1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Преобравованил евнлидовых и унитарных пространств 4я 7у такого, 5/2 31'2 3/2 5/2 19 3 3 3 19 3 3 3 19 3) А= 1) А=А47', 2) А= 29.34. Пусть собственные значения самосопряженного преобразования д пронумерованы так, что Л1 > Ло » ... Л„. 1) Доказать, что (~о(х), х) офсет (х! ных проектирований на попарно ортогональные одномерные подпространства. 29.26. Самосопряженное преобразование со задано в ортонормированном базисе матрицей А.
Разложить ео в линейную комбинацию ортогональных проектирований на попарно ортогональные подпространства: 1) А = А~74 2) А = А17в; 3) А = Азв4. 29.27. Доказать, что самосопряженныс преобразования ~о и 7р равны тогда и только тогда, когда (у (х), х) = (7р (х), х) для любого х Е Е. 29.28. Доказать, что самосопряженное преобразование ~р положительно (нсотрицательно) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны (соответственно неотрицательны). 29.29. Доказать, что положительное самосопряженное преобразование может быть разложено на произведение п сжатий по попарно ортогональным направлениям. 29.30. Разложить в произведение трех сжатий по попарно ортогональным направлениям 1иначе к трем попарно ортогональным плоскостям) преобразования, заданные в ортонормированном базисе матрицами 1) А174, 2) А174.
29.31. Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование имеет обратное тогда и только тогда, когда оно положительно. 29.32. 1) Доказать, что для неотрицательного самосопряженного преобразования ео найдется неотрицательное самосопряженное преобразование ф такое, что фз = ~р. Необходима ли неотрицательность у? 2) Доказать, что преобразование ф однозначно определено.
29.33. Преобразование ео задано в ортонормированном базисе своей матрицей. Найти матрит7у положительного свмосхн пряженного преобразован7 чтоф =во: ~ вв. Сал>осопряжеп»ь>е и орп>огонольпые прео5равооапия 275 2) Доказать, что (>р (х), х) >>>х>~ = Л> (или Л„), тогда и только тогда, когда х собственный вектор, принадлежащий Л> (соответственно Л„). 29.35. Доказать, что диагональные элементы симметрической матрицы заключены между ес минимальным и максимальным характеристическими числами. 29.36. Пусть А симметрическая матрица, Л> и Л„ее максимальное и минимальное характеристические числа, а р> и >те максимальное и минимальное характеристические числа ее диагональной подматрицы ).
Доказать, что Л» р» пь > > Л„. 29.37. Пусть >>> линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что: 1) преобразования >р*>р и >р>р' -. неотрицательные саъюсопряженные. 2) Кег>р*от = Кег>р и 1гп>р*>р = 1птсо*. 3) пь >>' >>о = пь >»»> = Кь >о 4) собственные значения и их кратности у преобразований »»» н»»>>* совпадают. Ортогональные преобразования (29.38 — 29.51) 29.38.
Пусть преобразование»> изометричпо, т.с. (р (х), со (у) ) = (х, у) для любых векторов х и у. Доказать, что >о линейно и взаимно однозначно. 29.39. Доказать, что ортогональные преобразования евклидова пространства Е образуют группу относительно обычной операции умножения преобразований. 29.40. 1) Убедиться, что сумма ортогональных преобразований в общем случае не является ортогональным преобразованием.
2) Является ли ортогональным преобразованием произведение ортогонального преобразования на число? 29.41. Доказать, что для любых двух векторов одинаковой длины найдется ортогональное преобразование, переводящее первый вектор во второй. 29.42. Доказать, что для любых двух ортонормированных базисов найдется ортогональное преобразование, переводящее первый базис во второй. 1 ) Подматрица диагональна, если ее главная диагональ — подмножество главной диагонали матрицы 276 Гл. 11.
Преобразования евнлидовых и унитарных пространств 29.43. Доказать, что преобразование из задачи 28.23 является ортогональным тогда и только тогда, когда матрица А ортогональна. 29.44. В евклидовом пространстве выбран базис с матрицей Грама Г. Найти условие на матрицу линейного преобразования, необходимое и достаточное для того, чтобы это преобразование было ортогональным. 29.45. Может ли ортогональное преобразование в некотором базисе иметь матрипу: 1) Апь 2) А34? 29.46.
Ортогональное преобразование арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы А в столбцы В. Как связаны матрицы А и В? 29.47. Линейное преобразование ~р арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы А в столбцы ълатрицы В. Является ли 9? ортогональным; 4 2 8 2 1 — 1 2) А = А44, В = А34; 1) А= О 1 О , В=1 1-1-3 339.
29.48. Пусть х1, ..., хь и уы ..., уь — векторы п-мерного евклидова пространства, и ортогональное преобразование 9? таково, что у(х,) = у,, 4 = 1, ..., Й. Доказать, что это возможно тогда и только тогда, когда матрицы из попарных скалярных произведений обеих систем векторов равны. 29.49. Пусть Е инвариантное подпространство ортогонального преобразования 9?. Доказать, что Е~ --. также инвариантно относительно ~р. Как этот результат связан с задачей 25.55? 29.50.
Ортогональное преобразование задано в ортонормированном базисе матрипей А. Найти матрипу В перехода к каноническому базису и матрипу А' преобразования в этом б 3) А414'., 1 1 3 3)А= О -1 — 6 — 1 1 О 4) А=А333 В=А азисе: 1 — 2 у?2 1 1 ' 4 — — 3 — у6 — 3 — 1 у6 у'6 — ъ'6 2 г г9. Самосопрялсепньг и ортогональные преобразования 277 00000 — 1 10000 О О1ООО О~ ОО1ОО О~. ООО1О О) ОООО1 О~ 29.51. Доказать, что преобразование у*у ортогонально тогда и только тогда, когда ортогонально ~р.
Полярное разложение 29.52. Почему не является полярным разложением равен- 50 01 45 45 10 50 29.53. Получить полярное разложение матрицы ) хЗ вЂ” 2 о /з 7 7 5 0 4 3 ь2 1 О 2 11 10 — 2 5 2) 0 0 4 — 3 5) 29.54. В пространстве Рг многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением преобразование б сопоставляет многочлену его производную. Для полярного разложения д написать в базисе 1, 1, г" матрипу Я ортогонального и матрипу $' самосопряженного преобразования. 29.55. Доказать, что для произв<иьного линейного преобразования ~р существует вторая форма полярного разложения: ~р = ф0, где ф — неотрицательное самосопряженное преобразование, а 0 — ортогональное. 29.56. Доказать, что для квадратной матрицы А найдутся такие ортогональные матрицы Я и Р, что А = ЯРР, где Р диагональная матрица с сингулярными числами матрицы А на диагонали.
29.57. 1) Доказать, что каково бы ни было полярное разложение у = 0ф, ортогональное преобразование 0 переводит собственный вектор преобразования р*д в собственный вектор снр*. 2) Доказать, что второй сингулярный базис состоит из собственных векторов преобразования р~р*. 29.58. Пусть д — невырожденное преобразование, и ~р = 0ф = ф10м где ф, ф~ неотрицательные самосопряженные, а О, 01 "- ортогональные преобразования. 278 Гл. 11. Преобразования евнлидовых и унитарных пространств 1) Доказать, что д = Оь 2) Как связаны зр и уч? 3) Доказать, что собственные значения уз и уз1 одинаковы, а собственные векторы, вообще говоря, различны.
29.59. Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование зр в полярном разложении р = Оуз определено одиозна ено. 29.60. Доказать, что для невырождснного преобразования полярное разложение единственно. 29.61. Доказать, что линейное преобразование является нормальным тогда и только тогда, когда перестановочны сомножитсли в его полярном разложении. 29.62. Доказать, что сингулярные числа самосопряженного преобразования равны модулям его собственных значений.
29.63. Найти сингулярные числа ортогональной матрицы. 29.64. Пусть сем ..., сс„сингулярные числа невырожденной матрицы А. Найти сингулярные числа А '. 29.65. Матрица умножена на число се. Как изменились ее сингулярные числа? 29.66. Доказать, что у преобразования уз и ему сопряженного р* сингулярные числа совпадают. 29.67. Доказать, что сингулярные числа матриц А и В совпадают тогда и только тогда, когда найдутся ортогональные матрицы П и Г такие, что В = ПАЪ'. 29.68. Доказать, что для линейного преобразования сз отногпение ~уз(х)~/~х~ при любом ненулевом векторе х заключено между минимальным и максимальным сингулярным числом ~р.
29.69. Доказать, что модули всех собственных значений преобразования сз принадлежат отрезку [оп, се1), где се~ и оп сто наиболыпее и наименыпее сингулярные числа. 29.70. Доказать, что для квадратной ъсатрицы А произведение сингулярных чисел равно ~ бе1А~. 29.71. Найти сингулярные числа следующих матриц: 6 — 6 3 1) Ааеа, 2) Ааза, 3) Ааиь 4) 1 2 2, 5) А44в. 4 2 — 4 Х з0.
Линейные преобразования рнилаарллого пространства 279 9 30. Линейные преобразования унитарного пространства Примеры преобразований. Сопряженное преобразование (30.1 — 30.12) 30.1. Пусть ал, ..., аь базис в подпространстве Е СИ. Координатные столбцы этих векторов в ортонорыированном базисе е пространства И составляют матрипу А. Написать в базисе е: 1) матрицу Р ортогонального проектирования на подпространство Е, 2) матрицу Я отражения в подпространстве Е.
30.2. Пусть Е С И линейная оболочка векторов ал и аэ. В ортонормированном базисе е пространства И даны координатные столбцы этих векторов. Написать в базисе е матрицу Р ортогонального проектирования на подпространство Е и матрицу Я отражения в подпространстве Е: 1) )(1 л 1+1)), /)1 1 1 — л)(; 2) )(1 л' 1)(, )/21 О 3!); 3) Ол 1 1 л/), /)21 0 3 л// . 30.3. Дап вектор а, и подпространство Е С И задано уравнением (а, х) = О. Найти образ вектора х при отражении в Е, и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора а в ортонормированном базисе. 30.4. В ортонормированном базисе дан координатный столбец а вектора а. Пусть 9л отражение в подпространстве Е С И, заданном уравнением (а, х) = О.
Выразить матрицу преобразования у через а, если: 1) а=93 — 1 2л~(: 2) а=слаз; 3) а=слал, 4) а=сзло. 30.5. Доказать, что в унитарном пространстве операция перехода к сопряженному преобразованию обладает следуюгцими свойствами: 1) (9л+лр)* = 9л*+лр*; 2) (улр)* = л~л*~р*: 3) (лир)* = село', 4) если ~о имеет обратное, то со* также имеет обратное, и (р') '=Ь ')' 30.6. В ортонормированном базисе дана матрица линейного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу сопряженного преобразования: 1) Азэ., 2) Алоэ, '3) Алое. 280 Гл.
11. Преобравованил евнлидовых и унитарных пространств 30.7. Пусть А -- матрица линейного преобразования в базисе с матрицей Грама Г. Найти матрипу сопряженного преобразования: 1) А=А99, Г=Азт, 2) А =А97 Г=Авв, 3) А = Азтз, Г = Аззз. 30.8. 1) Пусть вектор х является собственным для преобразования со с собственным значением Л и собственным для ~р* с собственным значением 1л. Доказать, что Л = 1л. 2) Доказать, что преобразование ~р*, сопряженное преобразованию ео с собственными значениями Лм ..., Лео имеет собственные значения Лм ..., Л„. 30.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
