1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 32
Текст из файла (страница 32)
19.20. Система уравнений задана своей расгпирснной матрицей ))А544)с959)), зависящей от параметров Л4,...,Л„,44. Опи- Гл. 7. Системы линейных уравнений 170 сать множество значений параклетров, при которых система совместна, и решить ее. Эквивалентные системы уравнений (19.21 — 19.29) 19.21. Доказать, что если эквивалентны совместные системы линейных неоднородных уравнений, то эквивалентны и соответствующие однородные системы. 19.22. 1) Доказать, что нетривиальные уравнения ') а1х1+... + а„х„= О и Ь1х1+ + Ь„х„= О эквивалентны тогда а1 ...
а„ и только тогда, когда гя ' ' = 1. 1 ° ° ° ~н 2) Доказать, что нетривиальные!) уравнения а1х1+... ... + а„х„= а и Ь! х1+ + Ь„х„= Ь эквивалентны тогда и тольа1 ... ав а ко тогда, когда гй, ''',, = 1. Ь1 ... Ь. Ь 3) Сформулировать признак попарной эквивалентности и линейных уравнений. 19.23. 1) Доказать, что системы линейных уравнений Ах = о, Вх = о эквивалентны тогда и только тогда, когда П гк = г8А = г8В. А 2) Доказать, что совместные системы линейных уравнений Ах = а, Вх = Ь эквивалентны тогда и только тогда, когда А а В Ь вЂ” — 78А= 19.24. Проверить эквивалентность систем уравнений 18.1, 11) и 18.1, 12). 19.25.
Проверить, эквивалентны ли системы уравнений, определяемые расширенными матрицами: (А502~017) н (А503~012)! 2) (А239~067) и ( ~240~0!47)! 3) (А581(с69) и (А422)с72). 19.26. Проверить эквивалентность всех систем данной совокупности (каждая система уравнений задана расширенной матрицей): (А501~016), (А509~067) и (Аз!0~073). 19.27. 1) Допустим, что добавление к данной однородной системе линейных уравнений еще некоторого числа линейных однородных уравнений не меняет множества ео решений. До- ) Линейное уравнение несаривиально, если котя бы один иэ коэффициентов при неизвестных отличен от О. З 19. Системы линейных ураввений общего вида 171 казать, что добавленные уравнения являются линейными комбинациями уравнений данной системы. 2) Доказать то же утверждение для совместной системы линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3.
2). 19.28. 1) Допустим, что каждое решение однородной системы линейных уравнений (А) является также и решением однородной системы линейных уравнений (Б). Доказать, что тогда каждое уравнение системы (Б) является линейной комбинацией уравнений системы (А). 2) Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3. 1). 19.29.
1) Доказать, что две однородные системы линейных уравнений эквивалентны тогда и только тогда, когда уравнения каждой из них являются линейными комбинациями уравнений другой системы. 2) Доказать то жс утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Приложения (19.30 — 19.49) 19.30 (р).
Пусть Ах = Ь вЂ” произвольная система линейных уравнений. Доказать, что система уравнений (АтА)х = АтЬ совместна. 19.31 (р). Дана квадратная матрица А = ~~а,ь~~. Доказать, что если при всех г выполнено неравенство ~а;;~ ) ~~ ~ань~, то е1е1А ф О. й~г 19.32. Доказать, что для любых попарно различных чисел ам..., а„т ~ и любых чисел Ьм..., Ь„т~ существует единственный многочлен 11е) степени не вьппе и такой, что 7(а~) = Ьм ..., ~(а„т1) = Ь„ть 19.33. Найти многочлсн 7"(1) третьей степени такой, что Приведенные ниже задачи 19.34 — 19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере.
Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при репеении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии. 19.34. 1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на декартовы координаты (амЬ|), (а2, Ьз), (аз, Ьз) 172 Гл. 7. Сиетпемы линейных уравнений трех точек плоскости, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для четырех точек плоскости. 19.35 (р). Доказать, что через две различные точки с декартовыми координатами (амб1), (аэ,бг) проходит единственная прямая, и найти ес уравнение.
19.36. Показать, что через три точки с координатами (аыб1), (аз,бв), (из,бз), не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, н найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная. 19.37. 1) Три прямые заданы на плоскости в общей декартовой системе координат уравнениями А,х+В,у+С, = О, 1 = 1, 2, 3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на коэффициенты уравнений, необходимое и достаточное для того, чтобы эти прямые не проходили через одну точку.
2) Решить тот же вопрос для четырех прямых. 19.38. Используя результат задачи 19.37, определить, имеют ли данные прямые общую точку: 1) 2х+ Зу+ 1 = О, 7х+ 11у+ 4 = О, Зх+ 4у+ 1 = 0; 2) х + 8д + 1 = О, 7х — у + 1 = О, 11х — 26у — 1 = О, 8х+ 7у+ 2 = О. 19.39. 1) Четыре точки заданы своими декартовыми координатами (а,, б„с;), 1 = 1, 2, 3, 4. Сформулировать в терминах рангов н доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали в одной плоскости. 2) Решить тот же вопрос для пяти точек.
19.40. Используя результат задачи 19.39, определить, лежат ли данные точки на одной плоскости; 1) (7, -1,2), (2,3,1), (0,10,0), (3,4,1), (6, — 2,2); 2) (6,1,2), (2,3,1), (3,4,1), (6,2,2). 19.41. Показать, что через четыре точки с координатами (а„бн с,), 1= 1,2,3,4, не лежащие в одной плоскости, проходит единственная сфера, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная. 19.42.
Три точки заданы своими декартовыми координатами (анб„с;), г = 1,2,3. 1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для т точек (т, ) 4). ~ 1э. Системы линейных уравнений общего вида 173 19.43.
Используя результат задачи 19.42, определить, лежат ли данные точки на одной прямой; 1) (2,3,1), (3,4,2), (0,1, -1), (-2, -1, -3), (-6, -5, -7); 2) (2,3,1), (3,4,2), (0,1,1), (2,1,3), (6,5,4). 19.44. Доказать, что через три точки с декартовыми координатами (а„бос„), 1 = 1,2,3, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, и найти ее уравнение.
19.45. Две плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А,х+В;у+С,г+Р, = О, г = 1,2. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: Ц совпадали; 2) имели единственную общую прямую; 3) были параллельными, но не совпадали. 19.46.
Три плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А,х+ В;у+ С,е+ Р, = О, г = 1,2, 3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) совпадали; 2) имели единственную обшую точку; 3) имели единственную общую прямую; 4) были параллельными, но не все совпадали; 5) образовывали призму. 19.47. Используя результат задачи 19.46, определить вза- имное расположение плоскостей: 1) Зх+ 2у+ 5г — 1 = О, 2х+ Зу+ Зг+ 1 = О, 9х+ 16д+ 13г+ 1 = 0; 2) х — р — а+1 = О, бх — 219 — 17г+1 = О, бх — 26у — 21г + 1 = О.
19.48. Четыре плоскости заданы в общей декартовой системс координат уравнениями А,х+ В.;у+ Сне+ Р„. = О, г = 1,2, 3,4. Известно, что пары, соответствующие г = 1,2 и г = 3,4, определяют прямые линии. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельными, но не совпадали; Глава 8 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство (линейное пространсгаво над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство (,линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, коне чпомерное линейное пространство и его размерпоспгь, арифметическое пространство (вещественное и ком лексное), бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, пулевое подпросгаранство, линейная оболочка системы векторов (линейное подпространство, натянутое на зту систему векторов), сумма и пересечение.
двух (и любого конечного числа) надпространств, прямая сумма двух (и любого конечного числа) подароспгранспгт Перечислим основные примеры линейных пространств. 1) Геометрическое пространство — множество векторов (направленных отрезков) пространства, изучаемого в элементарной геометрии. 2) Арифметическое и-мерное линейное пространство Е„над полем вещественных чисел (вещественное арифметическое пространство)— пространство столбцов высоты и с вещественнылги элементами.
Операции сложения столбцов и умножения столбца на число осуществляются покомпонентно. Базис этого пространства, состоящий из столбцов единичной матрицы, называется стандартным. Координатами столбца относительно стандартного базиса являются его элементы. 3) Арифметическое и;мерное линейное пространство Си над полем комплексных чисел (комплексное арифметическое пространство) -- пространство столбцов высоты п с комплексными элементами. Операции и стандартный базис определяются так же, как и в Я„. 4) Пространство Е „„вещественных гаатриц размера т х и над полем вещественных чисел с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число.
размерность пространства Еы,„„равна тпп. В пространстве Лых„стандартныга называем базис, состоящий из матричных единиц Еко 1 = 1,..., т; у = 1,..., и (см. введение к з 15). Базисные матрицы упорядочиваем следующим обы разом: Е11~ Е21~ ° ) Еыы Е12~ ° ° ° ~ Ешг~ ° ~ Епм ° ° ~ Епп ) ) О другом способе упорядочивания см.введение к гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
