1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 29
Текст из файла (страница 29)
При отыскании ранга матрицы достаточно привести ее к ступенчатой форме. 152 Гл. б. Машрицы 1 — 1 2 — 2 о о 0 0 10 01 01 ' ) 00 21111 21123 42234 21111 111 223 334 000 010 100 6) 5) 16.5. Указать базисные строки в матрицах 1) — 7) задачи 16.4. 16.6. Указать базисные столбцы в матрицах 1) — 7) задачи 16.4.
16.7. Указать базисный минор, базисные столбцы и базисные строки в квадратной матрице с определителем, отличным от О. Чему равен ранг такой матрицы? Доказать утверждения 16.8 — 16.13 16.8. Ранг диагональной матрицы равен числу ее элементов, отличных от нуля. 16.9. Если в матрице равны нулю все ъзиноры порядка Й, то и все миноры порядка?е+ 1 равны нулю.
16. 10. Ранг матрицы не меньше ранга любой ее подматрицы. 16.11. Приписывание к матрице нулевого столбца не меняет ее ранка. 16.12. Приписывание к матрице столбца, равного линейной комбинации ее столбцов, не меняет ее ранга. 16.13. Если столбцы матрицы В являются линейными комбинациями столбцов матрицы А, то г8В < г8А. Для того чтобы привести ступенчатую матрицу к упрощенному визу, можно использовать обратный ход метода Гаусса.
Он состоит из г — 1 шагов. На з-м шаге ведущим столбцом является столбец с номером у„„ты а ведущей строкой строка с номером г — з+ 1. При этом из каждой строки с номером, меньшим г — в+1, вычитается ведущая строка с таким множителем Л, чтобы обратить в О все элементы ведущего столбца, расположенные вылив ведущего элемента. После г — 1 шагов все ведущие столбцы превратятся в столбцы единичной матрицы, а данная матрица А приобретет упрощенный вид.
16.1. Дать описание всех матриц ранга О. 16.2. Дать описание всех матриц ранга 1. 16.3. Возможно ли, чтобы в матрице не было базисного минора? 16.4. Указать какой-нибудь базисный минор и определить ранг матрицы; З 16. Ранг матрицы 153 16.14. Оценить ранг матрицы АГАВ'о~ через ранги матриц А и В. 16.15. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую высоту, и ранг А не меняется после приписывания к ней любого из столбцов В.
Доказать, что г8 ((А В))~З = г8А. 16.16. Доказать следующие свойства ранга матрицы; 1) Умножение какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля, не меняет ее ранга. 2) Перестановка строк матрицы не меняет ее ранга. 3) Прибавление к какой-либо строке матрицы линейной комбинации остальных строк не меняет ее ранга. 4) Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее столбцов. 16.17.
Описать способ вычисления ранга матрицы с использованием элементарных преобразований ее строк и столбцов. 16.18. Вычислить ранг матрицы: 1) ))10((; 2) ))010//; 3) Азы 4) Азо; 5) А1з; 6) А1з; 7) Ат; 8) Авб 9) Ады; 10) Азов, 11) Азов, 12) Аззз; 13) Азы; 14) Аззз, 15) Азов; 16) Азоо, 17) Азов, 18) Аазз, '19) Аззз, 20) Аззз,' 21) А444', 22) А4з4', 23) А44з', 24) Азат, '25) Аззз,' 26) Аз44: 27) Азвз; 28) Аозз, 29) Аоз4. 16.19. Вычислить ранг матрицы при всевозможных значениях параметра: 1) Атв; 2) Азот; 3) Азов; 4) -4звз; 5) Азов, 6) Аозо, 7) Аваз.
16.20. Вычислить ранг матрицы А — ЛЕ при всех значениях параметра Л, если: 1) А = Аат', 2) А = Азы, .3) А = Аазь 16.21. Доказать, что если г1е1 А = О, то строки матрицы А, так же как и ее столбцы, линейно зависимы. 16.22. Матрица А имеет порядок и и содержит нулевую подматрицу порядка и — 1. Оценить ранг А. 16.23. Матрица А имеет порядок и и содержит нулевую подматрицу порядка ьз Оценить ранг А. 16.24. Матрица А имеет порядок и и содержит подматрипу порядка и — 1, имеющуко ранг 1. Оценить ранг А. 16.25. 1) Оценить ранг произведения двух матриц через ранги сомножителей. 154 Гл. б. Матрицы 2) Привести примеры, когда выполнены соотношения: гяАВ < гяА, гяАВ < гяВ, гяАВ < пип(г8А,г8В), гяАВ = = гяА, г8АВ = г8В.
16.26. 1) Пусть а — строка, Ь столбец. Вычислить ранг матрицы Ьа. 2) (р). Пусть гйА = 1. Доказать, что матрица А равна произведению некоторого столбца на некоторую строку. 16.27 (р). Пусть А, В, С - матрицы, с1е1А ф 0 и определены произведения АВ, СА. Доказать, что гйАВ = гяВ, г8СА = = гя С. Может ли быть выполнено какое-либо из этих равенств, если с1е1А = О? 16.28. Доказать, что если гяА = т, то минор, стоящий на пересечении т линейно независимых строк и т линейно независимых столбцов матрицы А, отличен от О.
16.29. Пусть матрица А состоит из т линейно независимых столбцов, В --. из т линейно независимых строк. Чему равен ранг АВ? 16.30. Матрицы А и В имеют размеры соответственно т х т и т х и, и г8АВ = т. Найти ранги матриц А и В. 16.31. Разложение матрицы А в произведение А = ВС называется скелетным, если г8А = гяВ = г8С и матрицы В и С имеют полный ранг (т.е. ранг, равный одному из размеров матрицы). 1) Доказать, что всякую матрицу А можно представить как произведение матрицы ЛХ, состоящей из базисных строк А, на некоторую матрицу К (скелетное разложение матрицы по строкам).
2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для скелетного разложения матрицы по столбцам. 3) Как связаны между собой различные скелетные разложения одной матрицы? 16.32. Найти какие-нибудь скелетные разложения (см. задачу 16.31) по строкам и столбцам для следующих матриц: 1) Аы; 2) Азз~'; 3) Азы,' 4) А4оз, '5) А4в4.
16.33. Доказать, что любую матрипу ранга т можно представить в виде суммы т матриц ранга 1. 16.34. Указать, какие из выписанных ниже соотношений возможны. Какие из них выполнены для произвольной пары матриц одинаковых размеров? З 16. Ранг матрицы 155 1) гк(А+ В) = гкА; 2) гК(А+ В) = тах(гКА,гКВ); 3) гК(А+В) =гКА+гКВ: 4) гК(А+В) < пш|(гКА,гКВ); 5) гк(А+В) <гкА+гкВ; 6) гК(А+В) <гКА+гКВ. 16.35 (р).
Пусть матрицы А и В имеют размеры соответственно т х п и п х р, и пусть АВ = О. Доказать, что гКА+ + гкВ<н. 16.36. Доказать, что яп(а| + 6|) яп(а| + 6з) ... з1п(аг + 6„) < 2. яп(а„+ 6|) яп(а„+ Ьз) ... з|п(а„+ 6„) 16.37. Доказать, что А О к ов = кА+к 16.38. Доказать, что А С ов ) к1+кВ. 16.39.
Пусть А квадратная ы|атрица, Доказать, что А А~ гк 13 14 — — гк А. 16.40. Пусть Е единичная, А, В произвольные квадратные матрицы порядка A. Доказать, что Е В гК ААВ =п 16.41. Доказать, что А В ГК ЗА -В =гКА+гКВ 16.42. Пусть А невырожденная квадратная матрица порядка п, а матрицы В, С и П -- прямоугольные. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы А В гк СВ =и. Глава 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ 'УРАВНЕНИЙ В этой главе исполезуются следующие понятия и термины: однородная и неоднородная система линейных уравнений., основная матрица системы (матрица коэффициентов), определитель системы и линейных уравнений с и неизвестными, расширенная матрица системь1, столбец свободных членов, совместная и несовместная системауравнений, зквива ситные системы уравнений, частное ртиение. и общее решемие системы линейных уравнений, фундаментальная система решений и фундаментальная мап1рица однородной системы линейных уравнений, базисные неизоестные и параметрические (свободные) неизвестныс, однородная система линейных уравнений, сопряжевная данной.
Основные теоремы: теорема о существовании и единственности решения системы п линейных уравнений с и неизвестными (теорема Крамера), а также два критерия совместности системы т уравнений с и неизвестными: теорема Кронекера — Капелли и теорема Фредгольма. Приведем некоторые формулы и обозначения. Система т линейных уравнений с и неизвестными амх1+... + а1пхп = Ь1, ат1Х1+ + атпап Ьт может быть записана в матричном виде; Ах = Ь, где через х и Ь обозначены столбцы ~~х1...хп~~т и ~Ь1...Ь ~~т соответственно.
Матрицы ~ ам ... а1п аы .. а1п Ь1 А= ) ............. и ))А(Ь|)= Щп1 " атп а 1 ... а и Ь называются основной и расширенной матрицами системы уравнений. Решением системы (1) называется упорядоченный набор чисел, такой, что после подстановки 1-го числа вместо неизвестной х; для каждого 1 во все уравнения мы получим т истинных равенств. Эти числа называются компонентами решения. Решение системы уравнений записываем в виде столбца. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений с п неизвестными задается формулой (2) ХтЬ1Х1+...+Ьп еХп „.
Гл. 7. Сисгпемы линейных уравнений 157 Здесь: столбцы Х„...,Х„п — линейно независимые частные решения данной однородной системы, 6г,...,6„„произвольные постоянные числа (параметры), г = гяА ранг системы. Множество (Хг,...,Х„п) называется фундаметп льнвй системой решений однородной системы уравнений. Все решения однородной системы образуют линейное надпространство в пространстве столбцов высоты и; фундаментальная система решений есть базис в этом подпространстве. Правая часть формулы (2) называется общим решением однородной системы.
Формуле (2) можно придать матричный вид Х=ФЬ. Здесь Ф матрица из столбцов Хг,...,Х„„а Ь вЂ” столбец высоты п — г из произвольных постоянных 6г,...,6„„. Матрица Ф называется фундаментальной магприцей однородной системы уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений может бьггь записано в векторной форме Х=6 Х,+...+6„пХь,+Х или в матричной форме (5) Х=ФЬ+Х, где Хв — некоторое (произвольное) частное решение неоднородной системы уравнений, а 61Хг +...
+ 6„„Х„, = ФЬ вЂ” общее решение соответствующей однородной системы. Системы уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными. Это понятие относим лишь к совместным системам. Мы говорим также, что система уравнений (Б) следует из (А), если многкество решений (Б) содер-кит множество решений (А). При решении некоторых задач полезны утверждения: подсистема есть следствие системы: присоединение к системе уравнений ее следствий заменяет данную систему на эквивалентную. Основным аппаратом при исследовании сонместности системы линейных уравнений и отыскании ее решений служат преобразования систеглы уравнений, соответствующие элементарным преобразованиялг строк расширенной матрицы.
При этих преобразованиях несовместная система переходит в несовместную, а совместная — в совместную систему уравнений, эквивалентную данной. С помощью элементарных преобразований строк расширенная (и одновременно основная) матрица системы может быть приведена к упрощенной форме. Система уравнений, соответствующая упрощенной расширенной матрице, называется упрощенной. Для того чтобы решить систему уравнений, можно придерживаться следующей схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
