1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Су ма и пересечение надпространств 185 20.29. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: 1) поменять местами 1-й и дзй векторы первого базиса; 2) поменять местами 1-й и дзй векторы второго базиса; 3) расположить векторы обоих базисов в обратном порядке. 20.30. Матрица Я~ является матрицей перехода от первого базиса ем..., еа в и-мерном линейном пространстве ко второму базису ~м..., 1"„, а матрица Яз - матрицей перехода от второго базиса к третьему базису дм..., д„.
Найти матрицу перехода: 1) от первого базиса к третьему; 2) от второго базиса к первому. 20.31. Описать взаимное расположение двух базисов в трехмерном линейном пространстве, если матрица перехода от первого базиса ко второму: Ц диагональная; 2) верхняя треугольная; 3) нижняя треугольная. 20.32. Векторы базисов ам...,а„и ба,, ..,5„даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Эти столбцы составляют соответственно матрицы А и В. Найти матрицу перехода от базиса н к базису Ь, если: 1) А=Аь4, В=А84: 2) А=Аш, В=Аза, 3) А = А4зт, В = А4ез. 20.33. Доказать, что многочлены,Лежандра 1, 2 1 3 — (31 — 1), — (51 — 31) образуют базис в пространстве многочле- 2 '2 нов степени не выше 3.
Найти матрицы перехода от стандартного базиса к данному и обратно. 20.34. Найти координаты многочлена р(~) в стандартном базисе пространства многочленов степени не выше 3 и в базисе задачи 20.33; 1) р® 51з 31. 2) р(1) 21 1. 3) р(1) 912 1 4) р(Р) =1-41 — 3~'+ 10~в. 8 21. Сумма и пересечение подпространств 21.1. Доказать, что пространство квадратных матриц порядка п является прямой суммой подпространства симметрических матриц и подпространства кососимметричсских матриц того же порядка. 186 Гл. 8. Линейные пространства 21.2. Доказать, что пространство многочленов степени не выше п является прямой суммой подпространства четных мно- гочленов степени не вьппе и и подпространства нечетных мно- гочленов степени не выше п.
21.3. 1) Доказать, что п-мерное линейное пространство является прямой суммой подпространства векторов, все коор- динаты которых равны между собой, и подпространства век- торов, сумма координат которых равна О. 2) Дана матрица А из п строк. Доказать, что п-мерное арифметическое пространство является прямой суммой линей- ной оболочки столбцов А и подпространства решений системы линейных уравнений Атх = о. 21.4. Доказать, что и-мерное арифметическое простран- ство является прямой суммой линейных подпространств, на- тянутых на системы векторов ал,..., а1, и Ьл,..., Ь1: 1) и =2, а1 =сзо, аз =сззо Ьл =сзз; 2) и= 3, а1 =с141, а2 = с146, Ьл=с66, Ь2 = с140; 3) и = 4, ал = сиз, а2 = С196, Ьл = с197, Ь2 = Сгвб, Ьз = Сдоб; 4) П = 4, ал = С196, а2 = С198, а3 = С202, а4 = С199, Ь1 = С166, Ь2 = С204.
21.5. Разложить данный вектор х из и-мерного арифмети- ческого пространства в сумму двух векторов, один из которых лежит в Р, а другой в Я, где Р линейная оболочка си- стемы векторов ал,...,аы а Д линейная оболочка системы векторов Ьл,...,Ь1.
Проверить единственность разложения: 1) П=2, Х=С29, а1=С28, Ь!=СЗО', 2) П.=З, Х=С120, а1=С84, а2=С83, Ь1=С66', 3) п = 3, х = с145, а1 = С84, а2 = сзз, Ь! = 066; и = 3, Х = С139, а1 = С84, а2 = С83, Ь1 = С66:, 5) и=4, х=с200, ал= с166, а2 =слдз, аз = 0207 Ъл=с202, Ь2 = С205. 21.6.
Найти проекцию данного вектора х из и-мерного арифметического пространства на линейное подпространст- во Р параллельно линейному подпространству Д, где Р ли- нейная оболочка системы векторов ал,..., аш а Д вЂ” линейная оболочка системы векторов Ьл,...,Ь11 1) и=2, х=сз2, ал=сзо, Ьл=сз4', 2) п=2, х=сз7 ал=сзш Ьл=сз4', 3) п.=2, х=сз5, ал =сзо, Ьл=сз4; 4) п, = 3, х = с146, ал = с66, а2 = с121, аз = 0122, Ьл = с145', 5) п = 4, х = сзш, а1 = с166, а2 = слдд, Ьл = сг97, Ь2 = с198.
3" 21. Су е)))а и т|ерееечение иодироетрансте 187 21.7. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств и-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов а|,... ) аь и Ь|,...,Ь|: 1) и=2, а|=сз4, ад=сз7, аз=сзз, Ь!=Сзо, Ьз=сзд, Ъз = сзд' 2) и = 3, а! = сыоо а2 = с|2|, аз = с!!о, Ь! = 0|22, Ь2 = с|25, ЬЗ = С|38, 3) п = 3, а| = соо, а2 = с|30, аз = с|4о, Ъ| = сд4, Ъ2 = с|4|, Ьз = с||7; 4) (р) и = 3) а| = сзз, а2 = с|42, аз = с|43) Ь! = с34, Ь2 = = С|44, ЬЗ = С||7) 5) п = 3, а| = сод, а2 = сыо, аз = с|45, Ь| = с|22, Ь2 = с|45, ЬЗ = С|47,' 6) п,=З, а! =Сзз, ад = сз4, аз =с!до, Ь! =Сод, Ь2 =с|2|, ЬЗ = С|22,' 7) и = 4, а! = с|до, аз = сзоо, аз = с|п7 Ъ| = сдм, Ь2 = С2|з, Ьз = сд|д; 8) и= 4, а| = с|дои а2 = с|дз, аз = 0202, Ъ| = с|55, Ьз = сдо4, Ьз = с|07; 9) п =- 4, а! = с|00, а| = с|до, аз = с|07) Ь| = с2оз Ь2 = с205 ЬЗ = С206,' 10) и =4, а! = с|55, а2 =с|од, аз =с|до, а4= с202, Ь| = = с207, Ь2 = с204, Ьз = с|07, Ь4 = с205') 11) (р) п=4, а|=)(1 — 1 1 0)(, ад='91 1 0 1(/г, аз =!)2 0 1 2)(, а4 =/)2 0 1 1)(, Ь| =((3 5 — 1 4() Ь2='91 1 0 0~~, Ьз=92 2 0 38, Ь4='91 3 — 1 19 .
21.8. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства квадратных матриц порядка 3, натянутых на системы матриц А202, Адо|, А|од, Адо4 и Агы, А205, А257) А253. 21.9. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых на системы многочленов 1+27+1, 3 12 З 12+13 1+22 1+31+13 31 12+13 21.10. Используя понятие суммы двух линейных подпространств, доказать неравенство гфА+ В) < г8А+78В, где А и В . две матрицы одного размера т х и.
21.11. Доказать, что сумма Е двух линейных подпространств Р и Я тогда и только тогда будет прямой суммой, 188 Гл. 8. Линейные пространства когда хотя бы один вектор х Е Е однозначно представляется в виде х = у + е, где у Е Р, г Е Д. 21.12. Пусть Р и Д --. два линейных подпространства конечномерного линейного пространства. Доказать, что: 1) если сумма размерностей Р и Я больше размерности всего пространства, то пересечение Р й с1 содержит ненулевой вектор; 2) если размерность суммы Р и Д на единицу болыпе размерности их пересечения, то одно из этих подпространств содержится в другом.
21.13. Доказать, что для любого линейного подпространства Р конечномерного линейного пространства существует другое подпространство Я такое, что все пространство является прямой суммой Р и Я. 21.14. Пусть Е, М, Ле три линейных подпространства; Р = (Е й Л') + (М й Л'), Д = (Е + М) Г1 Л'.
1) Доказать, что Р С й. 2) Возможен ли случай Р у'= Я? 11ривести соответствующий пример. 21.15. Доказать, что сумма линейных подпространств Е1 ~, ..., Е~ ) совпадает с множеством векторов, представимых в виде х = х4 +... + хы где х; Е ЕВ1, г' = 1, ..., й. 21.16. Пусть Е, М, Л' —. три линейных подпространства.
Доказать, что Е+М+Л'= (Е+М)+Лс=Е+(М+Ле). 21.17. Доказать, что сумма .С линейных подпространств Е1Ц,..., Е1"1 тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор х Е Е однозначно представляется в виде т. = т1 +... +:гы где т,, Е Еб) (обобгцение задали 21.11). 8 22. Комплексные линейные пространства 22.1. Найти линейную комбинацию столбцов: 1) (1+1)с4 — 1себ 2) 2гс42+(3+4)сзо — с4П 3 3) (1 — 21)с14з+ — сьз2. 2 22.2. Найти линейную комбинацию матриц (2+ 4)Азэ + гАю+ А2т — 2Аш. 3 99. Комплексные линсйпыс прострааси1оа 189 22.3. Найти столбец х из уравнения: 1) (1+1)(х — с44) — (2+г)(х+С45) = с4з, 2) 2С15з — с149+гх = С156 22.4.
Выявить линейные зависимости между данными столбцами: 1) С96, сзд, с4з, 2) С96, сзо, с46, '3) с1з1, С139, с1зз 22.5. Найти размерность и базис линейной оболочки дан- ной системы столбцов; 1) С5~ 2) С27~ сзд~ 3) С26~ С43~ С44~ 4) С134, С151, С152, '5) С275, С215, С276; 6) С166, С215, С196) С193, С216. 22.6. Доказать, что векторы е1,...,е„образуют базис в комплексном и-мерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе; 1) п.=1, е1=с4, х=сз, 2) и, =2, е1=сз1, ед =сзз, х =сзд, 3) п,=2, е1=С36, ед=с49, х=с41, 4) и=2, е1=С96, ез=сд7, х=сзз; 5) и= 3, е1 =С136, ед =с197, ез = С193, Х=С973, 6) и = 4, е1= с166, ед = сзо7; ез = с974, е4 = С975, х = С976 22.7. Найти размерность и базис линейного пространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений: 1) Адох = о: 2) Ад1х = о: 3) Азьдх = о; 4) А371х=о: 5) Аздзх=о. 22.8.
Составить систему уравнений, определяющую линей- ную оболочку данной системы столбцов: 1) с49, с49; 2) с96, с49: 3) сдиб 4) с196, с973; 5) С975, С276, С214, С215 22.0. Доказать, что каждая из двух систем векторов 11, ... ..., Г, и и1, ..., ип является базисом в комплексном и-мерном арифметическом пространстве, н найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в пер- вом базисе, если известны его координаты ~~~,...,с„' во втором базисе: 1) и=1, Г1 =с4, и1 =од, 2) и=2, Г1=СЗ1, Гз=С45, $1=С44, Яд=сзд; 3) и = 3, Г1 = С199, Гд = С136, Гз = С136, $1 = С133, Яд = С196, ЯЗ = С94.
22.10. Найти проекцию данного вектора х двумерного комплексного арифметического пространства на линейное под- 190 Гл. 8. Ланей!!ые пространства пространство Р параллельно линейному подпространству Д, где Р натянуто на вектор С44, а Я натянуто на вектор с4сл 1) х = сзз, '2) х = с4з, '32) х = с4з. 22.11. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств комплексного и-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов а4, ... ..., аь и Ь4, ..., Ь!. 1) и = 3, а! = сзз, аз = с!з4, аз = с!4з, Ь! = с!зз, Ьз = с!4ш Ьз = с!50,' 2) и = 3, а! = с!э!, аз = сшз, аз = с4зз, Ъ! = с4з4, Ъз = сшз, Ьз = С!за; 3) и = 4, а! = сштн аз = сззш аз = сз!е, а4 = сшз, Ь! = Сзз!, Ьз = сззз Ьз = сззз Ь4 сз44 22.12. 1) Доказать, что если в и-мерном комплексном линейном пространстве рассматривать умножение векторов лишь на вещественные числа, то получим 2и-мерное вещественное линейное пространство. 2) В двумерном комплексном арифметическом пространстве рассматривается операция умножения векторов лишь на вещественные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
