1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 31
Текст из файла (страница 31)
3) При элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы совместная система линейных уравнений заменяется на эквивалентную. 17.4. Как изменяются решения системы линейных урав- нений при элементарных преобразованиях столбцов основной матрицы? 17.5. Какую систему уравнений простейшего вида можно получить, применяя алгоритм Гаусса к строкам распдиренной матрицы данной системы и линейных уравнений с и неизвест- ными, если основная матрица невырождена? 17.6. Составить систему линейных уравнений по данной расширенной матрице. Решить систему (нижеследуюдцие мат- рицы разбиты на 4 группы по порядку основной матрицы): п=2: 1) ЗАдз)сдоо; 2) ЗАЗ(сдгз; 3) ЗАдо)сдгз; п=3: 4) ))Агдо(сзо((; 5) ((Агдг)соо(! 6) ()Агдз)сод)); Э 18.
Системы линейных оонорооных уравнений 165 18.2. Доказать, что: 1) сумма двух решений однородной системы линейных уравнений есть решение той же системы: 2) произведение какого-либо решения однородной системы линейных уравнений на число есть решение той же системы. 18.3. Пусть й максимальное число линейно независимых решений однородной системы линейных уравнений. Выразить и через размеры и ранг матрицы системы.
В каком случае й = О? 18.4. Сколько линейно независимых решений имеет однородная система линейных уравнений, если ее матрица невырождена? 18.5. Может ли однородная система линейных уравнений оказаться несовместной? 18.6. Сформулировать условия (и проверить их необходимость и достаточность),при которых однородная система линейных уравнений имеет: 1) единственное решение; 2) бесконечно много решений.
18.7. Составить и решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов: 1) ~~12~~: 2) ~~11 Ц; 3) ~~1301~~; 4) Азэ1:. 5) А4эе; 6) Авоо' 7) Аы4; 8) Аыэ', 9) Ашз' 10) Аьээ' 11) Аьэз 18.8. Составить однородную систему линейных уравнений по заданной матрице коэффициентов, содержащей параметр. Решить систему при всевозможных значениях параметра: 1) А = Аэш — ЛЕ; 2) А = Ашэ — ЛЕ; 3) А = Аэээ — ЛЕ; 4) А = Азвв',. 5) А = Ашз — ЛЕ; 2) А = Азиз. 18.9.
Решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов. Составить и решить соответствующую сопряженную систему: 1) Аы4; 2) Аыэ, '3) Аыэ, '4) Аэоеб 5) Аэоэ', 6) Азвэ,' 7) Ааов', 8) Аыэ', 9) Аыв', 10) А44з', 11) Авэт'-, 12) Аэзв. 18.10. Могут ли данная однородная система линейных уравнений и ее сопряженная система иметь одинаковое число линейно независимых решений? 18.11. Могут ли совпадать множества решений данной однородной системы линейных уравнений и ее сопряженной? 18.12. Доказать, что однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, ко- Гл.
7. Сиетеми линейных уравнений 166 гда строки основной матрицы сопряженной системы линейно зависимы. 18.13. Зная одну фундаментальную матрипу Ф, найти обШий вид произвольной фундаментальной матрицы той же системы уравнений. 18.14. Данная матрица является фундаментальной матрицей некоторой однородной системы линейных уравнений.
Найти хотя бы одну нормальную фундаментальную матрипу: 1) Апг, 2) Апэ, 3) Азат. 18.15. Данная матрица является фундаментальной матрицей некоторой системы линейных уравнений. Найти все нормальные фундаментальные матрицы этой системы уравнений: 1) Апэ:, 2) сшг, 3) Апг; 4) Аэээ 18.16. В системе уравнений Ах=о (х столбец), имеюгцей фундаментальную матрицу Ф, выполнена замена неизвестных х = Яу (бе1Я ф О).
Какая система уравнений получится для у? Укажите фундаментальную матрицу решений этой системы. 18.17. Найти хотя бы одну однородную систему линейных уравнений, для которой данная матрица является фундаментальной: 1) Апо; 2) Аыг; 3) сшг; 4) (р) Амеб 5) Амь 18.18.
Найти все однородные системы уравнений, эквивалентные данной системе Ах = о. 18.19. Найти все однородные системы уравнений, для которых данная матрица Ф является фундаментальной. 18.20. Дана матрица А, .строки которой линейно независимы. Снизу к ней приписали транспонированную фундаментальную матрицу системы Ах = о.
Доказать, что детерминант полученной матрицы отличен от нуля. й 19. Системы линейных уравнений общего вида Системы линейных неоднородных уравнений (19.1 — 19.12) 19.1. Решить систему линейных уравнений: 1) 2х — Зу=4; 2) хг+хг+2хз+Зх4=1; 3) 2х+у+г=4, Зх+е = 4; З" 19. Системы лшгейных уравнений общего вида 167 4) (иг22+1) +(иг2-1)у — '2г=1+Л, х + (3 — 2ъ'2) у + (ъ'2 — 2) г = 1; 5) х+2у+Зг= — 4, 6) х1+2хз+хз=2, 2х+Зу+4г = 1, 2х1+Зхз+х4 = 1; Зх+ 4д+ 5г = 6; 7) бх1+ 4хз + хз + Зхз = — 5, 2хз+хз+хз+4х4 = 2, Зх~+2хз+хз+ха = — 3, х1+ Зхз — 2хз + 2Х4 = — 4; 8) Зх~+хз+хз+2Х4= — 2, 5х| + 2хз + бхг = — 2, бх~ + хз + 5хз + 7Х4 = — 4, 2Х~+хз+2хз+2Х4 = — 2; 9) Х1 + хз + Х4 + хз = б, Хз+Хз+Х4+Хз = 8; 10) бхз + Зхз+ 14хз — 2х4+ хз = 2, 20х1 + 5хз + 10хз + 4Х4 + 11хз = 20, 13Х1 + 4хз + 12хз + х4 + бхз = 11, 4Х1+ 7хз + 46хз — 12Х4 — 7хз = — 12, х1 — 2хз — 16хз + бх4+ 4хз = 7.
19.2. Доказать., что: 1) разность двух решений неоднородной системы линей- ных уравнений есть решение соответствующей однородной си- стемы; 2) сумма любого решения неоднородной системы линейных уравнений и любого решения соответствующей однородной си- стемы есть также решение данной неоднородной системы. 19.3. На сколько единиц ранг основной матрицы системы может отличаться от ранга расширенной? 19.4.
Пусть система т линейных уравнений с и неизвест- ными несовместна, а ее основная матрица имеет ранг п. К како- му простейшему виду можно привести эту систему уравнений, применяя к строкам расширенной матрицы алгоритм Гаусса? 19.5. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, что система т, линейных уравнений с и неизвестными имеет единственное решение. 19.6. Составить систему линейных уравнений по задан- ной расширенной матрице. Решить систему или установить 168 ее несовместность. (Нижеприведенньде матрицы разбиты на 4 группы по числу столбцов основной матрицы. Внутри каждой группы матрицы упорядочены по числу строк.) п=З: 1) дАгзг(С040; 4) ~~Агзд~с07~~' 7) )) Агоо ~сзз |~; 10) ~~А4оо~сдог~~,: 13) ))А-зд(сгзд(! п=4: 16) ЗАдлд(сдз()~ 19) 0Аздо(стзд' 22) ((Аздз)сог)); 25) 0А444)сд07((; 28) ))Азгз)0244)); сд4~~; 15) ~~Азов!Сдз~~; сдо)); 18) ((Азог(сдг((; С74)); 21) 5Азд2)С70((; соз)); 24) ((Аз~до)сзо((; 27) 1!А 1 1! 52д С244 С244 С242((; 30) 0Азз7(0240((~ сдз~~; 32) ~!Азгз|С40~~; С77'З; 35) ((Авзд(сто((; с7я))~ 38) зАзз4)С700; сзд)!' 41) ((Аззо)сзг(); ЗЗ) ~!Азго!Сзз!!' 36) 0А422!С72!!' 39) ~!Азтз!сзо!!' 42) ((Азад(сзз)); 45) ЗА-~4)сдоз)); 48) ))А044)С240)); сдвз ', 44) 0Азгз(сдв40; 47) ((Азго!сдго~~; сдво((; 24 п=б: 50) ЗАздд(сггд(!.
19.7. Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице, содержащей параметр. Найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить се: 1) ~ЗАггз~сзД~; 2) ((А224(сзо((; 3) ((Аггз(сз7((; 4) д ~~~~~ ы ~~. 19.8. Описать все линейные комбинации решений данной неоднородной системы линейных уравнений, которые являются решениями этой же системы. 19.9. Описать все такие линейные комбинации решений данной линейной неоднородной системы уравнений, которые являются решениями соответствующей однородной системы. 19.10. Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений равен сумме столбцов ее основной матрицы.
Указать какое-либо частное решение системы. 14) )~Адлз~ 17) зАзод! 20) ЗАздд! 23) ))Аы~( 26) ))Азго~ 29) ))Аз24( п= 5: 31) з А074 ~ 34) 0Аззд! 37) зА077( 40) ЗАзтд( 43)Ж ~ 46) ))Аззз( 49) ~~Аззз~ Гл. 7. Системы линейных уравнений 2) 0Агзг(сод'0; 3) 0Агзз(соо'0; 5) йА24д(соз)! 6) ЗАгзз)С70~1; 8) дАгоо(сздд; 9) ((Агоо(стод; 11) ЗАлоз~с24з!(; 12) ЗАззз~с2400:, г 19. Системы линейных уравнений общего вида 169 19.11. Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений совпадает с последним столбцом вс основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы. 19.12.
Пусть х, у столбцы решений систем уравнений Ах = а, Ау = Ь соответственно и н, !э некоторые числа. Какой системе уравнений удовлетворяет: 1) х = ох; 2) х = х+ у; 3) х = 54х+ Оу Условия совместности системы линейных уравнений 119.13 — 19.20) 19.13. Доказать, что если столбцы основной матрицы линейно независимы, то система линейных уравнений имеет не более одного решения.
19.14. Доказать, что если строки основной матрицы линейно независиъ4ы, то система уравнений совместна при любом столбце свободных членов. 19.15. Доказать следующее утверждение: если система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, то строки ее основной матрицы линейно независимы. 19.16. Доказать, что всегда имеет место одна из двух возможностей; либо система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система гп4вет ненулевое решение (альтернатива Фредгольма). 19.17. Сформулировать условия (и доказать их необходимость и достаточность), которым должна удовлетворять основная матрица для того, чтобы число решений системы линейных уравнений, в зависимости от столбца Ь свободных членов, равнялосьв 1) О или 1; 2) 1 или оо; 3) О или оо; 4) 1 пр44 всех Ь. 19.18.
Система линсйных уравнений задана своей расширенной матрицвй. Проверить совместность этой системы, пользуясь теоремой Фрсдгольма и резульш4том задачи 18.9 для со ответствующей сопряженной системы уравнений: 1) ))А!44(с59((; 2) ((А!45)с90)(; 3) ))А557)с!74((. 19.19. Система уравнений задана своей расширенной матрицсй, содержащей параметр. Применяя теорему Фредгольма, найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее: 1) ))А205(с9!((! 2) ((А515(с94((; 3) (~А507)с9!)!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
