1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 22
Текст из файла (страница 22)
12.63. Записать формулы, задающие произведения Хд и д Х данных аффинных преобразований (система координат общая декартова); 1) Х: х* = у, у* = х; д; х* = Зх+ 4у+ 1, д* = — 7х+ 5у — 2; 2) Х; х* = 4х — 2у+ 6, у* = — Зх+ у; д: х* = х — д, у* = 4х + + у+1. 12.64. Записать формулы, задающие произведение Хд данных аффинных преобразований Х и д, и охарактеризовать это произведение геометрически (система координат общая декартова): 1) Х вЂ” параллельный перенос на вектор а( — 1,1); д — гомотетия с центром в точке ЛХ(1,2) и коэффициентом 3; 2) Х гомотетия с центром в точке ЛХ(2, — 1) и коэффициентом — 1/2; д ".
центральная симметрия относительно точки й(3, 1). 12.65. Записать формулы, задающие преобразование, обратное к данному (система координат общая декартова), если такое преобразование существует: 1) х* = у+ 3, у' = — х+ Зу — 1; 2) х* = Зх+ 4у+ 8, у* = 5х+ 7у+ 6; 4 3 1, 3 4 2 3) х* = — х+ — у+ —, у* = — х — — у — —; 5 5' 5 5 5' 4) х* = Зх+ 5д — 4, д* = 5х+ 9у+ 6; 5) х* = Зх — 24, у* = — х+ 4у+ 12; 116 Гл. б. Преобразования плоскости. Группы 6) х* = 2х — у, у* = — 4х+ 2у; 7) х* = 4х — Зу, у* = Зх+ 4у; 8) х' = 4х+ Зу, у* = Зх — 4у; 9) х* = г(хопвуд — уяпд), у* = г(хяпуа+ усову) (г > 0); 10) х" = г(хсовео+ уапц), у" = г(хяпу — усову) (г > 0).
12.66. Записать формулы, задающие п-ю степень данного преобразования (и натуральное число): 1) х* = хсова — уяпа, у* = хяпа+ усова, /З „~ХЗ 2) х* = -х+ — у, у* = — — х+ -у; 2 2 ' 2 2 3) х* = х+ у, у* = у; 4) х' = Зх, у* = х+ 2у. 12.67. Записать формулы, задающие произведение 1д дан- ных аффинных преобразований Х и д: 1) Х гомотетия с центром в точке ЛХ(0,1) и коэффици- ентом 5, д симметрия относительно прямой х — 2у — 3 = 0; 2) Х сжатие с коэффициентом 3 к прямой у =х, д сжатие с коэффициентом 1/3 к прямой х+ у+ 1 = 0; 3) Х .. гомотетия с центром в точке ЛХ(2, — 1) и коэффици- ентом 4, д . поворот вокруг точки А(1,1) на угол я/6; 4) Х -- сжатие с коэффициентом 1/2 к прямой 2х+ Зу = О, д гомотетия с центром в точке ЛХ(1,0) и коэффициен- том — 3/2.
12.68. Написать формулы и охарактеризовать геометри- чески преобразования, обратные к преобразованиям задачи 12.55, 1)-15). 12.69. Написать формулы, задающие произведения Хд и д Х ортогональных преобразований Х и д: 1) Х поворот на угол я/2 вокруг точки А(1,1), д па- раллельный перенос на вектор а( — 1, — 1); 2) Х -- симметрия относительно прямой х — 2у — 5 = О, д-- параллельный перенос на вектор а(2,1); 3) Х поворот на угол 2я/3 вокруг начала координат, д симметрия относительно прямой у = 2; 4) Х - симметрия относительно прямой х — у — 1 = О, д- симметрия относительно прямой х+ у — 1 = 0; 5) Х симметрия относительно прямой Зх — у — 1 = О, д симметрия относительно прямой Зх — у+ 1 = 0; 6) Х поворот на угол агсяп(4/5) вокруг точки А(1,0), д — поворот на угол агссоэ(4/5) вокруг точки В( — 1, 0); 7) Х поворот на угол 30' вокруг точки А(1,0), д пово- рот на угол 330' вокруг точки В(0,1).
З 1в. Линейные и аффиииые преобразован я плоскости 117 12.70. 1) Доказать, что произведение поворота плоскости вокруг некоторой точки и параллельного переноса является поворотом вокруг некоторой другой точки. 2) Найти координаты неподвижной точки Р преобразования, заданного формулами (3) из введения к 3 12, при со ф 2яп, и Е К. Доказать, что преобразование является поворотом на угол со вокруг точки Р. 3) Охарактеризовать геометрически преобразования гд и д~ задачи 12.69, 1). 12.71.
1) Доказать, что преобразование, заданное формух* = хсозсо+уз1псо, у* = хз1псо — усозсо, является симметрией относительно некоторой прямой, проходящей через начало координат. Найти уравнение этой прямой. 2) При каком условии преобразование, заданное формулами (4) из введения к 3 12, является симметрией относительно некоторой прямой? Найти уравнение этой прямой. 12.72. 1) Доказать формулы (3), (4) введения к 3 12. 2) Доказать, что любое ортогональное преобразование первого рода является либо параллельным переносом на некоторый вектор, либо поворотом вокруг некоторой точки.
3) Доказать, что любое ортогональное преобразование второго рода является произведением двух перестановочных преобразований симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса на некоторый вектор (вектор переноса), коллинеарный этой прямой1). Найти вектор переноса а для преобразования, определенного формулами (4) введения к 3 12.
12.73. Охарактеризовать геометрически преобразование, заданноо формулами: 1) х* =х+1, д* = — у; 2) х* = х+ 1, д* = — у+ 2; 3) х* = х, у' = — у+ 2. 12.74. Выяснить, какого рода ортогональными преобразованиями являются преобразования 1, д, 1д и д1 задачи 12.69. Охарактеризовать геометрически (в смысле задачи 12.72) преобразования уд и ду задач 12.69, 3) и 6). 12.75. Написать формулы ортогонального преобразования первого рода, переводящего точку А(2, О) в точку А*(1+ ъ'2, 1), 1 ) Если вектор переноса отличен от о, то преобразование называют скользящей симметарией. 118 Гл. 5.
Преобразования плоскости. Группы а точку В(2,2) в точку В*(1,1+ ъ'2). Доказать, что это преобразование является поворотом вокруг своей единственной неподвижной точки. Найти координаты этой точки и угол поворота. 12.76. Написать формулы ортогонального преобразования второго рода, переводящего точку А(2, О) в то чку А* (1 + +у 2,1), а точку В(2,2) в точку В*(1,1+;/2).
Доказать, что это преобразование является произведением симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса на вектор, коллинеарный этой прямой. Найти координаты вектора переноса и составить уравнение оси симметрии. 12.77. 1) Доказать, что произведение двух преобразований, каждое из которых симметрия относительно некоторой прямой, является параллельным переносом, если эти прямые параллельны, и пОРОрОтО11, сели прямыс нс параллсл1.ны. 2) Охарактеризовать геометрически преобразования Гд и д1 задачи 12.69, 4). 3) Тот же вопрос для задачи 12.69, 5). 12.78. 1) Доказать, что произведение двух поворотов вокруг различных точек на углы, сумма которых равна 2я, является параллельным переносом.
2) Охарактеризовать геометрически преобразования г" д и дг" задачи 12.69, 7). 12.79. Доказать, что квадрат ортогонального преобразования второго рода является параллельныъ1 переносом. 12.80. Представить данное преобразование в виде произведения нескольких преобразований, каждое из которых является осевой симметрией: Ц поворот на угол 1р вокруг точки ЛХ; 2) параллельный перенос на вектор а; 3) произвольное ортогональное преобразование второго рода. 12.81. Найти координаты векторов, задающих главные направления данного аффинного преобразования: 1) х*=Зх, у*=49; 2) х*= — Зх, у*=4у; 3) х*=Зх, у*= — Зу; 4) х* = х — у, у* = х+ д; 5) х* = х, у* = — х+ у; 6) х*=Зу — 2, у*= — 4х; 7) х* = 2х+ 59, у* = — 11х+ 10у; 8) х* = — 4х+ 7у, у* = 8х+ у; Х И.
Линейные и аффикние преобразован л плоскости 119 9) х* = — 4х+ 8у, у* = — 7х — 11у; 10) х" = х+ ~/Зу+ 2, у* = — Зъ'Зх+ Зу+ ъ'3. 12.82. Представить каждое из аффинных преобразований задачи 12.81 в виде произведения 1' = 6261д, где д ортогональное преобразование, а 61 и 6о — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым. 12.83. Разложить в произведение бд, где д — ортогональное преобразование, а 6 гомотетия, каждое из преобразований 7 и 1 задачи: 1) 12.55, 7); 2) 12.85, 8); 3) 12.55, 9); 4) 12.55, 19).
12.84. Доказать, что преобразование подобия представляет собой произведение ортогонального преобразования и гомотетии. 12.85. Найти собственные значения и координаты отвечающих им собственных векторов линейного преобразования (система координат общая декартова), если: 1) х* = 7х, у* = — х+ 5у; 2) х* = 2х+у, у* = 2х+Зу; 3) х* = 5х — 4у, у* = 4х — 5у; 4) х* = 8х+17у, у* = 17х+8у; 5) х*=2х, у*=2у; б) х* = х — у, д* = — х+ у; 7) х* = 11х — 5у, у* = 12х — у; 8) х*=7х — 2д, у* =8х — у. 12.86. Доказать, что аффинное преобразование, заданное формулами х* = ах+ Ьу, у* = Ьх+ су, имеет два взаимно перпендикулярных собственных вектора. 12.87.
Аффинное преобразование )' задается формулами х* = аех+ Ь1 у, у* = а~х + Ьау, а преобразование 11 -- формулами х* = аех+азу, у* = Ь1т+Ьау. Доказать, что главные направления преобразования 1 совпадают с направлениями собственных векторов преобразования ~~ 7'. 12.88. Каждая точка плоскости ЛХ(х,у) отождествляется с комплексным числом е = х+гу, Доказать, что: 1) преобразование е ~ — > Нее = х является ортогональным проектированием на ось абсцисс; 2) преобразование ее-~ е = х — 1д является симметрией относительно оси абсцисс; 120 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
