1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Доказать, что Н является подгруппой в С тогда и только тогда, когда выполняются два условия: а) если 6ы 6з Е Н, то 616з Е Н, б) если6ЕН,то 6 бН. 13.15. Пусть Н "- непустое подмножество группы С, замкнутое относительно умножения (т. с. выполнено условие а) задачи 13.14). Доказать, что при любом из следующих условий Н будет подгруппой в С: 1) Н конечное множество; 2) все элементы из Н имеют конечные порядки.
13.16. Показать, что: 1) группа всех ортогональных преобразований, сохраняющих данный правильный и-угольник (называемая его группой симметрии, а также группой диэдра степени п, Р„), содержит 2п преобразований; З 13. Понлп|ие о группах 125 2) группа С„ вращений правильного и-угольника является нормальной подгруппой в Р„.
13.17. Пусть ~С~ = 2п и Н подгруппа в С порядка п. Доказать,что Н нормальная подгруппа группы С. 13.18. Доказать при помощи теоремы Лагранжа, что: 1) порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента; 2) группа простого порядка является циклической. 13.19.
Пусть С = Рз группа симметрии правильного треугольника (см. задачу 13.16), а Н ее подгруппа, состоящая из тождественного преобразования г и симметрии относительно одной из высот треугольника. Найти разбиение группы С на левые и правые смежные классы по Н и убедиться в том, что Н не является нормальной подгруппой в С.
13.20. Доказать, что: 1) параллельные переносы образуют нормальную подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости; 2) преобразования, имеющие общую неподвижнук> точку, образуют подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости, но она не является нормальной. 13.21. Доказать, что: 1) если конечное множество аффинных преобразований плоскости образует группу, то все преобразования из этого множества имеют общую неподвижную точку; 2) всякая конечная группа ортогональных преобразований плоскости является группой симыетрии или группой врап|ений некоторого правильного многоугольника. 13.22. Найти (с точностью до изоморфизма) факторгруппу С(Н, если: 1) С .
группа всех комплексных чисел с операцией сложения, Н подгруппа всех вещественных чисел. 2) С - группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, Н . подгруппа положительных вещественных чисел. 3) С группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, Н подгруппа чисел, по модулю равных 1. 4) С группа всех вещественных чисел с операцией сложения, Н вЂ” подгруппа целых чисел. 5) С = К вЂ” группа целых чисел с операцией сложения, Н = пК подгруппа чисел, кратных данному натуральному числу и,. 126 Гл.
5. Преобразования плоскости. Группы 6) С группа всех ортогональных преобразований плоскости первого рода с операцией умножения преобразований, Н подгруппа параллельных переносов. 13.23. 1) Доказать, что множество Я„всех подстановок степени и является группой относительно операции умножсния преобразований (симметрической группой степени п). Найти порядок этой группы. 2) Доказать, что группы Я„некоммутативны при п > 3. 13.24. Вычислить 21 ' ) 213 231 2341 4321 4321 2341 13.25. Доказать, что все четные перестановки (см. введение к ~ 14) образуют нормальную подгруппу А„в Я„, и найти ее порядок.
13.26. Пусть 1г нецикличсская подгруппа четвертого порядка в Я4. Доказать, что: 1) 1' С Асб 2) $' нормальна в Я4', 3) иззу = оз. 13.27. Найти; 1) все подгруппы в Яз, 2) все нормальные подгруппы в Я4. Глава 6 МАТРИЦЫ 3 14. Определители В этом параграфе используются следующие основные понятия: матрица, подматрица, строка матрицы, столбец матрицы, перестановка, четнаа или нечетная перестановка, число нарушений порядка в перестановке, определитель (детерминант) квадратной магарицы, минор матрицы„элементарные преобразования матрицы, транспонирование матрицы. В задачах 14.33 — 14.44 используются и другие операции с матрицами и некоторые специальные виды матриц; соответствующие обозначения и определения даны во введении к 3 15.
Квадратная матрица порядка и аы а12 ... а1„ а21 а22 ° ° а2 А= а„1 аьг ., а„„ обозначается также через ~)а,.~~ или (а,, ). Элементы агз,...,а„, образуют 1-ю строку, элементы а1,...,а„э — утй столбец матрицы А. Говорят, что элемент аз лежит на пересечении ее 1-й строки и у-го столбца. Всюду в этой главе, кроме нескольких специально оговоренных случаев, предполагается, что элементы матриц — вещественные или комплексные числа.
Определитель матрицы А обозначается через с1еФА, ~А~ или а11 а12 ° а1п а„,а,г ..а„„ Приведем основные формулы для вычисления определителей: = аН вЂ” Ьс; 1 ай ~ сд ~ а1 Ь1 с1 ,' Ь2 с2 а2 с2 аг Ьг ~ агЬгсг ~ =а1, — Ь1 +с1 йз сз аз сз аз йз азйзсз ~ = а1Ьгсз — азйзсг+ азЬ1сг — агЬ1сз+ агЬзс1 — азЬгс1. (2) Рекуррентные формулы: 128 Гл. б.
Матрицы и с1е1 А = ~~г ( — 1)'э ьа,гМгь г=-1 (3) (1бормула разлозгсения определителя по г-й строке), и бес А = ~ ~( — 1) ~тг агу Мь, (4) я=1 (формула разложения определителя по у'-му столбцу). В формулах (3), (4) через М,ь обозначен дополнительный минор элемента аем т.е. определитель матрицы порядка и — 1, полученной из А вычеркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент а,ы аы ..а1„ (-1) 1'1""лпга1г ...а,„,п (5) ап1 .. апп 1г1,...,гпд — формула полного разложения (или полного развертывания) определителя, выражающая определитель матрицы и-го порядка через ее элементы. В слагаемых формулы (5) значения индексов гы ..., гп образуют всевозможные перестановки чисел 1, 2, ..., и, а через Аг(1м ..., г ) обозначено число нарушений порядка в перестановке (гы ...,г„).
Напомним, что перестановка (гы ..., 1„) называется четной, если число Х (1ы ..., 1„) четно, и нечетной в противном случае. Приведем формулировку теоремы Лапласа. Минором, порядка з (з < п) матрицы А называется определитель матрицы, образующейся в пересечении каких-либо .з строк и з столбцов матрицы А. Если эти строки имеют номера (гы...,г,), а столбцы — номера Оы...,у,), то соответствующий минор обозначается через Г аг1г1 ..
аг1гг г1,...,гг 31,— дг а; .,,аг.. г1...гг 11 Через М "'. обозначаем минор, дополнительный к минору Ьу '" 11» уг 11" уг' т. е. определитель матрицы порядка и — з, полученной из А вычеркиванием выделенных строк и столбцов. Для любого натурального числа з (з < и) и любого фиксированного набора строк с номерами 1г,...,1, таких, что 11 < гг « ... 1„справедлива формула — "'+ (6) 11" зг г1 "зг' 01,",Ы где сумма берется по всевозможным наборам значений индексов уы...,у„таким, что 1 < у1 < уг « ...
у, < и. Формулу (6) можно назвать формулой разложения определителя по данным з строкам. Аналогична формула разложения определителя по данныъг з столбцам: ~ Ц. Определители 129 ЫА= ~ (-Ц'+ - +*"*7,".""ЛХ"."".. и о8 1г и йп —,и) Здесь индексы 1ы..., 1„фиксированы, а сумма берется по всевозможным наборам значений индексов 1ы.,,,1, таким, что 1 < 11 < ...
... < 1, < и. Перестановки (14.1 — 14.3) 14.1. 1) Доказать, что последовательно переставляя соседние числа, можно поменять местами любые два элемента перестановки, сохранив при этом расположение остальньгх элементов. 2) Доказать, что четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два элемента. 14.2. 1) Доказать, что конечное число (Й) раз переставляя соседние числа, можно расположить элементы перестановки в порядке возрастания. Однозначно ли определено к? 2) Пусть а число нарушений порядка в перестановке. Доказать, что числа Й и э имеют одинаковую четность. 3) Указать последовательность из з перемен мест в парах соседних чисел, в результате которой все элементы перестановки будут расположены в порядке возрастания. 14.3.
Последовательно переставляя соседние числа, расположить элементы следующих перестановок в порядке возрастания. Найти число нарушений порядка и определить четность перестановки: 1) (5 4 3 2 1); 2) (6 4 5 2 3 1); 3) ( 1 2 4 5 6 3 ); 4) ( 1 2 4 3 5 9 8 7 6 ); 5) ( 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ); 6) ( 4 3 2 1 5 9 8 7 6 ); 7) ( п, п — 1, ..., 1 ); 8) ( 1, 3, 5, ..., 2п — 1, 2, 4, 6, ..., 2п ); 9) ( 2, 4, 6, ..., 2п, 1, 3, 5, ..., 2п + 1 ). Вычисление определителей (14.4 — 14.32) 14.4.
Вычислить определитель второго порядка: 1) )Аь); 2) (Ае(; 3) (Ат(; 4) )Аэ1); 5) )Атт); 6) (Аэ!. 14.5. Вычислить /Ага/ при е = е"?з. 14.6. Пусть х = тсоьд, у = тяпу. Вычислить якобиан дх/дт дх/ду ду/дт ду/дх Гл. б. Магприцы 14.7. Вычислить определитель третьего порядка: 1) )Агоо1' 2) )Аго1~' 3) (Агог~; 4) ~Агоз!; б) ~Аго4~; б) 1Агоз|; 7) ~Агоо~; 8) ~Аг1а!:, 9) )Азоз|; 10) (А354~; 11) /Азов~; 12) )Азов~. 14.8.
Вычислить /Азоз! при ы = ег"'?3. 14.9. Пусть х = гсое рсоз4О, у = гв1п«рсов4р, 3 = гв1п4р. дх/дг дх/д~р дх(д~~ ду(дг ду/дд ду/дф д /дг дз/дд дз/д4)~ Вычислить якобиан 14.10. Решить относительно неизвестного Л уравнение: 1) )Аг11 — ЛЕ! =О; 2) /Аг1г — ЛЕ~ =0; з) ~А„,— ле!=о. 14.11. Сколько слагаемых входит: 1) в формулу полного разложения определителя четвертого порядка; 2) в формулу полного разложения определителя пятого порядка? 14.
12. 1) Имеются ли в формуле полного разложения определителя матрицы Оап~( пятого порядкаслагаемые а15а1га34аг1а43, а55п1го34пг1п43 2) С какими знаками входят в формулу полного разложения определителя матрицы пятого порядка слагаемые аггог1аз4а45азз, агзагзоз4а41азг? 14.13. Пусть в матрице А порядка и точно и элементов равны 1, а остальные -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
