1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Базис и размерность 20.1. Можно ли подходящим введением операций сложения и умножения на число сделать линейным пространством: 1) пустое множество; 2) множество из одного элемента; 3) множество из двух элементов? 20.2. Доказать, что: Ц если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима; 2) если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима; 3) если векторы а>, ..., аь линейно независимы, а векторы ао, а1, ..., аь линейно зависимы, то вектор ао является линейной комбинацией векторов ам,.., аь. 20.3. Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов в и-мерном пространстве, и если является, то найти его размерность: 1) множество векторов, все координаты которых равны между собой; 2) множество векторов, первая координата которых равна 0; З еО.
Примеры ироегараисгаа. Базис и размериоегаь 181 3) множество векторов, сумма координат которых равна 0; 4) множество векторов, сумма координат которых равна 1. 20.4. Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов геометрического пространства, и если является, определить его размерность: 1) множество векторов плоскости, параллельных данной прямой; 2) множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных данной прямой; 3) множество векторов плоскости, по модулю не превосходящих 1; 4) множество векторов плоскости, образующих угол о с данной прямой (О' < ее < 90'). 20.5. Доказать, что множество матриц размера т х п образует линейное пространство относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Найти размерность и базис этого пространства Е 20.6. Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка п, линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка п, и если является, то найти его размерность: 1) множество матриц с нулевой первой строкой; 2) множество диагональных матриц: 3) множество верхних треугольных матриц; 4) множество симметрических матриц; 5) множество кососимметрических матриц; 6) множество вырожденных матриц.
20.7. Выяснить, образует ли данное множество функций на произвольном отрезке [а,Ь] линейное пространство относительно обычных операций сложения и умножения на число: 1) множество функций, непрерывных на [а, Ь]; 2) множество функций, дифференцируемых на [а, Ь]; 3) множество функций, интегрируемых по Риману на [а, Ь]; 4) множество функций, ограниченных на [а,д]; 5) множество функций таких, что впр]1[л)[ < 1; )а,6) 6) множество функций, неотрицательных на [а, Ь]; 7) множество функций таких, что 1(а) = О; 8) множество функций таких, что 1(а) = 1; 9) множество функций таких, что 1пп 1(х) = оо; з — ~а'О 182 Гл. 8. Лннейные пространства 10) множество функций, монотонно возрастающих на [а, Ь); 11) множество функций, монотонных на [а, Ь).
20.8. Доказать, что при любом натуральном п данное множество функций образует консчномерное линейное пространство; найти размерность и указать базис этого пространства: 1) множество многочлснов степени не выше и (обозначается 72~ )); 2) множество четных многочленов степени нс выше и:, 3) множество нечетных многочленов степени не выше и; 4) множество тригонометрических многочленов порядка не выше п, т.
е. множество функций вида Я) = 00+ 01со81+ + Ь1 ейп1+... +а„совп1+ Ьпвшп1: 5) множество четных тригонометрических многочленов порядка не вьш1е и; 6) множество нечетных тригонометрических многочленов порядка нс выше пй 7) множество функций вида 1® = еа" (ад+ а1со81+ + Ь1 81п1+... + а„сов п1 + Ьп 81п пй), где се -- фиксированное действительное число. 20.9. Доказать, что данное множество функций образует бесконечномерное линейное пространство: 1) мн01кество всех много 1ленОВ1 2) множество всех тригонолеетрических многочленов; 3) множество функций, непрерывных на некотором отрезке. 20.10.
Найти линейную комбинацию столбцов: 1 1) Зс1 — — с2, 2) — сдд+ с33+ 2с31, 1 1 3) -С143 — -С138, '4) С206 — ЗС!98 + 2С199. 2 2 20.11. Найти линейную комбинацию матриц 1 1 — Ашб — — А262 + А263 — А264. 3 2 20.12. Найти столбец х из уравнения: с141 + х с146 + х 1) с28+ с29 — 2х = с32, '2) 2 3 — = с142; 3) 3(с197 + х) + 2(с202 — х) = 4(С204 — х).
20.13. Выявить линейные зависимости между данными столбцами: 1) С34, С36, С29~ 2) С84, С83, С120; 3) С166, С198, С199, С201', 4) С166, С197, С206, С206. З 80. Примеры ироегараиегао. Базис и размерность 183 20.14. Найти размерность и базис линейной оболочки данной системы столбцов; 1) С1, С2', 2) СЗ1, С28, СЗО, '3) СЗ1, СЗО, СЗ2,' 4) С121, С124) С118', 5) С1бб, С198, С1дд) 0201,' 6) С190, С198) С202') 7) С1бб, С190, С197) С198,' 8) О, :9) С1бб, С203, С204, С197. 20.15.
Найти размерность и базис линейной оболочки системы матриц АЗШ, АЗОО, 4ввд 20.16. Найти размерность и базис линейной оболочки системы многочленов 11+7), г~, 1, в+г . 20.17. Доказать что векторы е1,..., е„образуют базис в пмерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе: 1) п. = 1, е1 = с1, х = сг, 2) п=2, е1=сгв, ег=сгд, х=сзо', 3) п = 3, е1 = сыб, ег = с12о, ез = с122) х = с4д', 4) и=4, е1=с190, ег =сш7, ез =сшв, е4 = 0199, х= сгоо; 5) п = 5, е1 = сгзз, ег = сгбз, ез = сгб4, е4 = сгбз, еб = сгбб, Х = С207.
20.18. Доказать, что матрицы Аз, Аш, А1з, Аб образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка 2, и найти координатный столбец матрицы Агб в этом базисе. 20.19. Доказать, что матрицы Агоо, Агог, Агоз, Агоа, 'гоз, А242 образуют базис в пространстве симметрических матриц поРЯДка 3, и найти кооРДинатный столбеЦ матРиЦы А218 в этом базисе. 20.20. Доказать, что многочлены 1, 7 — е), (г — е7)2, ... ..., 17 — о)" образуют базис в пространстве многочленов степени не выше п, и найти координатный столбец произвольного многочлена рь(г) степени не выше п в этом базисе. 20.21 (р). Доказать, что многочлены 21+ Зз) гз — зз, 7+гз образуют базис в пространстве нечетных многочлонов степени не выше 5, и найти координатный столбец многочлена 51 — гз + + 278 в этом базисе.
20.22. Найти размерность и базис линейного подпространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений: 1) Агтх= о, :2) Агзвх=о; 3) А249х=о; 4) Азшх=о; 5) А1щх=о; 6) А442х=о; 7) А877х=о. 184 Гл. 8. Линейные пространства 20.23. Составить систему уравнений, определяюшую линейную оболочку данной системы столбцов; 1) С66, С83', 2) СЗ1, СЗО', 3) СЗО, С29) 4) С166, С196', 5) С197', 6) С166, С198, С199, С201,' 7) С166, С196,. С197) сщ8, 8) (О, О, О, 0)~. 20.24. Доказать, что каждая из двух систем векторов Гл,...
..., Г„и ял, ..., н„является базисом в и-мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты ~~~, ..., ~„' во втором базисе: 1) п=1, 11 =ел, я1 =сз; 2) П=2, 11 =сдд, Гд=сзз, 81=езди нд=с28; 3) п=3, лЛ=СПО, 12=СП7, 43=094, 81=сыд, 82=084, КЗ = с83~ 4) П = 4, Гл = С166, 12 = С196, 13 = С1д7, 44 = 0198) 81 = 0199~ 82 = С200, $3 = С202, 84 = С203. 20.25. Доказать, что каждая из двух систем матриц Агзд, А143, А134, Алзз, Апо А136 и А136, А137, Апд, А138, Алзд, Апз является базисом в пространстве матриц размера 3 х 2, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Найти координаты матрицы 3 х 2 в первом базисе, если известны ее координаты (1~,...,С6 вО втОрОм баЗиСЕ. 20.26 (р). Доказать, что каждая из двух систем матриц А260, А261, А262 и А263, А264, А266 является базисом в пространстве кососимметрических матриц порядка 3, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты кососимметрической матрицы порядка 3 в первом базисе, если известны ее координаты ~1~, ~2, ~3 во втором базисе. 20.27.
Доказать, что каждая ллз двух систем функций 12 13 1+51+13 11+1)з и 11+1)з 11 1)з 1 12+13 1+1+ ~ с2 ~ сЗ является базисом в пространстве нлпогочлспов степени не выше 3. Найти матрипу перехода от первого базиса ко второму и координаты многочлена в первом базисе, если известны его координаты ~1~, 62, Сз, 64 во втором базисе. 20.28.
Доказать, что каждая из двух систем функций (1+12)2 (1 12)2 1 н 1+12+14 1 12+14 14 в пространстве четных 61ногочленов степени не выше 4, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты четного многочлена степени не выше 4 в первом базисе, если известны его координаты ~1~, С2, ~3 во втором базисе. з" 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
