1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Матрицы Паули 10 01 0 — г 1 0 01 "'= 10 "= 1 О "= 0-1 оо = образуют базис в пространстве комплексных квадратных мат- риц порядка 2. Найти базис, биортогональный базису пе, оз, оэ, оз, и вычислить матрицы С, соответствующие функциям этого базиса в смысле задачи 31.17. Обращение линейной функции в нуль (31.43 — 31.49) 31.43. Доказать, что произведение двух линейных функций на Е„тождественно равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы одна из функций нулевая.

31.44. Пусть Г -- линейная функция на Ев. Доказать, что множество Л векторов, для которых 1 (х) = О, является линейным подпространством в Е„. Какова размерность Л 7 Возможно ли совпадение Л и Е„? 31.45. Пусть Г, я линейные функции на С„и Г (х) = 0 для всех тех т,, для которых я (и) = О. Доказать, что тогда найдется такое число а, что Г = ай. 31.46. В пространстве Е4 выбран базис и даны линейные функции с координатными строками (5, 24, — 7, — 1) и ( — 1, — 2,7, 3). Найти множество векторов, на которых эти функции одновременно обращаются в О. 31.47. Пусть Л' -- линейное подпространство в Е„, К-- множество всех линейных функций, обрагцающихся в 0 на Л'.

Доказать, что К является линейным подпространством в Е„*, и вычислить его размерность. 292 Гл. 12. Функции па линейном прастрапсплве 31.48. Подпространство Л в Ез задано в некотором базисе как линейная оболочка векторов с координатными столбцами (О, О, 1, 1, 1)т и (О, 1, О, О, 1)~. Найти в том же базисе координатные строки всех линейных функций, обращающихся в О на Л.

31.49. Подпространство Л С Р(ь) задано как множество всех многочленов вида (1 — 1)(Ь вЂ” 2)~ р (1), где р (1) Е Р(з). Найти множество линейных функций, определенных на Р(е) и обращающихся в О на Лс. 31.50. Пусть (м ..., )ь и 1 линейные функции на линейном пространстве Е, и Л' множество таких векторов из С, что 1л (х) =... = )ь (х) = О. Доказать, что 1 раскладывается по 1м ..., 1ь тогда и только тогда, когда 1 (х) = О для всех х из Л~. й 32.

Билинейные н квадратичные функции В этом параграфе используются следующие основные понятия: б линейная и квидратичпая фуллкции, си метричпая билинейная функция, матрица билшлейпой или квадрипшчиой функции (билинейной, нлн квидратичпой формы), диагональная и каноническая формы билинейной (квадратичной) функции, положительно и отрицательно определенные квадратичные функции, главные (угловые) минеры симметрической матрицы, ранг и индекс квадратичной функции (формы), присоединенное преобразование билинейной функции в евклидовом пространстве; эрмитова билинейная (полуторалинейная) фупкц я (форма) в комплексном пространстве, эрмитова симметричллая (эрмитова) функция, квадратичная эрмитвва функция(форма).

Пусть л. — вещественное илн комплексное линейное пространство. Функция двух переменных Ь(х, у) со значениями в поле, пад которым определено пространство С, называется билипеллполл функцией в пространстве Е, если Ь(х+ у, г) = Ь(х, г) + Ь(у, г), Ь(х, у -ь г) = Ь(х, у) + Ь(х, г), Ъ (ох, ллу) = олл Ь (х, у) для любых векторов х, у, г из Е и чисел о, д. Билинейная функция Ь называется симметричной, если Ь (х, у) = = Ь (у, х) для любых векторов х, у Е л.. Пусть Ъ симметрична.

Тогда функция 1л (х) = Ъ (х, х) называется квадратичной функцией, порожденной Ь. По данной квадратичной функции порождающая ее симметричная билинейная функция восстанавливается однозначно. Пусть еы .,., еи — базис в С. Числа Ь,л = Ь(е„е ) (л, 1 = = 1,..., и) называются квэффллциептами, а матрица В = йЬл,; )— матрицей билинейной функции в этом базисе. У симметричных у 32. Билинейные и квадратичные функции 293 функций и только у них матрицы симметричны (В = В ). Матрицей квадратичной функции называется матрица порождающей ее симметричной билинейной функции. Значения функций Ь(х, у) и к (х) выражаются через координатные столбцы» и ц векторов х и у по формулам Ь (х, у) = »~ВО = ~ ~бг»пз;, г, г=-1 ь й<х) =»'В»= ~ Ь„»,»,.

нг=1 (2) Формой степени т от переменных»м ..., »„называется однородный многочлен степени т от»м ..., »„. Ввиду этого выражения (1) и (2) билинейной и квадратичной функций в координатах называются соответственно билинейной и квадратичной формами. Матрица из коэффициентов В = (~бг ~( называется также матрицей билинейной (квадратичной) формы. Пусть Я вЂ” матрица перехода от базиса е к базису е', а В и В'— матрицы билинейной функции в этих базисах. Тогда В =БтВВ, (3) Билинейная форма ',~ г'»й г=1 и квадратичная форма г=1 называются диагональн ми. Если коэффициенты вм ..., е„диагональной формы равны х1 или О, то она называется канонической. Для каэкдой симметричной билинейной (квапратичной) функции в вещественном и-мерном линейном пространстве существует базис, в котором соответствующая билинейная (квадратичная) форма является канонической. Привести билинейную (квадратичную) функцию к диагональному или каноническому виду — значит, найти такую форму и соответствующий ей базис (или формулы замены координат).

Употребительно также выражение чпривести билинейную (квадратичную) форму к диагональному или к каноническому виду>. Закон инерции квадратичных форм состоит в том, что число положительных коэффициентов р и число отрицательных коэффициентов а в канонической квадратичной форме не зависит от базиса, в котором функция к приведена к каноническому виду. Эти числа 294 Гл. 12. Функции на линейном пространстве называются полохеительпым и отрицательным индексами инерции к.

Не зависят от базиса и числа г = р + д н а = р — у, называемые соответственно рангом и сигнатурой квадратичной функции. В произвольном базисе ВкВ = г. Для приведения квадратичной формы к каноническому вину применяется метод выделения квадратов (метод Лагранжа). Можно использовать также элементарные преобразования матрицы квадратичной формы. При этом после каждого элементарного преобразования строк матрицы необходимо выполнить такое же преобразование столбцов.

Для того, чтобы получить матрицу перехода к каноническому базису, нужно проделать те же элементарные преобразования со столбцами единичной матрицы. Квадратичная функция к(х) называется полохсительно (отрицательно) определенной, если 1г (х) > 0 (соответственно к(х) ( 0) для всех х из ь", отличных от о. Если 1г(х) > 0 (к (х) < 0) для всех х Е ь", то функция к(х) называется полуопределенной — - неотрицательной (соответственно, неполохсительной). Такие же термины применяются для квадратичной формы, служащей координатной записью квадратичной функции.

Для положительной определенности квадратичной формы с матрицей В = ~)60 ,'~ необходимо и достаточно, чтобы все главные гаиноры Ьь матрицы В были положительными: ь ... ь > О, к = 1, ..., и (4) Ь ... Ььь (критсрий Сильвестра). Пусть Ь(х, у) симметричная билинейная функция в евклидовом пространстве б. Линейное преобразование р пространства б называегсв присоединенным к функции Ь (х, у), если для всех х, у Е б; Ь (х, у) = (х, р (у)).

Присоединенное преобразование является само- сопряженным. Преобразование, присоединенное к билинейной функции, называется также присоединенным к квадратичной функции к(х) = Ь(х, х). Для любой симметричной билинейной функции Ь (х, у) (и квадратичной функции к (х)) в евклидовом пространстве би существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид: Ь(х,у) =~ 'Л,б,у, 1й( ) =~ 'ЛД,'. т3 Векторы такого базиса являются собственными векторами присоединенного преобразования, а коэффициенты А, его собственными значениями. С помощью ортогональной матрицы перехода можно привести к диагональному виду билинейную и квадратичную функцию в произвольном конечномерном линейном пространстве ь.

Для этого в В следует ввести скалярное произведение, относительно которого исходный базис е является ортонормированным,и найти ортонорми- т Зз. Билинейные и квадратичные функции 295 рованный базис е' из собственных векторов присоединенного преобразования. Тогда матрица перехода Я от е к е' будет ортогональной, а матрица В' = о~ВЯ = Я ВЯ вЂ” диагональной. Диагональный вид билинейной (квадратичной) функции можно использовать как промежуточный этап в ее приведении к каноническому виду: надо только умножить на подходящие числа векторы базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.

Пусть 1(з) и и(з) — квадратичные функции (формы) в и- мерном вещественном линейном пространстве ь, причем функция я (я) положительно определена. Тогда в б существует базис, в котором обе формы диагональны, и, более того, я (х) имеет канонический вид. Если Е (т, у) и С (я, у) — симметрические билинейные функции, порождающие квадратичные формы Г(я) и я (т), то искомый базис -- ортонормированиый базис из собственных векторов самосопряженного преобразования, присоединенного к Е (т, у), относительно скалярного произведения, определяемого функцией С (т, у). Пусть Е и С вЂ” матрицы форм Г и и в некотором базисе е. Диагональные коэффициенты формы 1 в подходящем базисе являются корнями уравнения (5) деФ (г' — ЛС) = О, а соответствующие базисные векторы находятся из системы уравне- ний (Š— ЛС) 5=О (б) для каждого корня Л уравнения (5). На практике пару квадратичных форм Г, я приводят к диагональному виду в два этапа; 1) находят базис е', в котором форма я является канонической (например, методом Лагранжа), и преобразуют форму Г к базису е', 2) находят базис е", матрица перехода к которому от базиса е' ортогональна и в котором форма Г имеет диагональный вид: в этом базисе форма к остается канонической.

Если Я матрица перехода от базиса е к промежуточному базису е', а Т матрица перехода от е' к базису е", то матрица перехода от е к ев равна $Т. Функция Ь (х, у) в комплексном линейном пространстве ь называстсв эрмитооой билинейной (иолуторалипсйной), если Ь(т+ у, з) = Ь(т, с) + Ь(у, в), Ь(з, у+ с) = Ь(х, у) + Ь(х, г), Ь(оя, Ду) = о,ЗЬ(х, у) для всех т, у, э й Е и о, Ц й С.

Эрмитова билинейная функция называется симметричной (эрмитовой), если Ь (я, у) = Ь (у, я) для всех х, у й ь". Такая функция порождает квадратичную эрмитову функцию Ь (з) = Ь (л, т). Ее матрица эрмитова: Вт = В. Пусть В, В' — матрицы эрмитовой билинейной функции Ь (я, у) в базисах е, е' комплексного пространства, Я вЂ” матрица перехода 296 Гл. 12.

Функции на линейном пространсгаве от е к е', а с, 11 — столбцы координат векторов х, у в базисе е. Тогда Ь(х, у) = 6тВгз, 1с(х) = 6~ВЫ;, В' = Я~ВЯ. Билинейные и квадратичные функции в вещественном линейном пространстве (32.1 — 32.26) 32.1. Составить матрицу данной билинейной формы н записать соответствующую ей квадратичную форму в и-мерном линейном пространстве: 1) х1у1 (н = 1); 2) х1у1 (и = 2); 3) 2х1у1 — х1уз — хау1 — 5хзуз (и = 2); 4) х1Уз — Зх1Уз + 7хзУз + хзУ1 — ЗхзУ1 + 7хзУз + тзУз (и = = 3); 5) 2; хгУг; г=1 6) ~ хгуи — г-' 1~ 7) ~ угуд г=1 (г — Я<1 32.2.

Характеристики

Список файлов решённой задачи