пространстве называется самосопря.женным, если ~р = у'. В ортонормированном базисе ого матрица симметрична в случае евклидова пространства и эрмитова в случае унитарного.
Все корни характеристического уравнения самосопряженного преобразования вещественны, и существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Самосопряженное преобразование ~о называется положительным (неотрицательным), если (р(х), т) ) 0 (соответственно ) О) для любого ненулевого вектора х. Линейное преобразование р евклидова пространства называется ортогона ьным, если оно сохраняет скалярное произведение: (~р (х), ео(у)) = (х, у).
В унитарном пространстве преобразования, сохраняющие скалярное произведение, называются унитарными. В ортонормированном базисе матрица ортогонального преобразования является ортогональной, а унитарного преобразования унитарной. Сопряженное для ортогонального или унитарного преобразования является ему обратным. 266 Гл. П. Преобразован л евклидввых и унитарных пространств Егти р — ортогональное преобразование,то найдется ортонормированный базис, в котором его матрица имеет следующий вид: на ее главной диагонали расположены либо числа +1 и — 1, либо подматрицы второго порядка, а остальные элементы матрицы равны нулю. При этом подматрипы второго порядка имеюг вид сова — вша ~ вша сова то есть, являются матрицами поворота плоскости в ортонормированном базисе. Базис, в котором матрица ортогонального преобразования имеет описанный выше вид, называется каноническим базисом.
Линейное преобразование, перестановочное со своим сопряженным, называется нормальным. Соответственно, матрица А называется нормальной, если А А = ААн. Самосопряженные и унитарные преобразования являются нормальными. Если р — нормальное преобразование унитарного пространства, то существует ортонормированный базис из собственных векторов р. В частности, это относится к унитарным преобразованиям. Для евклидова пространства аналогичное утверждение не верно. Например, у ортогонального преобразования в общем щтучае базиса из собственных векторов нет.
Линейное преобразование р евклидова пространс гва может быть разложено в произведение Ута, где в — ортогональное, а ф— неотрицательное самосопряженное преобразование. Такое разложение р называется полярным разложением. Собственные значения преобразования ут носят название сингуляряых чисел преобразования 1а. Ортонормированный базис из собственных векторов т)т и его образ при преобразовании 0 это сингулярные базисы преобразования 1з.
В некоторых задачах решение не единственно, например, искомый базис определен не однозначно. В таких случаях приводится один из возможных ответов. В З 28 и З 29 пространство предполагается евклидовым, а в З 30— унитарным. й 28. Примеры линейных преобразований евклидова пространства. Сопряженное преобразование Примеры (28.1 — 28.9) 28.1. Пусть аы ..., аь ортонормированный базис в подпространстве ь с б'. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе е пространства с составляют матрицу А. Написать в базисе е матрипу 1) ортогонального проектирования на пространство Г.; 2) матрицу отражения в подпространстве,С. З 28.
Примеры преобразований евклидова проептрапетпва 267 28.2. Пусть ат, ..., аь — базис в подпространстве Е С Е. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе е пространства Е составляют матрицу А. Написать в базисе е матрицу; 1) ортогонального проектирования на подпространство Е; 2) матрицу отражения в подпространстве Е. 28.3. Пусть ат, ..., аь базис в подпространстве Е с Е. Координатные столбцы этих векторов в базисе е пространства Е составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е.
Написать в базисе е матрицу: 1) ортогонального проектирования на подпространство,б; 2) матрицу отражения в подпрострапстве Е. 28.4. 1) Дан вектор а, и подпространство Е с Е задано уравнением (а, х) = О. Найти образ вектора х при отражении в Е и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора а в ортонормированном базисе.
2) Пусть даны вектор х и вектор у длины 1. Найти (и — 1)- мерное подпространство, при отражении в котором т переходит в вектор Лу (Л > О). Чему равно Л? 28.5. Найти матрицу отражения в (и — 1)-мерном подпространстве, переводящего вектор х в вектор д. Векторы заданы своими координатными столбцами 1, и тт в ортонормированном базисе: 1) Е, = )) 1 2 )), т1 = )! 2 1 (! 2) ~ = )) — 1 2 )), т1 = )! 1 — 2 (! 3) а= ~!1 1 1!~т =!!1 -1 1!~т.
4) ~= )) 2 1 — 2 (), тт = )! О 3 О )! 5) Е, = )) 1 О 2 1 ((, т1 = )) 2 — 1 1 О () 28.6. Выяснить геометрический смысл преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей: 1) (1т'2) Алов; 2) (1тт3) Ааоз', 3) (1тт18) Азаб 4) А4зо', 5) Аззт 28.7. Рассматривается четырехмерное евклидово пространство и ортонормированный базис е в нем. Во всех случаях поворот производится в направлении от первого из указанных векторов ко второму.
Написать матрицу: 1) поворота на птт2 в линейной оболочке Е векторов ез + ез и ет — е4 (векторы Е неподвижны); 2) поворота на птт4 в линейной оболочке Е векторов ет + е4 и ез — ез (векторы Е неподвижны); 268 Гл. 11. Преобразован л евилидовых и унитарных пространств 3) поворота на и/6 в линейной оболочке Е векторов е1 — ез и ез — е4 (векторы Е неподвижны); 4) поворота на и/4 в линейной оболочке,б векторов е1+ ео и ез+е4 и на и/4 в линейной оболочке Е векторов ез — е4 и е1 — ез.
28.8. Пусть ~п ..., ~ и дп ..., д — две системы векторов в н-мерном евклидовом пространстве. Их координатные столбцы в ортонормированном базисе составляют, соответственно, матрицы Г и С. Найти матрицу преобразования 28.9. В подпространствах А, Б с Е выбраны ортонормированныс базисы ап ..., аь и дп ..., д . Вектор х Е А проектируется на И, а затем полученная проекция проектируется на А. Этим определено преобразование подпространства А. Найти его матрицу в базисе ап ..., аь. Доказать, что собственные значения этого преобразования принадлежат отрезку ~0, Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
