1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найти базис в полученном вещественном пространстве и координатный столбец вектора сзт в этом базисе. 22.13. Доказать, что множество многочленов степени не выше и с комплексными коэффициентами можно рассматривать и как комплексное линейное пространство, и как вещественное линейное пространство. В обоих случаях найти: 1) базис и размерность пространства; 2) координатный столбец многочлена 1 — 2г+ (3+ г)1 — Зез в найденном базисе 1при и = 2). Глава 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ й 23. Основные свойства линейных отображений и преобразований Общие понятия, относящиеся к отображениям, введены в з 12. В настоящем параграфе используются также следующие понятия:,линейное отображение, ланейног преобразование, ранг и ядро линейного отображения, изоморфизм, матрица линейного отображения в паре базисов, матрица линейного преобразования в данном базисе, сумма и произведение линейных опюбражгний, произведение линейного отображения на число, подобньче линейныг преобразования и матрицы.
Пусть Е, Š— линейные пространства над одним и тем же полем (оба вещественные или оба комплексные). Отображение уч: Š— ~ Е называется линейным, если для любых векторов х,у й Е и любого числа и справедливы равенства сч(х+ у) = р(х) + х(у), у(ох) = пегих). (1) Если пространства С и Е совпадают, условия 11) определяют линейное преобразование пространства Е.
Нередко используют также термины линейный оператор из ь в С и линейный оператор в пространстве Е, особенно для дифференциагчьных и интегральных операторов в пространствах функций. Множество значений у(й) = 1тд линейного отображения х: С вЂ” ч — ч Е является линейным подпространством в Е.
Его размерность называется рангом отображения р и обозначается гкзч. Ядром линейного отображения р называется множество КегЗч = (х и й~р(х) = о). Отображение р яазывается вырожденным, если Кегр ф (о), в противном случае — незырожденным. Взаимно однозначное линейное отображение пространства С на пространство ь" называегся изоморфизмом ь" на х".. Если существует изоморфизм Е на Е, то пространства Е и Е называются изоморфными. Пусть уч: Š— г Š— линейное отображение, е = (ем, ..,е„) — базис пространства С, 1= (1ч,...,1 ) — базис пространства ь". Матрицей линейного отображения у в паре базисов е, К называется матрица А = А„„столбцами которой являются координатные столбцы 192 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования векторов |р(е1),...,|р(ео) в базисе 4'.
Матрицей линейного преобразования у в базисе е называется матрица линейного отображения у: С вЂ” г С в паре базисов е, е. Если Е -- координатный столбец вектора х й Е в базисе е, а ц-- координатный столбец его образа рр(х) б Е в базисе Г, то г1 = АЕ. (2) Пусть е и е' — два базиса в пространстве Е, 4' и Г' — два базиса в пространстве Е, Я и Т вЂ” матрицы перехода от е к е' и от Г к Г' соогветственно. Если А и А' — матрицы линейного отображения ~р; Š— г Г в парах базисов е, Г и е', Г', то А' = Т 'АЯ.
(з) В частности, если А и А' матрицы линейного преобразования в базисах е и е', а 5 матрица перехода от е к е',то А'= Е 'АЕ. (4) Матрицы А, А', связанные соотношением (4) для некоторой невырожденной матрицы Е, называются подобными (А' А). Линейные преобразования д и ф пространства Е называются подобными, если существует такое обратимое линейное преобразование оз, что ф =аз '~ъ~. Пусть линейное отображение у имеет матрицу А в паре базисов е, Г. Ядро отображения у определяется в базисе е системой уравнений АЕ = о.
Множество значений отображения р является линейной оболочкой системы векторов, координатными столбцами которых в базисе Г являются столбцы матрицы А. Ранг отображения р равен рангу его матрицы. Нулевое отобразюение В: Š— э Е определяется формулой 0(х) = = о для всех х б Е.
Тождественное преобразование линейного пространства Е обозначается и Естественное влозюсние ~р: М э б линейного подпространства М С С в Е определяется равенством рЯ = х для х й М. Гомотетил (рас лжение, преобразование подобия) пространства С с коэффициентом Л ~ О определяе гся формулой р(х) = Лх (х Е ь). Пусть Е является прямой суммой ненулевых линейных надпространств Е' и Со, тогда любой вектор х б Е однозначно представляется в виде х = х1+ ха где х1 б ь".', хг Е ь'".
Проектированием пространства Е на подпространство Е' параллельно подпространству Ео называется преобразование к пространства Е, определяемое равенством к(х1+ хг) = хп Проектирование можно рассматривать и как отображение пространства С иа С. Отражением пространства Е в подпространстве Е' параллслгпю С' (или симметрией пространства Е относительно С' параллельно Ео) называется преобразование д: Š— э Е, определяемое равенством ~р(х1+ хг) = х~ — хг. Линейное пространство Е векторов плоскости или трехмерного пространства с заданным в нем скалярным произведением в даль- З 93.
Основные свойства линейных отображений 193 Примеры линейных отображений и преобразований. Ядро, множество значений. Матрицы линейных отображений и преобразований (23.1 — 23.51) 23.1. Пусть х = (хл, хт, ..., х„)т произвольный вектор и-мерного арифметического пространства. Исследовать линейность преобразования ~р, если: 1) ~р(х) = (хз, хл — хз)т (и = 2); 2) ~р(х) = (ха, хлха)1 (и = 2); 3) д(х) = (хз, хл — 3, хз) (и = 3); 4) ~р(х) = (2хз+хл, 2хзхл, хл — хо) (и = 3); 5) р(х) = (О 0)т.
6),р(х) = (О, хл+Зхз, хз„) (и= 3); 7) ~р(х) = (О, 0 1)т. 8) 9л(х) = (злпхл, совхз, хз)т 9) Р(х) = (х„х„л ... хл~т 10) р(х) = (2хл, 2~ха~, 2хз) (и = 3). 23.2. Доказать линейность преобразования ~р пространства Е, выяснить, является ли р инъективным, сюръективным или биективным, указать его матрипу в произвольном базисе пространства,С, если р есть: 1) нулевое отображение; 2) тождественное преобразование; 3) гомотетия. 23.3. Пусть р линейное отображение пространства Е в Г. Доказать,что: 1) ~р(о) = о; 2) ядро р есть линейное подпространство в Е; 3) образ:р(М) линейного подпространства М С Е есть подпространство в Е, причем л11пл~р(М) < л(1плМ; (и=З); нейгаем упоминается как геометрическое векторное пространство (двумерное или трехмерное). В нем можно рассматривать преобразования ортогонального проектирования и ортогонального отражения (ортогональной симметрии) в подпространстве (прямой илн плоскости) .
Подробнее об ортогональном проектировании в геометрическом векторном пространстве см. введение к гл. 12. Суммой двух линейных отображений р, лр: Š— л Е называется отображение р+ ли такое, что для всех х, е Е (~р+ лр) (х) =,р (х) + лр (х). Произведеллие отображения р на число о определяется для всех х Е Е равенством (ор)х = оу(х).
194 Гл. 9. Линейные отобрахсеаил и иреобразоеанил 4) р инъективно тогда и только тогда, когда Кегд =. 1о); 5) с1пи К ег ~р + с1пи 1т ~о = с1 1 тп Е. 23.4. Пусть М вЂ” подпространство линейного простран- ства Е. Доказать, что естественное вложение М вЂ” ) Е инъ- ективное линейное отображение. Может ли оно быть изомор- физмом? 23.5. Пусть М подпространство линейного простран- ства Е.
Отображение р: Š— ~ М определено правилами: ~р(х) = = х при х ЕМ, ~р(х) = о при х ф М. Линейно ли отображе- ние р? 23.6. Пусть х -- произвольный вектор, а, и -. фиксиро- ванные ненулевые векторы геометрического векторного про- странства (двумерного или трехмерного).
Проверить линей- ность преобразования ~р, заданного следующей формулой, и выяснить его геометрический смысл, если: 1) д(х) = (х,а); 2) р(х) = ' а ((а,п) ф О); 3) аа (х) = х — (х, и) )п(а 4) р(х) =х — ' а ((а,п) ф-О); (а, п) 5) ~р(х) = х — 2(х,п) ; 6) ~р(х) = 2(а,х) — х. 23.7. Проверить линейность и выяснить геометрический смысл преобразования р трехмерного геометрического вектор- ного пространства, заданного формулой (а,п,и фиксиро- ванные векторы); 1) ~р(х) = (х, а) (~а( = 1); 2) ~р(х) =п(х, т) — т(х,п) ([и, т) ф О).
23.8. Пусть а и и —. ненулевые векторы трехмерного гео- метрического векторного пространства, причем (а, и) у'= О, Е1 прямая с направляющим вектором а, а ~з - - плоскость с нор- мальным вектором и. Записать формулой преобразование ~р, проверить его линейность, найти ядро, множество значений и ранг, если ~о есть: 1) ортогональное проектирование на Еа, 2) ортогональное проектирование на С~, 3) проектирование на Еа параллельно вектору а: 4) проектирование на Е1 параллельно Сз, 5) ортогональное отражение относительно Ез, 6) ортогональное отражение относительно,С1, ~ 93. Основные свойства линейных отобрахсений 195 7) отражение в Ез параллельно вектору а; 8) отражение в Е1 параллельно Ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
