1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Найти координатные строки функций: 1) 1+8:, 2) Ы; 3) 38; 4) У вЂ” 8. 31.11. 1) Пусть а .-- вектор из пространства Ез. Сопоставим каждому вектору х из Ез его скалярную ортогональную проекцию на осев определяемую вектором а. Доказать, что этим определяется линейная функция на Ез. Найти координатную строку этой функции в каком-нибудь ортонормированном базисе пространства Ьз. 2) Пусть т какая-нибудь плоскость в пространстве Ез. Сопоставим каждому вектору из Ез длину его ортогональной проекции на ш. Будет ли полученная числовая функция линейной? 31.12.
1) Пусть а фиксированный вектор на плоскости Е2. Сопоставим каждому вектору х из Еэ число, равное площади ориентированного параллелограмма, построенного на векторах а и х. Доказать, что этим определена линейная функ- з Уб Линейные функции 287 ция на Ев, и вычислить ее координатную строку в каком-нибудь ортонормированном базисе. 2) Пусть а фиксированный вектор на плоскости Ез. Сопоставим каждому вектору х Е Еэ число, равное площади параллелограмма, построенного на векторах а и х.
Будет ли построенная функция линейной? 31.13. 1) Пусть а и Ь . фиксированные векторы в пространстве Ез. Сопоставим произвольному вектору х Е Ез число, равное объему ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и х, или нулю, если а, Ь и х компланарны.
Доказать, что этим определена линейная функция, и вычислить ее координатную строку в каком-либо ортонормированном базисе. 2) Пусть а и Ь фиксированные векторы в пространстве Ез. Сопоставим произвольному вектору х б Ез число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и х, или нулю, если а, Ь и х компланарны. Будет ли построенная функция линейной? 31.14. 1) Сопоставим столбцу высоты и отношение первых двух его элементов. Будет ли этим определена функция на Е„? 2) Сопоставим каждому столбцу высоты п сумму квадратов всех его элементов. Будет ли этим определена линейная функция на Я.„? 3) Сопоставим каждому столбцу высоты п его ю-й элемент.
Доказать, что этим определена линейная функция на Я„, и найти ее координатную строку в стандартном базисе пространства И„. 4) Сопоставим каждому столбцу высоты п сумму его элементов. Доказать, что этим определена линейная функция на Я.„, и найти ее координатную строку в стандартном базисе пространства ?с„. 31.15. Функция 1г Х сопоставляет каждой квадратной матрице Х порядка п ее след.
Проверить, что эта функция является линейной, и найти ее координатнук> строку (координатную матрипу) в стандартном базисе пространства матриц. 31.16. Пусть С квадратная матрица порядка п. Сопоставим каждой квадратной матрице Х порядка п число Фг (С Х). Показать, что этим определена линейная функция на пространстве Е„~„, и найти ее координатную строку (координатную матрицу). 288 Гл.
12. Функции на линейном проетранетпее 31.17. Пусть 1 -- какая-нибудь линейная функция, определенная на пространстве Я.пкп. Доказать, что существует такая квадратная матрица С, что для произвольной матрицы Х б Япкп выполнено равенство 1 (Х) = $г (С Х). 31.18. Пусть линейная функция 1 на пространстве Япк„ для любых двух квадратных матриц А и В порядка п удовлетворяет условию 1(АВ) = 1(ВА). Доказать, что 1' определяется равенством 1 (Х) = о ог Х. 31.19.
1) Сопоставим каждому многочлену р (1) степени < 3 число 1 Г (р) = (1+ 1') р (1) 11. -1 Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве многочленов Р1~~, и вычислить ее координатную строку в базисе из многочленов 1, 1, гР, гз. 2) Сопоставим каждому многочлену р (1) степени < 3 число 1 1(р) — р(1 ) еМ. о Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве многочленов Р1~), и вычислить ее координатную строку в базисе из многочлснов 1, 1, гР, 1з. 31.20.
Сопоставим каждому многочлену р(1) степени < и его значение при 1 = О. Доказать, что этим определена линейная функция на Р~п~, и вычислить ее координатную строку в базисе 1, г, г~, ..., 1". 31.21. Пусть |о фиксированное число. Сопоставим каждому многочлену р(г) степени < п его значение при е — 1о.
Доказать, что этим определена линейная функция у на пространстве Р("). Вычислить координатную строку функции еа в базисах 1, 1, ..., 1п и 1, 1 — 1о, ..., (1 — 1о)п. 31.22. Пусть |и ..., О„эл — попарно различные точки числовой оси, аи, ..., р„лл — соответствующие этим точкам линейные функции на пространстве Р(п~, определенные в задаче 31. 21. 1) Доказать, что функции уп ..., ~р„лч линейно независимы. З 31. Лиллейноле фуикции 289 2) Доказать, что произвольная линейная функция на пространстве Рл" ~ может быть разложена в линейную коълбинацию функций оол, ..., оо„>л. 31.23. Линейная функция б сопоставляет каждому много- члену р(е) степени п (и < 2) его свободный член.
Разложить эту функцию в линейную комбинацию функций оол, лов, уоз, сопоставляющих каждому многочлеву его значение соответственно при 1 = 1, 1 = 2 и 1 = 3. 31.24. Пусть 1е -- какое-нибудь, а 1л, ..., 8„о л — попарно различные вещественные числа. Доказать, что найдутся такие числа Лл, ..., Л„ом что для любого многочлена р (е) Е РОО будет выполнено равенство р(оо) = Л~р(~л) +... + Л„лр(ли о>). 31.25. Пусть й натуральное число.
Сопоставим каждому многочлену р1е) степени < п значение его й-й производной при ~ = О. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве Р~"~, и вычислить ее координатную строку в базисе 1, 1, е~, ..., ~". 31.26. Пусть й -- натуральное число, lо < и, 1о - вещественное число. Сопоставим каждому многочлену р ® степени не вьппе п значение его к-й производной при 1 = 1о. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве Р1"~.
Вычислить ее координатную строку в базисах: 1) 1,.1,,1"; 2) 1 1 — 1о (е — ~о) . 31.27. Линейные функции бс, бл, ..., б„определены на пространстве Р~ "~ равенствами бь(р) = (1=О, 1, ..., и). бь( ) л=ло Доказать, что функции бе, бл, ..., б„линейно независимы. 31.28. Функции бс, бл, ..., б„определены так же, как в задаче 31.27. Доказать, что произвольная линейная функция, заданная на пространстве Р~"~, может быть разложена в линейную комбинацию функций бь (к = О, 1, ..., и).
31.29. Пусть в базисе ем ез, ез линейная функция Г выражается через координаты ~л, ~в, ~з вектора х формулой Е (х) = = ел + 2~э + Зсз. Какой формулой выражается 1 1х) через координаты х в базисе ел — — ел + ео, ез — — ез + ез, ез —— ез + ел 2 / / / 31.30. Доказать, что всякую ненулевую линейную функцию Г на Е„подходящим выбором базиса в Е„можно привести к виду 1 (х) = ~л, где ел .
первая координата вектора х. 290 Гл. 12. Функции на линейном простпрапстпое 31.31. В базисе е линейная функция Е имеет строку ко- эффициентов и. Найти ее строку коэффициентов и' в базисе е' = еЯ, если: 1) и= сТз, Я = Азоб 2) зе = соз, Я = Азоьц 3) и = соо, Я = Азоз; 4) зе = сзм Я = Азоз. т т 31.32. Функции ри рз, Фз, определенные в задаче 31.23, а также функции бо, бм бз, определенные с помощью формул бь(р) = „ , й = О, 1, 2, о"О ) с=э образуют пару базисов в пространстве Р~з)*. Выписать формулы перехода от первого базиса ко второму. Биортогональный базис (31.33 — 31.42) 31.33. 1) Многочлены 1, е, ..., е" образукзт базис в пространстве Р~"~.
Найти соответствующий биортогональный базис. 2) Многочлены 1, 1 — 1о, ..., (с — ~о)" образуют базис в пространстве Р~"~. Найти соответствующий биортогональный базис. 31.34. Как преобразуется биортогональный базис, если данный базис преобразуется матрицей перехода Я? 31.35. 1) Пусть базису ем ез, ез пространства Ез биортогонален базис 1м 1з, 1з пространства Е*. Найти базис, биортогональный базису е1 — — е1 + ез, е!~ — — ез + ез, ез — — ез. 2) В четырехмерном арифметическом пространстве столбцы матрицы Аззз образуют базис.
Найти строки коэффициентов элементов биортогонального базиса. 31.36. Построить базис пространства Р~з~, биортогональный базису из функций уы уз, уз, определенных в задаче 31. 23. 31.37. Найти базис пространства Р~"~, биортогональный базисУ из фУнкций Фм Фз, ..., д„м постРоенномУ в задачах 31.21, 31.22. Вычислить координаты произвольного многочлена в найденном базисе.
31.38. Построить базис пространства Р~з~, биортогональный базису из функций бо, бм бз, определенных в задаче 31.32. 31.39. Пусть см ..., е„— базис в пространстве Е„, а 1м ..., 1„биортогональный ему базис в Е„". Доказать, что для всех х Е Е„выполнено равенство ~ э1. Линейные функции 291 т = Г~ (х) е~ +... + Г„(х) е„, а для всех у б Е„* . равенство у = у(е~) Е~ +... + у(е„) Е„. Применить формулу (1) к базисам, рассмотренным в задаче 31.
34. 31.40. Используя результат задачи 31.34, доказать, что многочлены ре, ..., рь степени не вылив Й линейно независимы тогда и только тогда, когда для некоторого 1е с1еС ((р, (1е))! ф О. 00 31.41. Найти базис, биортогональный стандартному базису пространства Я.„»„. Вычислить матрицы С, соответствующие функциям этого базиса (в смысле задачи 31.17). 31.42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
