1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Восстановить симметричную билинейную форму в пмерном линейном пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу: 1) — зхз1 (п = 1); 2) — 18х1хз + 9хзз (и = 2); 3) х, +4х1хз+4х1хз+ бхз+12хзхз+ 7хз (и, = 3); Многочлен, служащий координатной записью билинейной (квадратичной) зрмитовой функции, называется соответственно билинейной (квадратичной) эрмигиввой форлгой.
Квадратичная форма в и-мерном комплексном пространстве приводится к каноническому вину 2„' С~, где г ранг формы. 1=1 Квадратичная зръгитова форма приводится к каноническому вип ду 2 в С ~~, где вг равны 1, --1 или О. Закон инерции и крите=1 рий положительной определенности (критерий Сильвестра) квадратичной эрмитовой формы формулируются точно "гак же, как для вещественной квадратичной формы. Для квадратичной эрмитовой формы 1с (х) в унитарном пространстве существует ортонормированный базис, в котором она диагональна: к (х) = 2 Лг ф ~~.
Если В— 1=1 матрица формы в ортонормированном базисе, то коэффициенты Л. являются характеристическими числами матрицы В. З 32. Билил~ейиые и кеадратаичиые функции 297 и — 1 4) 2х, — бхлхг — Зхг (и = 3); 5) 2 х хеь1. 32.3. Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу: 1) Алт; 2) Азт; 3) Азот, 4) Агзо; 5) Алз4; 6) Алтл' 7) Азоз' 8) Аоз4.
32.4. 1) Восстановить симметричную билинейную функ- цию по порожденной ей квадратичной функции. 2) Доказать, что любую билинейную функцию Ь (х, у) можно единственным образом представить как сумму Ь (х, у) = = Ьл (х, у) + Ь (х, у), где Ьл (х, у) = Ь е (у, х), а Ь (х, д) = = — Ь (у, х). Доказать, что при этом Ь(х, х) = Ьл. (х, х).
32.5. Как изменится матрица билинейной (квадратичнолй) функции, если изменить базис ел, ..., еи следующим образом: 1) поменять местами 1-й и у-й векторы базиса; 2) умножить лтй базисный вектор на число Л ч'= О; 3) вектор е, заменить на е, + Лед (1 у= д); 4) векторы базиса расположить в обратном порядке? 32.6. Квадратичная функция и линейное преобразование имеют в некотором базисе одинаковые ълатрицы. Какой должна быть матрица перехода от этого базиса к другому базису для того, чтобы в другом базисе матрицы квадратичной функции и линейного преобразования также совпадали? 32.7. Квадратичная функция дана в базисе ел, ..., еи.
За- писать эту квадратичную функцию в базисе е'1, ..., е'„: 1) 25хгл — 14хлхг+ 2хгг, ел — — ел+ ег, е~г — — — ел+ ег,' 2) Зхлг+ 10хлхг + 9хгг, е', = 2ел — ег, ег — — ел — ег, 1 1, 1 1 3) 4хгл — 12хлхг + 9хгг, ел — — — ел — — ег, е~г — — — ел + — ег, 4) хл+ 4хлхг+ 4хлхз — хз, ел — — ел+ ег+ ез, е~г — — 2е1— 2... 2 — ег + еЗ, е~ —— — е1 + 2ег — Зеэ, 5) х1 + 2хлхг — хлхз — хг + 2хгхз + хз, ел — — 2ел — ез, е~г —— 2 2 2 = — ел+ 2ег — ез, е~ — — — ег+ ез, 6) 5хгл+ 5хгг+ Зхз2+ 2хлхг+ 2ъ 2хлхз+ 2ъ'2хгхз, е~л — — ел+ +ег — 2'72ез, е!г — — ел — ег, е~з —— ъ'2ел+ ъ'2ег+ ез, и — 1 7) ~„х,х,л.л, е,'=е,+е141+,.,+еи, 1=1,2, ...,и.
1=1 32.8. Привести данную квадратичную форму к канониче- скому виду с помощью метода Лагранжа или элементарных 298 Гл. 12. Функции на линейном нроетрансгаое преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и от- рицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы: 1) 4хз~ + 4хзх2+ 5Х2~, 2) х1 — хзх2 — х2, 3) Х1Х21 4) 25ХЗЗ + ЗОХЗХ2 + 9Х22, 5) 2Х1хг — хз — 2ХЗ, 2 2. 6) 24х|х2 — 16Х23 — 9х22, 7) хз~ + 4хзхз + х2 + 2хзхз + 4хз,' 8) хз~ + 2хзх2 + 2хзхз — Зхз — бхзхз — 4хз' 9) 2хзз + 8хзх2+ 4хзхз+ 9х22+ 19Х32', 10) 9Х1 — 12ХЗХ2 — бх1хз + 4Х2 + 4хзхз + хз', 11) 8х21 + 8Х2 ~+ х23 + 16х1хг + 4хзхз + 4хзхз', 12) (Р) хзх2 + Х2хз + ХЗхз', 13) Х1 + 2х2 + 2ХЗ+ ЗХЗ + 2х~х2+ 2хзхз + 2хзх4', 14) Х1 — 2хзхз+х2 — 2хзх4+хз — 2хзхз+Х4 — 2хлхв+хз+ 2 2 2 2 2 +хе 15) хзх2 + 2хзхз — Зхзх4; 16) Х1х2 + х2хз — хз — х2 — хз.
32.9. Выяснить, какие квадратичные формы иэ задачи 32.8 являются положительно определенными, отрицательно определенными, полуопределенными. 32.10. Привести к каноническому виду даннукз билиней- ную форму: 1) Х1уз + Х1у2 + хзуз + Зхзуз' 2) Х1уз — хзу2 — хзуз + хзу2., 3) 13хзуз — 5х1У2 — 5хзу1 + 2хзу2; 4) — хзу2 — хауз + хзу2; 5) х1У2 + хзУЗ + х1УЗ + ХЗУ1 + х2У3 + хзУ2~ 6) хзуз+2хзу2+ЗхзУз+х1УЗ+хзу1+хзуз+хзуз+2х2Уз+ +2хЗУ2 7) ХЗУ1 + Х1У2 + ХЗУЗ + Х2УЗ. 32.11. Доказать, что несимметричную билинейную функ- цию нельзя привести к диагональному виду. 32.12. Привести квадратичную форму, зависящую от дей- ствительного параметра Л, к каноническому виду при всевоз- можных значениях Л: 1) Зхз~ — 2Х1Х2+ Лх22, 2) 8хз~ + Лх1х2 + 2х22; 3) 2х2 + 8хз х2 + 4Х1хз + бх2 + ЛХ32; у Я9.
Билинейные и кеадратаичпые функции 299 4) х21 + х2 2+ 4хз~ + Лхл~ + 4х1хз + 2х1х4 + 2х2 та + 2хзх4 + +5хзх4; 5) Зх2 + бх1хв + 2х1 хз + 4хзхз + Лхах4 + хз + хзх4 + х4. 32.13. Привести к каноническому виду данную квадратич- ную форму в и;мерном пространстве: и и — 1 1) х2 + 2 2„х9 — 2 2 х х 4.1.
4=2 4=1 и — 1 2) х21+ 2 ~ ( — 1)'х;х411, 4=1 3) ~~; х2+ 2 хех", 4) 2; х;х", 1=1 1<4<1<и 1<1<1<и 5) — 2;1х2+ 2 2; 4х,х1; е=1 1<1<1<и и 6) 2,' ((1 — 1)2+1) х2+2 2 1х;хаи 1=1 1<1<1<и 32.14. Доказать, что для положительной определенности квадратичной функции к (х) необходимо и достаточно любое из условий: 1) 1<(е;) > 0 (1 = 1, ..., п) ДлЯ любого базиса е1, ..., еи; 2) 14(х) приводится к диагональному виду с положитель- ными коэффициентами; 3) 1< (х) приводится к каноническому виду 51 +...
+ С„. 32.15. Показать, что для положительной определенности квадратичной функции необходима, но недостаточна положи- тельность всех диагональных элементов ее матрицы в некото- ром базисе. 32.16. Доказать, что квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы чередуются следующим образом; .Ь1<0, Ь2>0, Ьз<0, ..., в1КпЬп — — ( — 1) 32.17.
Пусть ранг квадратичной функции 14 (х) в и-мерном линейном пространстве Е равен г. Доказать утверждения: 1) в Е существует базис, в котором главные миноры Ьь матрицы функции 1<(х) отличны от нуля при Й = 1, ..., т и равны нулю при Й = и + 1, ..., п. 2) пусть в некотором базисе главные миноры Ьь (Л = = 1, ..., и) матрицы функции 1с (х) отличны от нуля. Тогда ЗОО Гл.
12. Функции на линейном тароетранегаве 11(х) приводится к диагональной форме ~; г„(Ьс = 1) и 2 1=1 Ь 1 к канонической фоРме ~ еь~~ь, где еь = з18п (Й = 1,...,г). 32.18. При каких значениях параметра Л данная квадра- тичная форма положительно, отрицательно определена или по- луопределена: 1) Лхз1 — 4х1хз + (Л + 3) х~~, 2) — 9х~1 + 6Лх1хз — х~~, 3) Лх~1+ 8хз ~+ хзд+ 16х1хз+ 4х1хз + 4хзхз, 4) х~1 + 2Лх1хз + 2х1хз + 4хз ~— Лхз ~+ 2хзхз1 5) (4 — Л) х~~ + (4 — Л) х~ ~— (2 + Л) хзз + 4х1хз — 8х1хз + + 8хзхзу 32.19. Пусть 11(х) -- квадратичная функция в линейном пространстве,С.
Является ли линейным подпространством в Е множество всех векторов х из Е, для которых к (х) > 0 (к (х) < < 0)2 РассмотРеть пРимеРы 11(х) = х1~+хз ~— хз~ (и = 3) и Ь (х) = х1+ х~ ~(и = 3). 32.20. 1) В матрице положительно определенной квадра- тичной формы увеличили один диагональный элемент. Дока- зать, что дстерминант матрицы увеличился. 2) Доказать, что в матрице положительно определенной квадратичной формы максимальный по модулк1 злемент по- ложителен.
32.21. 1) Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка и функция 1с(Х) = = гг (Х~ Х) является положительно определенной квадратичной функцией. 2) Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка и функция 11 (Х) = 1г (Х ) является квадратичной функцией. Найти ее ранг и сигнатуру. 32.22. Доказать, что функция 1 ГУ у) = УИ)уИ)1з — 1 является симметричной билинейной функцией в пространстве многочленов степени не выгпс п. Привести ее к каноническому виду при п = 3. 1 39. Билинейные и квадратичные функции ЗО1 32.23.
Доказать, что ранг билинейной функции равен 1 тогда и только тогда, когда эта функция произведение двух ненулевых линейных функций. 32.24. Доказать, что для представимости квадратичной функции в виде произведения двух линейных вещественных функций необходимо и достаточно, чтобы либо ранг этой квадратичной функции не превосходил 1, либо ранг был равен 2, а сигнатура равна нулю. 32.25.
При каком необходимом и достаточном условии квадратичные функции 1с (х) и — 1» (х) могут быть приведены к одному и тому же каноническому виду? 32.26. 1) Пусть Ь(х, у) билинейная функция в линейном пространстве Е. Назовем функцию Ь (х, у) инвариантной относительно линейного преобразования 1а пространства Е, если Ь (у2 (х), еа (у)) = Ь (х, у) для всех х, у е Е. Доказать, что Ь тогда и только тогда инвариантна относительно у2, когда их матрицы (В и А соответственно) в некотором базисе удовлетворяют равенству АХВА = В.
2) 11айти все линейные преобразования двумерного пространства, относительно которых инвариантна билинейная форма: а) х1У1+ х2У2, б) х1У1 — х2У2. Квадратичные функции в евклидовом пространстве. Пары форм (32.27 — 32.39) 32.27. Квадратичная (билинейная) функция записана в ортонормированном базисе и-мерного евклидова пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная функция имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид. п= 2: 1) — 4х21 + 10Х1Х2 — 4х22, 4 2 3 2) — Х1 — 2Х1Х2 + — Х2,' 3 4 3) 7х2 + 41/3 х1х2 + Зх2; 4) — х1У1 + Зх1У2 + Зх2У1 — 9х2У2, 1 1 5) — х1У1 + — х1У2 + — х2У1 — х2У2; 2 2 п,=З; б) Х1 + Х1Х2 7) 2х21 — 4Х1х2+ 9х22+4х2хз+ 2хз~, 8) Х1У1 Х1У2 Х2У1 + 2Х292 Х2уз ХЗУ2 + Хауз~ 302 Гл. 12. Функции на линейном ироетраггегиее 9) 2х1Уз + 2хзУ1 — 2х1Уз — 2хзУ1 + 4хзУз + 4хзУз + 4хзУз— — Зхзуз' 10) (р) 2хз + 4хзхз — 2хзхз — хз + 4хзхз + 2хз; 1 Зг 11) Зх1 — 2х1хз — 2х1хз + Зхз — 2хзхз + Зхз, 12) Зхз1 + 8х1хз — 8х1хз — 7хз з— 8хзхз + Зхф 13) х1 — х1хз+ х1тз+ хз+ хзхз+ хз', 14) 4х1+ 4т1хз — 12х1хз+ хз — бхзхз + 9хз, 15) х1уз + хзу1 — 2х1уз — 2хзу1 — х1У1 — хзуз + 2хзуз + + 2хзуз — 4хзуз; 16) х1Уз + хзУ1 + х1Уз + хзУ1 + хзУз — хзУз.
в=4; 17) хз1 + 2х1хз+ 2х1хз + 2х1х4+ х~ ~— 2хзхз — 2хзх4+ хз ~— 2хзх4 + х4г 18) х1 — 2х1хз + бх1хз + 8х1х4 + 4хз — 2хзх4 — бхзх4 + х4 19) 2х — 4х1хз+4х1хз+бхз ~— бхзхз+2хзх4+бхз~+2хзх4+ 2. + 4х4,. 20) х1 + 2х1хз + 2х1хз + 2хзх4 — хз — хз — х4', 1 1 1 1 21) — х1уз + — хзу1 + — хзу4 + — х4уз; 2 2 2 2 22) Зх1 — 8х1хз — Зхз — хз + 4хзх4 — 4х4, 2 3 3 2. 23) 2; хз+ 2,' х;хо', г=-.1 1<г<1<п п 2п — 1 24) 2; ( — 1)змзх,уй, 25) 2; тзтзп 6 г, 1=1 г=1 зи 2п и — 1 26) 4 хг + Е хгхзи г4 1г 27) л хгхгз 1' г= 1 г=.1 г==1 32.28. Найти канонический вид, ранг и сигнатуру каждой из квадратичных и билинейных форм задачи 32.27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
